极坐标与参数方程例题示范

1、极坐标与参数方程例题示范(分题型 )极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高考考试说明，归纳总结为四类题型。题型一。极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。1在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x3ty1（ t 为参数），以 O 为极点， xt轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线 C 的极坐标方程为2 cos0 .（ 1）把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程；（ 2）求直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标（0,02 ） .试题解析：（ 1）由2cos0得2cos ，两边同乘以，得 x2y22x ；（2）由直线 l的

2、参数方程为x3t（ t为参数），得直线的普通方程为xy2 0 ，y 1tx1x2，化为极坐标为 ( 2 ,5)或(2, ).联立曲线 C 与直线 l 的方程得，或0y1y4考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化.考点：cosx,siny ，2x2y2.2在极坐标系中，设圆 C 经过点3,sin36，圆心是直线与极32轴的交点，求圆 C 的极坐标方程试题解析：法一：3,转化为直角坐标为：3， 3622直线 sin33xy30的直角坐标方程为：32它与 x 轴的交点也就是圆心为1,010所以 r22y21，得 x2y22x0所以圆的方程为 x 1所以，圆的极坐标方程为：

3、2cos法二： 因为圆心为直线sinsin2与极轴的交点，所以令0 ，得1，33即圆心是1,0又圆 C 经过点3,，圆的半径 r31 2 3 cos1 ，66圆过原点，圆 C 的极坐标方程是2cos考点：（ 1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二。曲线（圆与椭圆）的参数方程。（ 1）普通方程互化和最值问题。“1 ”的代换（ cos2sin 21 ）、三角解决。3C的参数方程是x( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴已知曲线2cos ,ysin为极轴建立极坐标系，A, B 的极坐标分别为A(2,

4、 ), B(2, 4 ) .AB 的直角坐标方程；3（）求直线（）设 M 为曲线 C 上的点，求点M 到直线 AB 距离的最大值 .试题解析：（）将 A 、 B 化为直角坐标为A(2cos ,2sin), B(2cos 4,2sin4) ，33即 A(2,0),B(1,3) ， kAB303 ，12直线 AB 的方程为 y03( x2) ，即 3xy2 3 0（）设 M (2cos,sin) ，它到直线 AB 的距离为d23cossin2 313sin() 2322，（其中 tan2 3）， dmax1323 2考点： 1. 椭圆的参数方程；2. 点到直线的距离公式；3. 三角函数求最值x3

5、t2,4已知曲线 C 的极坐标方程是2sin，直线 l 的参数方程是5（ t 为参数）设4 ty5直线 l 与 x 轴的交点是 M ， N 是曲线 C 上一动点，求MN 的最大值 .C22 sin. 又试 题解 析： 曲线的 极坐 标方程可化为222cos,ysinxy, x，所以曲线 C 的直角坐标方程为222 y 0 .xy将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程，得y4 ( x2)3，令 y0 ，得 x2 ，即 M 点的坐标为（2，0） .又曲线 C 的圆心坐标为（ 1， 0），半径 r 1，则 MC5 ， 所以 MN MC r5 1 .法二： 设 N 的坐标为cos,1sin.所以 MN

6、cos2(1sin) 224cos2sin62 5 sin625651考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系x2 t5已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是2，(t 是参数）y2 t 4 22以 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为2cos.4（ 1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（ 2）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x y 的取值范围 .试题解析：（ 1）直线 l 的普通方程为xy42 0，222曲线 C 的直角坐标系下的方程为x21，2y22

7、,2 到直线 xy420 的距离为 d52因为圆心5 1 ,222所以直线 l 与曲线 C 的的位置关系为相离 .（2）设点 M22sin，cos ,22则 xycossin2 sin2,2.4考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.6xOy，以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点已知平面直角坐标系的极坐标为 (2 3,x2cos) ，曲线 C 的参数方程为3 2sin6y（为参数） .（1）写出点 P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（ 2）若 Q 为曲线 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l : cos2sin1 0的距离的最小值 .试题解析：（ 1）点 P 的

8、直角坐标 (3,3)，由x2cos，得 x2( y3) 24 ，3 2siny所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2( y3) 24 .（2）曲线 C 的参数方程为x2cos（为 参数 ）， 直线 l 的 普 通方 程为y3 2sinx 2 y10 ，设 Q(2cos,3 2sin)，则 M(3cos,sin ) ，那么点 M 到直线 l 的距离2| 3cos2sin1| |5 sin()5 |555d2221，1222552所以点 M 到直线 l 的最小距离为51.2考点： 1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离（ 2）公共点问题。联立求解判别式，直线与圆

9、d 与 r 。7在直角坐标系中曲线x3 cossinM 的参数方程为2sin 2（为参y2 3 sincos2数）若以直角坐标系中的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为 sin()2 t 4 2（ 1）求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程；（ 2）若曲线 M 与曲线 N 有公共点，求实数 t 的取值范围试题解析：（1）由x3 cossin得x2(3 cossin)22cos 223 sincos1 ，又由 y23 sin cos2sin 22 得 23 sincosy2sin 22 ，所以曲线 M的普通方程为x2y1，即 yx21，又易知 x2

10、,2 ，曲线M的普通方程为 yx21 ， x2,2 由sin()2 t 得2sin2cos2 t ，42222所以sincost ，所以曲线 N 的直角坐标方程为xyt （ 2）当直线 N 过点 (2,3) 时，与曲线 M 有公共点，此时t5 ，从该位置向左下方平行移动直到与曲线M 相切总有公共点，联立xyt 得 x2x1 t 0 ，yx2114(1t) ，令 14(1t)0 ，解得 t55t5 所求实数t 的取值44范围是5 ,54考点： 1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系C 的直角坐标方程；8在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数

11、方程为 x ayt原点 O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系3t,（ t 为参数）在极坐标系 （以xOy 取相同的长度单位）中，圆 C 的方程为（）求圆（）若直线试题解析：4cosl 与圆 C 相切，求实数a 的值（）由4cos24 cosx2y24x圆 C 的直角坐标方程为( x2) 2y24 （或 x2y2（）直线 l 的参数方程为xa3t,x3y ayt圆 C 的圆心为 C (2,0)，半径 r2 ，由直线 l 与圆 C 相切，得2 a2 a2 或 613考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程( x2)2y24 ，4x0 ）；0 ，9在极坐标系中，直线 l 的极坐

12、标方程为2 sinm mR ，以极点为原点4极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为x3 cos ( 为参数，ysin且0,).（1）写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 有两个公共点，求 m 的取值范围 .试题解析：（ 1）由直线 l 的极坐标方程得：2sincoscossinm ，44即直线 l 的直角坐标方程为：y xm ，由曲线 C的参数方程x3 cos(为参数，且0,).ysinx2x2得：y2y21, y0,133（2）设 曲线C上任意 一点为3 cos ,sin，则msin3 cos2sin3,0,，Q 直线 l

13、 与曲线 C 有两个公共点，m3, 2.考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.题型三。直线参数方程（t 的几何意义）。定点到动点的距离。定标图号联、韦达三定理。x1 x2bc、 x1x2、 x1 x2aaax12 t10在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为2，（ t 为参数），在极坐标y52 t2系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的极坐标方程为25sin.（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ，若点 P 的坐标为 (1,5)，求 PAPB .试题解析：（ 1）由25sin，得

14、 x2y22 5y0 ，即 x2( y5) 25.（2）将 l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 (12 t) 2( 2 t) 25 ，22即 t22t40 .由于0，故可设 t1, t2，是上述方程的两实根，所以 t1t22 ，t1t24又直线 l 过点 P(1,5) ，故由上式及 t 的几何意义得PAPBt1t2t1t232 .a考点： 1. 曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2. 直线的参数方程的应用11在直角坐标系xoy 中，过点 P(1, 2) 的直线 l 的斜率为 1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin 22cos, 直线 l 和曲

15、线 C的交点为 A, B （ 1）求直线 l 的参数方程；（ 2）求 | PA|PB|试题解析：（）由条件知，直线l 的倾斜角45 ，所以 cossin2.2设点 M ( x, y) 是直线 l 上的任意一点，点P 到点 M 的有向向量为 t ，x12 t则2.2 ty22（）曲线 C 的直角坐标方程为y22x , 由此得 ( 22 t )22(12 t) ,22即 t 2 6 2t 4 0 .设 t1, t2 为此方程的两个根，因为l 和 C 的交点为 A, B ，所以 t1 ,t2 分别是点 A, B 所对应的参数，由韦达定理得PA PB = t1t 2 4考点：简单曲线的极坐标方程；参数

16、方程化成普通方程12在直角坐标系xOy 中，以原点为 O 极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为4 2 cos() .4（1）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P(2,0)作斜率为1 直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，试求11的值 .PAPB试题解析：（ 1）由42 sin( 3) ，可得4cos4sin，424cos4 sin， x2y24x4 y ，即 (x2)2( y2) 28x1 t（2）过点 P(0, 2) 作斜率为3 的直线 l 的参数方程为2（t 为参数） .y32t2代入 (x 2) 2( y2)28得 t 22t4 0，设点 A, B 对应

17、的参数分别为t1, t2 ，则 t1t2 2， t1 t24 .由 t 的几何意义可得1111t1t 2t1t21t1t2t1 t2t1t2.PAPB2（注：此题也可直接求A, B 两点坐标，再用两点间的距离公式求出PA ,PB.）考点： 1. 曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2. 直线与圆的位置关系13在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为x1t cosy2（ t 为参数），在极坐标系t sin（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆 C 的方程为6sin.（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）若点 P 1,2，设圆 C 与

18、直线 l 交于点 A, B ，求 PAPB 的最小值 .试题解析：（ 1）由6sin得26 sin，化为直角坐标方程为2y2x6 y ，即x2y29 ；3（2）将 l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 22 cossint702cos24 7 0，故可设 t1 ,t2 是上述方程的两根，由2sin所以t1t22cossin，又直线过点1,2，故结合 t 的几何意义得t1t27PAPBt 1t 2t 1t 24cossin228a324sin 232427所以 PAPB 的最小值为 2 7考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用.题型四。跟踪点参数方程的求法。跟踪点法。14在直角坐标系 xoy 中 , 曲线 C1x2cosM 是C1上的参数方程为2( 为参数 ),y2sin的动点， 点 P 满足, 记点 P 的轨迹为曲线 C2（1）求曲线 C2 的方程；（ 2）在以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线3 与曲线 C1 的异于极点的交点为 A, 与曲线 C2 的异于极点的交点为B , 求 AB 试题解析：（ 1）设 P x, y 则由条件知P x0 , y0 由于 M 在 C1 上 , 所以x02cosy02 2sinx4cos所以xx0y44siny