第九章多元函数微分法

1、第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用1. 多元函数的基本概念多元函数的基本概念2. 偏导数偏导数3. 全微分及其应用全微分及其应用4. 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5. 隐函数的求导公式隐函数的求导公式6. 微分法在几何上应用微分法在几何上应用7. 方向导数与梯度方向导数与梯度8. 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法主主 要要 内内 容容基本要求基本要求 1、理解多元函数的概念，了解二元函数、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质；的性质； 2、理解偏导数、高阶偏导数

2、和全微分的、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分概念，了解偏导数的几何意义、全微分 存在的存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件；无关的条件； 3、掌握多元复合函数的求导法则，会求、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数；数； 基本要求（续）基本要求（续） 4、理解多元函数的极值和条件极、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法；熟悉条件极值与拉格朗日

3、乘数法； 5、熟悉空间曲线的切线方程、法、熟悉空间曲线的切线方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法线方程的求法；程和法线方程的求法； 设设),(000yxp是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxp距距离离小小于于 的的点点),(yxp的的全全体体，称称为为点点0p的的 邻邻域域，记记为为),(0 pu，（1）邻域）邻域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx一、区域一、区域 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称

4、则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设epepuppe .ee 的内点属于的内点属于ep .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点epeepeepep 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 ee是连通的是连通的开集开集，则称，

5、则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设dddd 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，

6、使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyx（3）聚点（补充）聚点（补充） 设设 e 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，p 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 p 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 e，则则称称 p 为为 e 的的聚聚点点. 1. 内点一定是聚点；内点一定是聚点；2.边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点3. 点集点集e的聚点可以属于的聚点可以属于e，也可以不属于，也可以不属于e10

7、| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标.1. n维空间的记号为维空间的记号为;nr2. n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxp),(21nyyyq.)()

8、()(|2222211nnxyxyxypq 3. n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nrpppppu ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为 设设d是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点dyxp ),(， 变量， 变量z按照按照一定的法则总有确定的值一定的法则总有确定的值和它对应和它对应，则称，则称z是变量是变量yx,的的二元函数二元函数，记为，记为),(yx

9、fz （或记为（或记为)(pfz ）. . （1）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数二、二、多元函数概念多元函数概念例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd （2） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(

10、yxfz 的定义域为的定义域为d，对于任意，对于任意取定的取定的dyxp ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxm，当当x取遍取遍d上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为为二元函数的图形二元函数的图形. （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球

11、面左图球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:定 义定 义1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxpd是其聚点， 如果对于任意给定的正是其聚点， 如果对于任意给定的正数数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxpp的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|ayxf成立，则称成立，则称 a a 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限， 记为记为 ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),

12、( ayxf这里这里|0pp ）. 三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(l

13、im22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxy

14、xz （1） 令令),(yxp沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxp， 若若极极限限值值与与 k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在； （2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集0, pd是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得

15、 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |00pp的 一 切 点的 一 切 点dp ， 都 有， 都 有 |)(|apf成立，则称成立，则称 a a 为为n元函数元函数)(pf当当0pp 时的极限，记为时的极限，记为 apfpp )(lim0. .n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集0, pd是其聚点且是其聚点且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 则称则称n元函数元函数)(pf在点在点0p处连续处连续. . 设设0p是是函函数数)(pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如

16、果果)(pf在在点点0p处处不不连连续续，则则称称 0p是是函函数数)(pf的的间间断断点点. 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(

17、222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d d

18、上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理（3）一致连续性定理）一致连续性定理* 在有界闭区域在有界闭区域dd上的多元连续函数必定在上的多元连续函数必定在dd上一致连续上一致连续多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，