极限计算方法总结

1、极线的运算法则班级 :组名：组员 :高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多， 非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学 后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1定义 ：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述）。说明：（ 1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim b0( , 为常数且a0) ； lim(3 1)5 ；nana bx

2、x 2lim qn0 ， 当 | q |1时；等等不存在，当n| q | 1时（ 2）在后面求极限时， （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法则定理 1已知lim f ( x) ， limg ( x) 都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1） lim f ( x)g (x)AB（ 2） limf ( x)g ( x)AB（ 3） limf ( x)A ,(此时需 B 0成立 )g( x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限sin x1（ 1） limxx011 ) x（

3、 2） lim (1x) xe ；lim (1ex0xx说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男， （ 1964），副教授。1x例如： lim sin 3x1 ， lim (1 2x) 2 xe ， lim (13 ) 3e ；等等。x 03xx0xx4等价无穷小定理 2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理 3当 x0 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1x) e x1 。说明 ：当上面每个函数中的自变量x 换成 g( x) 时（ g

4、( x)0 ），仍有上面的等价关系成立，例如： 当 x0 时， e3x1 3x； ln(1x2 ) x2。定理 4如果函数f (x), g( x),f1 ( x), g1 ( x)都是 xx0 时的无穷小，且f ( x) f1 (x)存 在 时 ， limf ( x)f1 ( x) ， g( x) g1 ( x) ， 则 当 lim也存在且等于x x0 g1 ( x)xx0 g (x)f1 ( x)f ( x)f1 (x)。f ( x) lim，即 lim= limx x0 g1( x)xx0 g (x)x x 0 g1 (x)5洛比达法则定理 5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时

5、，函数f (x) 和 g( x) 满足：（ 1） f (x) 和 g (x) 的极限都是 0 或都是无穷大；（ 2） f (x) 和 g (x) 都可导，且 g( x) 的导数不为 0；（ 3） lim f ( x) 存在（或是无穷大） ；g (x)则极限 limf ( x)f ( x)f (x)f ( x)也一定存在，且等于 lim，即 lim= lim。g ( x)g (x)g( x)g ( x)说明 ：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件（2）一般都

6、满足，而条件（3）则在求导完毕0后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0 是函数 f ( x) 的定义去间内的一点，则有lim f ( x)f (x0 )。x x07极限存在准则定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。定理 8（准则 2） 已知 xn , yn , zn 为三个数列，且满足：（ 1） ynxnzn , (n 1,2,3,)（2） lim yna ， lim znann则极限 lim xn 一定存在，且极限值也是a ，即 lim xn a 。nn二、求极限方法举例1 用初

7、等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1lim3x12x1x 1解：原式 = lim(3x1) 22 23x33lim。x 1 ( x 1)( 3x 1 2)x 1 ( x 1)( 3x 1 2)4注：本题也可以用洛比达法则。例 2limn (n2n1)nn( n2)(n1)分子分母同除以n33解：原式 = limlim。nn2n1n21 211nn例 3lim( 1) n3n2n3nn上下同除以 3 n(1)n1解：原式lim31。( 2) n1n32 利用函数的连续性（定理6）求极限1例 4limx 2e xx21解：因为 x02 是函数 f ( x)x 2 e x 的一个连续点，1所

8、以 原式 = 2 2 e 24e。3 利用两个重要极限求极限1cos x例 5 lim3x2x 02sin 2x2 sin 2x1解：原式 = lim22lim2x。x03xx 012)26(2注：本题也可以用洛比达法则。2例 6 lim (13sin x) xx 016sin x16sin x解：原式 = lim (13sin x)3sin xxlim (1 3sin x) 3 sin x xe6。x0x0例 7 lim ( nn2 )nn13n 13n3n 13n解：原式 = lim (1) 3n 1lim (1) 3 n 1e 3。nn1nn14 利用定理2 求极限例 8 lim x2

9、sin 1x0x解：原式 =0（定理 2 的结果）。5 利用等价无穷小代换（定理4）求极限x ln(1 3x)例 9 limx0 arctan(x 2 )解：x0时，ln( 13x) 3x ， arctan(x 2 ) x2 ，原式 = limx3x3 。x2x 0exesin x例 10 limsin xx 0 x解：原式 = lim esin x (ex sin x1)lim esin x (xsin x)1 。x 0xsin xx0xsin x注：下面的解法是错误的：(ex1)( esin x1)xsin x原式 = limxsin xlim1 。x 0x0 xsin x正如下面例题解法

10、错误一样：lim tan xsin xlimx x0 。x 0x3x 0x 3tan(x2 sin 1)例 11limsin xxx 0解：当 x0 时，x2 sin 1是无穷小，tan(x 2 sin 1 )与 x2sin 1 等价 ，xxxx2 sin 1lim xsin 1所以，原式 = limx0 。（最后一步用到定理 2）x 0xx 0x6 利用洛比达法则求极限说明 ：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1cos x（例 4）例 12 lim2x 03x解：原式 = lim sin x1。（最后一步用到了重要极

11、限）x0 6x6cos x例 13 lim2x1x1x2sin解：原式 = lim2。x112例 14limxsin xx3x 01cos x= limsin x1解：原式 = lim3x 26 x6。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）x0x0例 15limsin xx cos xx2sin xx 0解：原式limsin xx cos xlimcos x(cos x x sin x)x2x3x2x0x 0limx sin x1x03x 23例 18lim 11x 0xln(1x)解：错误解法 ：原式 = lim 11 0。x0xx正确解法：原式limln(1x)xln(1x)xxln(1x)

12、limxxx0x011lim1 xlimx1。x)x02xx 0 2x(12应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例 19limx2sin xx 3x cosx解：易见：该极限是“0 ”型，但用洛比达法则后得到： lim 12cosx ，此极限0x3sin x不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：2sin x1x原式 = lim（分子、分母同时除以x）xcosx3x1（利用定理1 和定理 2）=37 利用极限存在准则求极限例 20已知 x12 , xn 12xn, (n1, 2,) ，求 limxnn解：易证：数列 xn 单调递增，且有界（0< xn <2），由准则1 极限 limxn 存在，n设 lim xna 。对已知的递推公式 xn 12xn两边求极限，得：na2a ，解得： a2 或 a1（不合题意，舍去）所以limxn2 。n例 21lim(111)1n 22n2nn2n解： 易见：n1