第1讲：不定积分的概念及性质

1、经济数学经济数学iiii主要内容主要内容 第四章第四章 一元函数不定积分一元函数不定积分第五章第五章 一元函数定积分一元函数定积分第六章第六章 多元函数积分学多元函数积分学期末总评期末总评: : 平时平时40%(40%(考勤考勤15%+15%+作业作业20%+20%+课堂表现与测课堂表现与测验验5%)+)+期末考试期末考试60%60%答疑时间：答疑时间：星期一星期一 1919：10102121：10 10 星期四星期四 10:3012:30办公地点办公地点：基础部（综合楼：基础部（综合楼414414）电电 话话：0200208781799887817998，135603880141356038

2、8014 （短号：（短号：668718668718）e-maile-mail： lizhi_lizhi_4主要内容：主要内容： 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念；一、原函数与不定积分的概念；二、基本积分表；二、基本积分表；三、不定积分的性质三、不定积分的性质(重点，难重点，难点）点）.5 设物体从某定点开始作直线运动设物体从某定点开始作直线运动, ,其其在在t时刻时刻运动运动速度为速度为v v(t) (v(t) 0), ,求其求其在在t时刻物体所经过的路程为时刻物体所经过的路程为s(t)及及 则在则在时间间隔时间间

3、隔t1, , t2内物体所经过的路程内物体所经过的路程s问题提出(已知速度求路程函数）)()()(12tstsstss，则：显然：若知道)()(s)(s(t)(tvttvts有关系式：与的问题，而我们知故问题都转化为求算问题。的问题，即求导的逆运要求出函数的导函数数数这就产生了知道一个函)()()(xfxfxf6污染问题清水以果已不再向水库排污，均匀地分散在水中。如且污染物单位：量已达设某水库目前污染物总),(3mqo, 0)(3trmr流出。若当前的时刻为度水库中的水又以同样速库中的水混合，流入水库，并立即和水天不变速度？降至原来的使水库中的污染物数量并求需要多少时间才能的表达式，物数量时刻

4、水库中的残留污染求%10)(tqt7),(),(03tqtmvt量水库中的残留污染物数时刻时所拥有的液体总量为设水库在vtqrdttdq)()(由条件知：vrdttqd)(ln等价于：)(, )(lntqvrtq求即已知：。就可以求出但只要求出了)(),(lntqtq算问题。的问题，即求导的逆运要求出函数的导函数数函数问题还是化为知道一个)()()(xfxfxf8 xxcos ? ? ？运算？运算求导求导)?(23 8)?(3 运算与逆运算幂开方38? xxsin 2 2xxcos9例例一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念.)()(.)()(),()(,),(,)(数数在在该该

5、区区间间上上的的一一个个原原函函是是则则称称或或都都有有点点使使得得在在该该区区间间上上的的每每一一存存在在一一个个函函数数如如果果个个函函数数是是定定义义在在某某区区间间上上的的一一设设已已知知定定义义xfxfdxxfxdfxfxfxfxf 的的一一个个原原函函数数是是的的一一个个原原函函数数，是是 cossin 22xxxx10在区间连续在区间连续)(xf的原函数一定存在的原函数一定存在)(xf在区间可积在区间可积)(xf11关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若

6、和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c12结论结论:函数函数 的所有原函数的一般表达式的所有原函数的一般表达式为为)(xff(x)(x)f()(cxf13任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：cxfxxf )(d)(被积表达式被积表达式积分变量积分变量的所有的原函数，则是函数定义：设函数)()()(xfxfxfcxfdxxfxfcxf)()(,)()(记作：不定积分的称作函数式原函数函数的一般表达141. 被积函数是原函数的导数被积函数是原函数的导数, 被积表达式是被积表达式是原函

7、数的微分原函数的微分.2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所不定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所或说其微分等于被积表达式的所有有函数函数. .有函数有函数. . 因此因此绝不能漏写积分常数绝不能漏写积分常数c.3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算为积分运算,它是微分运算的逆运算它是微分运算的逆运算.15例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx16积分曲线积分曲线 函数函数f(x)的原函数的

8、图形称为的原函数的图形称为f(x)的积分曲线的积分曲线. . 2x的的积分曲线积分曲线显然显然,求不定积分得到一求不定积分得到一积分曲线族积分曲线族. .哪些函数有原函数哪些函数有原函数?又如何求其原函数又如何求其原函数?原函数是否必为连续函数原函数是否必为连续函数?v原函数存在定理原函数存在定理 连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.17 dxx )2( dxex)4(;cex dxax)5(;lncaax 二、二、 基本积分公式基本积分公式 kdx)1(是常数是常数);kckx( );1(11 cxcx ln xdx)3(18 xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2

9、sin)9( xdx2csc;cotcx dxx211)11(;arctancx dxx211)10(;arcsincx xdxsin)7(;coscx xdxcos)6(;sincx 19例例3 3 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 . cx 722727125 20 dx d,c)x(fdx)x(f .)()( cxfxdf微分微分(求导求导)运算与求不定积分的运算是运算与求不定积分的运算是的的.)x(f)x(f)x(f)x(fdx三、三、 不定积分的性质不定积分的性质例例 ln 2？

10、xddxx2xcln x dxd dx 21 dxxgxf)()( ;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）线性性质：加减、数乘线性性质：加减、数乘性质性质1 1 dxxkf)( .)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k性质性质2 222例例4 4 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 基本积分公式基本积分公式cxdxx arctan112cxarcdxx sin11223例例5 5 求积分求积分.)1(22dxxx 解解

11、不能直接利用积分公式，需先变形不能直接利用积分公式，需先变形dxxxx 2221原式原式dxxx )121(2 dxdxxdxx122cxxx |ln2基本积分公式基本积分公式cxdxx 11 cxdxx |ln124例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx基本积分公式基本积分公式cxdxx arctan112cxdxx ln125基本积分公式基本积分公式 xdx2seccxtan例例7 7 求积分求积分.tan2dxx 解解:.tan2dxx dxx )1(

12、sec2xdxx 2seccxx tanxx22tan1sec 26例例8 8 求积分求积分解解:.)1 (2222dxxxxdxxxx)1 (2222dxxxxx)1 ()1 (22222dxxx22112dxxdxx22112.arctan2cxx基本积分公式基本积分公式cxdxx arctan112cxcxdxxdxx11)2(1122227例例9 9 求积分求积分.2cos2dxx解解:.2cos2dxxdxx2cos1cos21xdxdxcxxsin212cos12cos2xx基本积分公式基本积分公式xdxcoscxsin28例例10 求积分求积分.sincossin212dxxxx

13、解解:.sincossin212dxxxxdxxx)sin(cosxdxxdxsincoscxxcossinxxxxxx222222sincossin2)sin(cossin21基本积分公式基本积分公式xdxcos1sincxxdxcos2cossincxxdx29例例1111 设曲线通过点设曲线通过点(1, 2)，且其上任一点处的切，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2ddxxy ,22cxxdx,)(2cxxf由曲线通过点由曲线通过点(1, 2), 1 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy30例例12 12 问题提出中的污染问题的解