高二人教版数学选修11练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

1、高中数学选修精品教学资料 基础梳理 1极值的概念 如果函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小,f(a)0,而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则把点 a 叫做 yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数 yf(x)的极小值；如果函数 yf(x)在点 xb的函数值 f(b)比它在点 xb附近其他点的函数值都大,f(b)0,而且在点 xb附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则把点 b叫做 yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数 yf(x)的极大值 2求函数 yf(x)的极值的一般方法 解方程 f(x)0.当 f(x)0 时： (

2、1)如果在 x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极小值,自测自评 1下面说法正确的是(b) a可导函数必有极值 b函数在极值点一定有定义 c函数的极小值不会超过极大值 d函数在极值点处导数一定存在 2函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导数 f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内极小值有(a) a1 个 b2 个 c3 个 d4 个 3函数 y13xx3有极小值_,极大值_ 解析：y13xx3,y33x2,令 y0,得 x1,且 y在区间

3、(,1),(1,1),(1,)上的正负性依次为,. 当 x1 时,y1 是极小值； 当 x1 时,y3 是极大值 答案：1 3 1函数 y2x3x2的极大值为(a) a0 b9 c0,2716 d.2716 解析：y6x22x,令 y0,解得 x0,x13, 令 y0,解得 0 x13, 当 x0 时,取得极大值 0,故选 a. 2若函数 yx32mx2m2x, 当 x13时, 函数取得极大值, 则 m 的值为(c) a.13或 1 b.13 c1 d都不对 3若函数 y13x3x2ax 在 r 上没有极值点,则实数 a 的取值范围是_ 解析：f(x)x22xa,f(x)在 r 上没有极值点,

4、44a0,a1. 答案：a1 4求函数 f(x)x(x2)2的极值 解析：函数 f(x)的定义域为 r. f(x)x(x24x4)x34x24x, f(x)3x28x4(x2)(3x2), 令 f(x)0 得 x23或 x2. 列表： 从表中可以看出, 当 x23时,函数有极小值, 且 f232323223227. 当 x2 时,函数有极大值, 且 f(2)2(22)20. 5已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值求 a、b 的值与函数f(x)的单调区间 解析：因为 f(x)x3ax2bxc,则 f(x)3x22axb. 依题意得,f2312943ab0，f（1）

5、32ab0， 解得a12，b2. 即 f(x)3x2x2(3x2)(x1)函数 f(x),f(x)的变化情况见下表： 所以函数 f(x)的递增区间是，23与(1,),递减区间是23，1 . 1f(x0)0 是函数 yf(x)在 xx0处有极值点的(c) a充分不必要条件 b充要条件 c必要不充分条件 d即不充分也不必要条件 解析：yf(x)在 xx0处有极值点时不仅要 f(x0)0,而且还要 x0左右的增减性相异故f(x0)0 是 yf(x)在 xx0处有极值的必要不充分条件 2已知函数 yf(x)(xr)有唯一的极值,并且当 x1 时,f(x)存在极小值,则(c) a当 x(,1)时,f(x

6、)0；当 x(1,)时,f(x)0 b当 x(,1)时,f(x)0；当 x(1,)时,f(x)0 c当 x(,1)时,f(x)0；当 x(1,)时,f(x)0 d当 x(,1)时,f(x)0；当 x(1,)时,f(x)0 解析：考查函数极小值的概念,只不过换成了符号语言,抓住极小值的定义即可得出答案c. 3函数 y13xx3(d) a极小值1,极大值 1 b极小值2,极大值 3 c极小值2,极大值 2 d极小值1,极大值 3 解析：y33x2,令 y0,得 x 1, 易判断当 x1 时,有极大值 y3, 当 x1 时,有极小值 y1.故选 d. 4已知函数 y2x3ax236x24 在 x2

7、处有极值,则该函数的一个递增区间是(b) a(2,3) b(3,) c(2,) d(,3) 解析：y6x22ax36, x2 为极值点, 当 x2 时,y642a2360, 解得 a15,y6x230 x36, 令 y0,得 x2,x3, y0 时,x2 或 x3,故选 b. 5函数 f(x)x33bx3b 在区间(0,1)内有极小值,则(a) a0b1 bb1 cb0 db12 解析：问题等价于方程 f(x)3x23b0 在区间(0,1)内有解,并且其较大的解必须在区间(0,1)内于是得到 0 b1,即 0b1.故选 a. 6设函数 f(x)x3mx2nx 的图象与 x 轴切于点(1,0),

8、则 f(x)的极值为(a) a极大值为427,极小值为 0 b极大值为 0,极小值为427 c极大值为 0,极小值为427 d极大值为427,极小值 0 解析：根据导数的几何意义,得到 f(1)0,且 f(1)0, 即f（1）1mn0，f（1）32mn0，解得 m2,n1,此时 f(x)3x24x1(3x1)(x1),再依据求极值的方法,可以得到极大值为 f13427,极小值为 f(1)0.故选 a. 7若函数 f(x)x2ax1在 x1 处取极值,则 a_ 解析：本题考查对极值定义的理解 依题意有 f(x)2x()x1（x2a）()x12, f(1)0,解得 a3. 答案：3 8已知三次函数

9、 f(x)的图象经过原点,并且当 x1 时有极大值 4,当 x3 时有极小值 0,则函数f(x)的解析式为_ 解析：依题意,可设 f(x)ax3bx2cx(a0), 则 f(x)3ax22bxc,于是 f（1）3a2bc0，f（3）27a6bc0，f（1）abc4，f（3）27a9b3c0，解得a1，b6，c9. f(x)x36x29x. 答案：f(x)x36x29x 点评：典型的待定系数法解题,本题的条件有多余,所以要注意验根 9若函数 f(x)x(xc)2在 x2 处有极大值,则常数 c 的值为_ 解析：f(x)x32cx2c2x f(x)3x24cxc2, f(2)c28c120,c2

10、或 c6. 当 c2,f(x)3x28x4(3x2)(x2), 当23x2,f(x)0,当 x2,f(x)0, 当 x2 时有极小值 当 c6 时,f(x)3x224x363(x2)(x6), 当 2x6 时,f(x)0,当 x2 时,f(x)0, 当 x2 时有极大值 c6 符合题意 答案：6 10(2013 惠州三模)已知函数 f(x)x33ax(ar) (1)当 a1 时,求 f(x)的极小值； (2)若直线 xym0 对任意的 mr 都不是曲线 yf(x)的切线,求 a 的取值范围 解析：(1)当 a1 时,f(x)3x23, 令 f(x)0,得 x1 或 x1. 当 x(1,1)时,

11、f(x)0. 当 x(,11,)时,f(x)0. f(x)在(1,1)上单调递减,在(,1和1,)上单调递增 f(x)的极小值是 f(1)2. (2)f(x)3x23a,直线 xym0,即 yxm,依题意得,切线斜率 kf(x)3x23a1,即 3x23a10 无解 043(3a1)0,a13. 11(2013 惠州一模)已知f(x)ln x,g(x)13x312x2mxn,直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切于点(1,0) (1)求直线的方程及 g(x)的解析式； (2)若 h(x)f(x)g(x)其中 g(x)是 g(x)的导函数,求函数 h(x)的极大值 解析：(1)直线是函数 f(

12、x)ln x 在点(1,0)处的切线,其斜率 kf(1)1. 直线的方程 yx1. 又直线与 g(x)的图象相切,且切于点(1,0), g(x)13x312x2mxn 在点(1,0)的导函数值为 1. g（1）0，g（1）1m1，n16. g(x)13x312x2x16. (2)h(x)f(x)g(x)ln xx2x1(x0) h(x)1x2x112x2xx（2x1）（x1）x. 令 h(x)0,得 x12或 x1(舍去) 当 0 x0,h(x)单调递增； 当 x12时,h(x)0. 所以 f(x)在(,0),(2,)上单调递减,在(0,2)上单调递增 故当 x0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)0；当 x2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)4e2. (2)设切点为(t,f(t),则 l 的方程为 yf(t)(xt)f(t)