大学物理第2章质点动力学基本定律

1、1牛顿运动定律牛顿运动定律1动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律2角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律3功和能功和能4质点动力学2 牛顿运动定律牛顿运动定律任何物体只要没有外力的作用，任何物体只要没有外力的作用， 或合外力为零，或合外力为零，都保持静止或匀速直线运动的状态。都保持静止或匀速直线运动的状态。力：力：使物体改变其运动状态的原因使物体改变其运动状态的原因一牛顿运动定律一牛顿运动定律第一定律包含两个概念：第一定律包含两个概念：惯性惯性任何物体都具有保持其运动状态不变的任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。性质。1 1 第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）

2、3 物体的动量对时间的变化率等于物体所受的物体的动量对时间的变化率等于物体所受的合外力合外力合力合力 : : 产生加速度的原因，改变运动状态的产生加速度的原因，改变运动状态的原因。原因。f 2 2 第二定律第二定律)(ddvmtf amf m：质量，它是惯性大小的量度，也称为：质量，它是惯性大小的量度，也称为惯性惯性质量质量质量不随时质量不随时间变化时间变化时4牛顿第二定律的分牛顿第二定律的分量形式量形式（直直角角坐坐标标系系（自自然然坐坐标标系系zizyiyxixmafmafmaf2nnttddvvmmaftmmaf3 3 第三定律第三定律2112ff m1m2f12f215r 讨论讨论第一

3、定律第一定律 “力力”的概念的概念注意两个重要概念：注意两个重要概念：惯性、力惯性、力第二定律第二定律 力的度量力的度量( (定量描述定量描述) )注意力的瞬时性、矢量性和对应性注意力的瞬时性、矢量性和对应性第三定律第三定律 力的特性力的特性注意力的成对性、一致性和同时性注意力的成对性、一致性和同时性6二力学中常见的几种力二力学中常见的几种力1.1.万有引力万有引力rermmgf22121re的方向：从施力者指向受力者的方向：从施力者指向受力者万有引力公式只适用于两质点万有引力公式只适用于两质点惯性质量和引力质量惯性质量和引力质量r 讨论讨论rer21f2m1m72. 2. 弹性力弹性力 物体

4、在外力作用下因发生形变而产生欲使其恢物体在外力作用下因发生形变而产生欲使其恢复原来形状的力复原来形状的力 。例例张力张力2f1f1t2t83. 3. 摩擦力摩擦力（1 1）静摩擦力）静摩擦力 当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方向相反。向相反。（2 2）滑动摩擦力）滑动摩擦力最大静摩擦力：最大静摩擦力： 为滑动摩擦因数为滑动摩擦因数 为静摩擦因数为静摩擦因数nffmaxnfff9三牛顿定律的应用三牛顿定律的应用解题步骤：解题步骤：（1 1）确定研究对象。对于物体系

5、，画出隔离图。）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。（2 2）进行受力分析，画出受力图。）进行受力分析，画出受力图。（3 3）建立坐标系。）建立坐标系。（4 4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。（5 5）解方程，进行符号运算，然后代入数据。）解方程，进行符号运算，然后代入数据。10变力问题变力问题: :tvvmdvdttf00)() 1 (tvvvfdvmdt00)()2(dxdvmvdxdxdtdvmxf)()3(00)(vvmvdvrdfddvrvmdddtdvmf)()4(xxvvmvdvdxxf00)(11xkf2dxdvmvdxdxdt

6、dvmdtdvm例例 已知一质量为已知一质量为 m 的质点在的质点在 x 轴上运动轴上运动,质点只受到质点只受到指向原点的引力作用指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比的平方成反比,即即 f = -k/x2, k 是比例常数是比例常数,设质点在设质点在 x = a 时的速度为零时的速度为零,求求 x = a / 2 处的速度大小。处的速度大小。解解 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律:2/02aavmvdvxkdxmakv22/112例例 质量为质量为m的小球最初位于的小球最初位于a点，然后沿半径为点，然后沿半径为r的的光滑圆弧面下滑。求小球在

7、任一位置时的速度和对圆光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。弧面的作用。mgfn解解:tmmgddcosvrmmgf2nsinv ddddddddrtsstvvvvdrgvdvcosatene1300dcosdrgvvvsin2rgvrrgmmgfsin2sinnsin3mgmgfnatene14vxllvdvgxdx0例例 一根长为一根长为l，质量为，质量为m的柔软的链条，开始时链条的柔软的链条，开始时链条静止，长为静止，长为ll 的一段放在光滑的桌面上的一段放在光滑的桌面上,长为长为 l 的的一段铅直下垂。一段铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度；求整个链条刚离

8、开桌面时的速度；(2)求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。间。ox解解:dxdvmvmaxglmlvdvgxdx 15tlldtlglxdx022)(22lxlgvdtdxllllgltl22ln22221)(21lvlxg)(22lllgvl16四非惯性系四非惯性系 惯性力惯性力甲甲乙乙afml0小球小球m: 有有f和和a，即，即f=ma观察者甲：观察者甲：牛顿定律在该参照系中适用牛顿定律在该参照系中适用惯性系惯性系小球小球m:有有f无无a ，即，即fma观察者乙观察者乙:牛顿定律在该参照系中不适用牛顿定律在该参照系中不适用非惯性系非惯性系

9、17(2) (2) 相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。性系。(1) (1) 判断某参考系是否是惯性系的依据是判断某参考系是否是惯性系的依据是实验。实验。非惯性系中如何研究运动的动力学规律呢？非惯性系中如何研究运动的动力学规律呢？引入惯性力引入惯性力181.1.加速平动参考系加速平动参考系s(s(相对惯性系相对惯性系s s有加速度有加速度a a0 0) )惯性系惯性系s：amf代入并移项代入并移项amamf)(0假定假定:0amfiamffi则在非惯性系则在非惯性系s 中有中有:f i 惯性力（平动）惯性力（平动） ！0aaa相对运动关系：相对运动

10、关系：牛顿定牛顿定律成立律成立19惯性力：惯性力： 非惯性系中虚拟的假想力非惯性系中虚拟的假想力作用：使非惯性系中可用牛顿第二定律作用：使非惯性系中可用牛顿第二定律2.2.匀速转动参考系匀速转动参考系ss两种惯性力：两种惯性力：rmfi2惯性离心力惯性离心力vmfic2科里奥利力科里奥利力 注意注意: :20 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律一动量定理一动量定理 力在时间上的积累即冲量。记作：力在时间上的积累即冲量。记作：1.1.冲量冲量（impulse） 21ttdtfi由牛顿第二定律由牛顿第二定律2.2.质点动量定理质点动量定理 dtpdfppttpddtf0021000i v

11、mvmppdtftt质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量质点的动量定理质点的动量定理 动量定理的分量形式动量定理的分量形式ttzzzzttyyyyxxttxxmvmvdtfimvmvdtfimvmvdtfi00000022 平均冲力平均冲力tttfttf001d tfttptif23设有设有n n个质点构成一个系统个质点构成一个系统第第i i个质点：个质点：外力外力外if内力内力内if初速度初速度0iv末速度末速度iv质量质量im由质点的动量定理有：由质点的动量定理有：00iiiittiimmtffvvd内外3 3质点系的动量定理质点系的动量定理

12、1m1v2m2v3m3v4m4v24对对n n个质点求和，有：个质点求和，有： 00iiiittiimmtffvvd内外 0内if由于：由于：m1m2f212内f21内ff1ppptftti 00d外其中：其中：iimpv00iimpv质点系的动质点系的动量定理量定理25动量定理的微分形式：动量定理的微分形式：dtpdfi外只有外力可改变系统的总动量，内力虽能改只有外力可改变系统的总动量，内力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质点变质点系个别质点的动量，但不能改变质点系的总动量。系的总动量。二质点系动量守恒定律二质点系动量守恒定律0外if当当cmpiiv即：质点系所受合外力为零时，系统的

13、总动量保持即：质点系所受合外力为零时，系统的总动量保持不变不变动量守恒定律动量守恒定律262.2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 1.1.系统内所有质点的动量都必须对同一惯性参考系统内所有质点的动量都必须对同一惯性参考系而言系而言3.3.当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）4.4.动量守恒定律不仅适用于宏观低速物体，同样动量守恒定律不仅适用于宏观低速物体，同样也适合微观高速物体。也适合微观高速物体。r 说明说明27hgmhgmtnmg

14、22)( 思考：小球总动量守恒吗？思考：小球总动量守恒吗？0v0vhy解：解：碰前碰前ghvy21 ghvy22 碰后碰后例例 以速度以速度v0水平抛出一质量为水平抛出一质量为m的小球，的小球，小球与小球与地面作用后反弹为原高度地面作用后反弹为原高度h时速度仍为时速度仍为v0，作用时，作用时间间 t 求地面对小球的平均冲力。求地面对小球的平均冲力。28小球所受的撞击力小球所受的撞击力mghgtmmgthgmhgmn 8)2(2)22(tghmgmghgtmn8方法二：小球始末状态的动量相同，说明整个过方法二：小球始末状态的动量相同，说明整个过程中重力和反冲力的冲量之和为程中重力和反冲力的冲量之

15、和为0 0。反冲力的冲量反冲力的冲量：tn重力的冲量重力的冲量：29例例 质量为质量为m的人站在质量为的人站在质量为m的静止船上的静止船上,不计不计水水对船的阻力。人对船走过了距离对船的阻力。人对船走过了距离l，求船对水走过，求船对水走过的距离的距离l.0人水船水mvmv0)(vummv人船mmmuvdtmmmuvdtxmmmlxll解：解：30解：解：无牵引力和摩擦力，动量守恒。无牵引力和摩擦力，动量守恒。2000)(tdtdmmdtdmvmdtdva有牵引力：有牵引力：)0()(00dmmvvdmmfdt例：煤粉从漏斗中以例：煤粉从漏斗中以dm/dt的流速竖直卸落在沿平直轨的流速竖直卸落在

16、沿平直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为道行驶的列车中，列车空载时质量为m0，初速为，初速为v0，求求在加载过程中某一时刻在加载过程中某一时刻t 的速度和加速度。如果要使列的速度和加速度。如果要使列车速度保持车速度保持v0，应用多大的力牵引列车？（忽略摩擦力），应用多大的力牵引列车？（忽略摩擦力）dtdmvf0vtdtdmmvm)(000tdtdmmvmv00031三质心和质心运动定理三质心和质心运动定理1.1. 质心位置的确定质心位置的确定cr设由设由n个质点构成一质点系个质点构成一质点系 质量：质量：m1， m2， mn位矢：位矢： ， ， 1r2rnryzmiom2m1mrmmrmrni

17、iiniiniiic 111 mmrrcdd质量连续分布系统质量连续分布系统,则则ir1rcr32物体的质心一定在物体上吗？物体的质心一定在物体上吗？33 质心的速度质心的速度 mvmdtrdviiicc 质点系的总动量质点系的总动量ciiivmvmp2. 2. 质心运动定理质心运动定理 质点系总动量的变化率质点系总动量的变化率camtpfdd外-质心运动定理质心运动定理34扔出的一把扔出的一把搬子（或一搬子（或一团乱麻）团乱麻）运动员（或运动员（或爆炸的焰火）爆炸的焰火）35 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律在研究质点的机械运动时，常会遇到质点系绕某一在研究质点的机械运动时，常会遇

18、到质点系绕某一定点或轴运动的情况，如行星绕某一恒星的运动定点或轴运动的情况，如行星绕某一恒星的运动银河系银河系根据这类运动的特征，为根据这类运动的特征，为了描述其特有的运动状态，了描述其特有的运动状态，我们引入一个新的物理我们引入一个新的物理量量角动量角动量36一一. . 角动量角动量（angular momentum）mopr设：设：t t 时刻质点的位矢时刻质点的位矢r质点的动量质点的动量vm运动质点运动质点相对于相对于参考参考原点原点o的的角动量角动量定义为定义为vmrprl大小：大小：sinvrml 方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定若质点作圆周运动，若质点作圆周运动，则对圆

19、心的角动量：则对圆心的角动量：vrml 37质点对轴的角动量质点对轴的角动量: : loalacoslla质点系的角动量质点系的角动量: :设各质点对设各质点对o点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprll11)(38二二. . 角动量定理角动量定理tprptrprttldddd)(ddddmfrtl dd 所所以以frm 令令tprvmvdd0f对质点对质点: :39frmo-外力对参考点外力对参考点o o 的力矩的力矩xyzroomfzm力矩的大小：力矩的大小：sinrfm 力矩的方向力矩的方向:由右手螺由右手螺旋关系确定旋关系确定力对

20、轴力对轴z z的矩：的矩： cosozmm 40tlmdd- 质点角动量定理的质点角动量定理的微分形式微分形式 （对固定点）（对固定点） 对对 t1t2 时间过程时间过程，有有1221lltmtt d冲量矩冲量矩即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所所受的合力的冲量矩受的合力的冲量矩”。-质点角动量定理的积质点角动量定理的积分形式（对固定点）分形式（对固定点）41对质点系对质点系:角动量角动量niniiiiprll11)(两边对时间求导：两边对时间求导：tprptrtliiiidddddd0ddiiptr上式中：上式中：内外iiiiiffrtprdd内外

21、iiiifrfrtldd内力矩之和为零内力矩之和为零42tlfrmiidd外外 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点于系统所受各个外力对同一参考点力矩的矢量和力矩的矢量和。质点系角动量定理：质点系角动量定理： 质点系对质点系对z z 轴的角动量定理：轴的角动量定理： tlmzzdd注意合力矩与合力的矩的区别！注意合力矩与合力的矩的区别！43质点系对质点系对z z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律： 恒量zl0zm外即：当系统所受外力对某参考点的力矩的矢量和即：当系统所受外力对某参考点的力矩的矢量和始终为零时，质

22、点系对该点的角动量保持不变。始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。 如果如果0外m则则恒矢量l三三. . 角动量守恒定律角动量守恒定律44证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等等时间内扫过的椭圆面积相等 。rrsd21drrdvrtrrts21dd21ddlmmrmts2121ddv恒矢量tsdd有心力作用下有心力作用下角动量守恒角动量守恒 证：证：45练习：练习：a al l vo omgt1 1：锥摆（合力指向：锥摆（合力指向o o），试分别），试分别说明对不同参考点说明对不同参考点a a和和o o，锥摆的锥摆

23、的角动量是否守恒，为什么？角动量是否守恒，为什么？462 2：两个同样重的小孩，各抓着跨两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮过滑轮 的轻绳的一端如图，他们的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后起初都不动，然后 右边的小孩用右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓住力向上爬绳，另一个小孩仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个小孩先到达的摩擦。问：哪一个小孩先到达滑轮？滑轮？1m2m(爬爬)(不爬不爬)47 功和能功和能恒力的功：恒力的功：一一. . 动能定理动能定理1 1 . .功功描写力对空间积累作用的物理量描写力对空间积累作用的物理量mm ffrrfrfa

24、|cos位移无限小时的功称为位移无限小时的功称为元功元功：rdfda48变力的功：变力的功：frdab力在力在ab一段上的功：一段上的功：bardfdaa在直角坐标系中：在直角坐标系中：bazyxdz)fdyfdx(fa在自然坐标系中：在自然坐标系中：batdsfa49r 说明说明l 功是标量，只有大小正负之分。功是标量，只有大小正负之分。l 合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和rdfffrdfan)(21inaaaa21rdfrdfrdfn21静fl 作功与参照系有关。作功与参照系有关。l 功是过程量，一般与路径有关功是过程量，一般与路径有关50功率（功率（power

25、power）: :vfdtrdfdtdap2. 2. 质点动能定理质点动能定理 ab1v2vvfbabaabrddtvdmrdfa2121vvvvmvdvvdvm21222121mvmva定义：定义：221mvek51kea即：即：-质点的动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。3. 3. 质点系的动能定理质点系的动能定理由由n n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i i个质点个质点: : 2022121iiiiivmvma内外iiiaaa对所有质点求和：对所有质点求和： 2022121iiiiiivmvmaa内外52kinik

26、ee1为质点系的动能，为质点系的动能，令令kiieaa内外-质点系的动能定理r 讨论讨论l 内力和为零内力和为零, ,内力功的和是否为零？内力功的和是否为零？不一定为零不一定为零lfa11sfa12)(1slfa21ffababsl1f2f53l 内力做功可以改变系统的总动能内力做功可以改变系统的总动能例例: :炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。功转化为弹片的动能。54例例 用铁锤将一只铁钉击入木板内用铁锤将一只铁钉击入木板内, ,设木板对铁钉的设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比阻力与铁钉进入木板之深度成正比, ,如果在击

27、第一次如果在击第一次时时, ,能将钉击入木板内能将钉击入木板内 1 cm, , 再击第二次时（锤仍以再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）第一次同样的速度击钉）, ,能击入多深？能击入多深？002021xkxdxmvaxxkxdx0第一次的功第一次的功第二次的功第二次的功cm10 x解：解：20220212121kxkxkx02xx cmxxx414. 0055例例 如图一链条长如图一链条长l l，质量质量m m。放在桌面上并使其下垂长放在桌面上并使其下垂长度度a a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ，链条从静止，链条从静止开始运动，则：（开始运动，则：（1 1）

28、到链条离开桌面）到链条离开桌面时时，摩擦力对链，摩擦力对链条做了多少功？（条做了多少功？（2 2）链条离开桌面时的速率是多少？）链条离开桌面时的速率是多少？al-a xo解：解：(1)(1)建坐标系如图建坐标系如图lalafdxxllmgrdfa)(lxlmgf/)( lalmgaf2)(256(2)(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：2022121mvmvaaafp20210mvaavfplalmgxdxlmgrdgalalag2)(22al-a xo21222)()(alallgv得57二二. . 保守力和势能保守力和势能1.1.保守力保守力（1 1）重力的功重力的功bzazxy

29、zorgm),(aaazyxa),(bbbzyxbbaabrfadkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与，与质点经过的具体路径无关。质点经过的具体路径无关。 5858（2） 万有引力的功万有引力的功 设质量设质量m的质点固定，的质点固定，另一质量另一质量m的质点在的质点在m 的的引力场中从引力场中从a运动到运动到b。rermmgf2barrrabrermmgad2rrdrrd drmabarbrbarrgmm11 万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与万有引力做功只与质点的始

30、、末位置有关，而与具体路径无关。具体路径无关。 rrrerdcosdd593.3.弹性力的功弹性力的功由胡克定律：由胡克定律：ikxf2121dxxxxxkxi xikxxfadd22212121kxkxa 弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，而弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，而与弹性变形的过程无关。与弹性变形的过程无关。xof1x2x做功与路径无关，只与始末位置有关的力做功与路径无关，只与始末位置有关的力-保守力保守力60 保守力沿任意闭合路径做功总为零。保守力沿任意闭合路径做功总为零。保守力的特点：保守力的特点：常见的保守力常见的保守力: : 万有引力万有引力 ( ( 或有心力

31、）或有心力）rrff)( 弹力弹力 （或位置的单值函数）（或位置的单值函数）xkf 重力重力 （或恒力）（或恒力）0rfd保61常见的非保守力（耗散力）：常见的非保守力（耗散力）： 摩擦力摩擦力 爆炸力爆炸力非保守力：非保守力：非保守力非保守力 0rdf作功与路径有关的力为非保守力作功与路径有关的力为非保守力622.2.势能势能（potential energy）baabrdfa保定义定义：epa是系统在位置是系统在位置a的势能的势能; epb是系统在位置是系统在位置b的势能。的势能。)()(ababrmmgrmmga)(ababmgzmgza)2121(22ababkxkxappbpaeee即：即：保守力的功等于系统势能的减少。保守力的功等于系统势能的减少。6363则可以得到系统在位置则可以得到系统在位置a的势能为的势能为 )()(d.零点保aparfe若令若令0pbe（即（即b为零势能点）为零势能点）r 说明说明l 势能势能是由于物体的位置（或状态）的变化而具是由于物体的位置（或状态）的变化而具有的能量。有的能量。 l 引入引入势能条件：势能条件：质点系质点系; ;保守力作功。保守力作功。64l 势能势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 l 势能是属于具有保守力相互作用