极坐标与参数方程15道典型题

1、极坐标与参数方程15 道典型题1 在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1 ，直线 C2 的极坐标方程分别为4sin，cos()2 2 4（ 1） 求 C1 与 C2 的直角坐标方程，并求出C1 与 C 2 的交点坐标；（2）设 P为 C1的圆心，Q为C1与 C2 交点连线的中点已知直线 PQ 的参数 方程为xt 3attR），求 a, b 的值yb t 3（为参数 ，12（ 1）由极直互化公式得：C1 : x 2( y2) 24C2: x y 40 4 分联立方程解得交点坐标为(0,4), (2,2) 5 分（ 2）由（ 1）知： P(0,2) ， Q(

2、1,3)所以直线 PQ ： xy2 0 ，化参数方程为普通方程：yb xab1，22b1对比系数得：2， a1,b210分1 ab222.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线 C1 的极坐标方程为2 cos 23 ，曲线 C 2 的参数方程为xtm ，（ t 是参数， m 是常y2t1数）（ 1）求 C1 的直角坐标方程和C2 的普通方程；（ 2）若 C 2 与 C1 有两个不同的公共点，求m 的取值范围 .解：（ 1）由极直互化公式得C1 :2 (cos 2sin 2) 3 ，所以 x2y 23 ； -2 分消去参数 t 得 C2的方程：

3、 y2x2m 1-4 分（ 2）由（ 1）知C1 是双曲线， C2 是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y 得：3x24(2m1) x4m24m40 ，-7 分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则16(2m 1)212(4m24m 4) 0，解得： m1或 m2 -10分3.已知椭圆 C:x2y2x33t41，直线 l:2 3（ t 为参数）3yt（ I ）写出椭圆 C 的参数方程及直线l 的普通方程；（II ）设1,0 ，若椭圆 C 上的点满足到点的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标解：（） C： x 2cos ，（ 为为参数） ， l： x 3y 9 04 分y 3sin （）设

4、 P( 2cos ，3sin ), 则 | AP| (2cos 1)2 ( 3sin )2 2 cos ，| 2cos 3sin 9|3sin 9P 到直线 l 的距离 d2 2cos23 ， cos 4由 | AP| d 得 3sin 4cos 5，又 sin2 cos 2 1，得 sin 55故 P 8 ，33)10 分(554.在极坐标系 Ox 中，直线 C1 的极坐标方程为 sin 2，M 是 C1 上任意一点， 点 P 在射线 OM 上，且满足 |OP | ·|OM| 4，记点 P 的轨迹为 C2（）求曲线C2 的极坐标方程；（）求曲线C2 上的点到直线cos( 4 )2的

5、距离的最大值解：（）设P (，)， M (1， )，依题意有1sin 2， 1 4消去 的极坐标方程为 2sin51，得曲线 C2分（）将 C2 ，C3 的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2： x2 (y 1)2 1， C3： x y2C2 是以点 (0， 1)为圆心，以1 为半径的圆，圆心到直线3 2，C3 的距离 d 2故曲线 C2 上的点到直线C3 距离的最大值为1321025.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为42 sin() 。现以极点 O 为原点，极轴为 x4x21t轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2（ t 为参数）。3y3t2（ 1）写出直线 l 的普通方程

6、和曲线C 的直角坐标方程；（ 2）设直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点，定点 P( 2,3) ，求 |PA | |PB |的值。【解】（1）42 sin()4 sin4 cos，所以24sin4 cos 。4所以 x 2y24x4 y0，即 ( x2) 2( y2) 28。 3直线 l 的普通方程为3xy2 330 。 5（ 2）把 l 的参数方程代入x 2y 24x4 y0 得： t2(45 3)t33 0。设 A, B 对应参数分别为t1,t 2 ，则 t1t233，点 P(2, 3) 显然在 l 上，由直线 l 参数 t 的几何意义知 | PA | PB | | t1t2 |33

7、 。 106在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为= 2sin（）写出 C 的直角坐标方程；（） P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标.解：（ I ）由 C 的极坐标方程为=2sin222， =2，化为 x +y =配方为=35 分（II ）设 P，又 C |PC|=2，因此当 t=0 时， |PC|取得最小值2此时 P（ 3， 0）10 分7. 在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 cos(3 )1，M、 N

8、分别为 C与 x 轴、 y 轴的交点（）写出 C的直角坐标方程，并求出M、 N的极坐标；（）设 MN的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程解： (1) 将极坐标方程 cos 1化为：3132cos 2 sin 1.则其直角坐标方程为：1x323，N 23，22y1，M(2,0) ，N(0 ，3) ，其极坐标为 M(2,0).32(2) 由 (1) 知的中点3.MNP1， 333直线 OP的直角坐标方程为y 3 x，化为极方程为：sin 3 · cos .3化简得 tan 3 ，即极坐标方程为 6 .8在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线

9、C12，直线 l 的极坐标方程为 =的极坐标方程为 =（ ）写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程；（ ）设 Q 为曲线 C1 上一动点，求Q 点到直线 l 距离的最小值【解答】（ ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C1的极坐标方程为2，直线 l 的极坐标方程为 =，=222根据 =x +y ， x= cos， y= sin，则 C1 的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线 l 的直角坐标方程为（）设 Q，则点 Q 到直线 l 的距离为=，当且仅当，即（ kZ ）时取等号 Q 点到直线l 距离的最小值为9在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（ 为参

10、数） M 是 C1 上的动点，P 点满足=2，P 点的轨迹为曲线 C2（ ）求 C2 的方程；（ ）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线= 与 C1 的异于极点的交点为 A ，与 C2 的异于极点的交点为 B ，求 |AB| （ II ）根据（ I ）将求出曲线 C1的极坐标方程， 分别求出射线1的交点1= 与 CA 的极径为 ，以及射 线 =与 C2 的交点 B 的极径为 2，最后根据 |AB|=| 2 1|求出所求【解答】 解：（ I）设 P（ x， y），则由条件知 M （ ， ）由于 M 点在 C1 上，所以即从而 C2的参数方程为（ 为参数）（）曲线 C1的极坐

11、标方程为=4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为 =8sin射线 =与 C1的交点 A 的极径为 1=4sin，射线 =与 C2的交点 B2的极径为 =8sin所以 |AB|=| 21 |=10设圆 C 的极坐标方程为=2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致， 建立平面直角坐标系过圆 C 上的一点M（ m，s）作垂直于x 轴的直线l ：x=m ，设 l 与 x 轴交于点N，向量（ ）求动点Q 的轨迹方程；（ ）设点 R（ 1， 0），求的最小值【解答】 解：（ ）由已知得N 是坐标（ m， 0），设 Q（ x， y），由，得，则， 点 M 在圆 =2 上，即在m

12、2+s2=4 上， Q 是轨迹方程为；（ ） Q 点的参数方程为，则的最小值为11已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（ t 是参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程 （ ）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（ ）设 M 为曲线 C 上任意一点，求x+y 的取值范围【解答】 解：（ ）由，消去 t 得： y=x+由，得，即，即化为标准方程得：圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x y+=0 的距离d= 1 直线 l 与曲线 C 相离；（ ）由 M 为曲线 C 上任意一点，可设，则 x+y=sin +cos=， x+y 的取值范围是12.

13、 已知曲线 C 的参数方程为x25 cos为参数 ) ，以直角坐标系原点为极点，x 轴y1(5 sin正半轴为极轴建立极坐标系 .（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为(sin +cos)=1 ，求直线被曲线C 截得的弦长 .23.(1) 曲线 C 的参数方程为x25 cos( 为参数 )y15 sin曲线 C 的普通方程为x2252y 1xcos4cos2sin将代入并化简得：ysin即曲线 c 的极坐标方程为4cos2sin.5分(2) 的直角坐标方程为 x y 1 0圆心C到直线的距离为= 2 =2弦长为 2 52 =23.10分d2ì13.（ 15 年福建理科

14、） 在平面直角坐标系xoy 中，圆 C 的参数方程为? x = 1+3costí(t 为参数 ) .? y = - 2+3sin t在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2rsin(q -p) = m,(m ? R).4( )求圆 C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；( )设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值试题分析：( ) 将圆的参数方程通过移项平方消去参数得22，利用(x - 1) +( y + 2)= 9xcos， ysin 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；( )利用点到直

15、线距离公式求解22试题解析： ( )消去参数 t，得到圆的普通方程为 (x - 1)+(y + 2)= 9 ,由 2r sin(q - p ) = m ，得 r sin q - rcosq - m = 0 ,4所以直线 l 的直角坐标方程为x - y - m = 0 .( )依题意，圆心C 到直线 l 的距离等于2，即|1 - (- 2) + m |，2= 2 解得 m=-3±2 214.（ 15 年新课标2 理科）在直角坐标系xt cosxOy 中，曲线 C1：（ t 为参数， t 0），其yt sin中 0 <，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ， C3：23cos。（ 1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（ 2）若 C1 与 C2 相交于点 A， C1与 C3相交于点 B，求 | AB | 的最大值。x31 t15（ 15 年陕西理科） 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为2 （ t 为参数）以y3 tx 轴正半轴为极轴2原点为极点，建立极坐标系，e C 的极坐标方程为23sin（ I）写出 e C 的直角坐标方程；（ II ） 为直线 l 上一动点，当到圆心 C 的距离最小时，求的直角坐标【答案】（ I ） x22） 3,0y33 ；（II【解析】试题分析：（ I