天津大学概率论与数理统计随机变量函数

1、2.5 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律问题的提出问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. .42d求截面面积求截面面积 a a = = 的分布的分布. .例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d d 的分布，的分布，已知已知t=tt=t0 0 时刻噪声电压时刻噪声电压 v v的分布，的分布，求功率求功率 w=vw=v2 2/r/r ( (r r为电阻）的分布等为电阻）的分布等. .这类问题无

2、论在实践中还是在理论上都是重要的这类问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. .问题的一般提法问题的一般提法?)(的分布的分布变量变量的分布求得随机的分布求得随机量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变xfyx ch2-3方法方法 将与y 有关的事件转化成 x 的事件求求 随机因变量y= g ( x )的密度函数 或分布律)(yfy问题问题 已知已知 r.v. x 的d.f.)(xfx或分布律.ch2-4设 r.v. x 的分布律为, 2 , 1,)(kpxxpkk由已知函数 g( x)可求出 r.v. y 的所有可能取值，则 y 的概率分布为, 2 , 1,)()(:ipyypikyxg

3、kki离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布1 1、一维离散型随机变量函数的概率分布律、一维离散型随机变量函数的概率分布律例例1:已知已知xpx-1 0 10.20.10.7求：求：y=2x的概率分布律的概率分布律ypy-2 0 2 0.20.1 0.7 12 3ykkxxp xxp kyg xyg x设随机变量 的概率分布律为， ，若 是一元单值实函数，则 也是一个随机变量,如何求 的概率分布律？设随机变量x的概率分布律为求y=2x2 +1的概率分布律。解例2由题设可得如下表格 x1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012y=2x2+13139概率0.20.30.40

4、.1所以，y=2x2+1的概率分布律为 y 1 3 9 py 0.3 0.6 0.1一般地一般地12 kxxxx12 xkpppp12() ()()()kyg xg xg xg x: ,1,2,3,kiiikk g xyyg xp yyp g xyp i或例例3 3：设随机变量：设随机变量x x的概率分布律为的概率分布律为解y -1 0 1 py 2/15 1/3 8/15 1 2 3 xn231111 2222xnpsin2yx求的概率分布律。解题过程2,0, 1, .例 4： 设求 随 机 变 量；的 分 布 . xnxyx0 111 22ypy答案二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续

5、型随机变量函数的概率密度 设随机变量设随机变量x的概率密度为的概率密度为 ，求随，求随机变量机变量y=g(x)(g连续连续)的概率密度的概率密度. )(xfx第一步第一步 求出求出y的分布函数的分布函数 的表达式的表达式 ；)(yfy第二步第二步)()(yfyfyy 1 1一般方法一般方法分布函数法分布函数法 yxgxlxyydxxfdxxflxpyfy)()()(因为fy(y)=pyy=pg(x)y，设ly=x|g(x)y则)()(yfyfyy ,2828 yyfx第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度. .d)(28 xxfyx ., 0, 4280,212881)(其其他

6、他所所以以yyyfy ., 0,168,328其其他他yy.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量其他其他的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量xyxxxfxx第一步第一步 . )(82yfxyy的分布函数的分布函数求求)(yypyfy 82yxp 28yxpxxfyxd)(28 解解例例2).()( . 2)( . 1yfyfyfyyy ；求求, ( )ppyyfyyyaxby解：先求分布函数。对任意实数2, 例5：设随机变量，求的概率密度函数。 xnyaxb 0( )pyxaybybfyxfaa当时，所以， 222()11( )2y b aayxybfy

7、feaaa 01 1yxaybybfypxpxaaybfa当时 ，222()11( )2y b aayxybfyfeaaa 综上得 2,yn aba22( ,), (0), (, () )xnyaxb ayn aba 设则2( ,),(0,1)xxnn 若则n 推论n 定理正态随机变量的线性函数服从正态分布。-正态随机变量的标准化 .)()(),(),(max(),(),(min(的反函数的反函数是是其中其中xgyhgggg ., 0, )()()(,)(,),()(,),(其他其他概率密度为概率密度为其其变量变量型随机型随机是连续是连续则则的可导函数的可导函数内严格单调内严格单调为为又设函数

8、又设函数中中其其的具有概率密度的具有概率密度设随机变量设随机变量yyhyhfyfxgyxgxxfxxyx定理定理2.2.公式法公式法证：只证证：只证g g (x)0(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )严格单调增加，它的反函数严格单调增加，它的反函数h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求严格单调增加，可导，现在先来求y y的分布函的分布函数数f fy y(y)(y)。 yhxdxxf因为因为y=g(x)y=g(x)在在(，)取值，故当取值，故当yy时，时， f fy y(y)=pyy=0(y)=pyy=0；此定理的证明与前

9、面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似. .当当yy时，时， f fy y(y)=pyy=1(y)=pyy=1；当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g (x)0)(x)0)，此时此时 )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)0, 同理可证同理可证 其其他他0)()()( yyhyhfyfxy若若g(x)不是单调函数不能用此定理不是单调函数不能用此定理.公式注释 , ( )( )( ) | ( )|xyxxfxyg xyg xfyfh yh yh yy g x公式法：一般地，若 是单调可导函数，则其中是的反函数。注注：1 1 ）只有当）只有

10、当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求y y的概率密度函数。的概率密度函数。 2 2） 注意定义域的选择。注意定义域的选择。 (0,1), 1 22ln例6：设随机变量求的概率密度函数；的概率密度函数. xxuyeyx 1, 0,1 ;(0,1),0, xxxufx解：因为所以 其他. 10,0 0xyyeyfyp yy因为所以，当时， 0yfy 从而， 0xyyfyp yyp ey当时，lnlnxp xyfy 1/ , 0ln1;1ln0, ln0 ln1;yxyyfyfyyoryy1/ , 1,0, 01 .yyeyor ye

11、1/, 1, 0, .yyyyefy综上得 的概率密度函数为：其他 22lnyf yp yypxy2yp xe21yxfe 21, 0, 20, .yyyeyfy综上得 的概率密度函数为：其他20, 0;1, 0.yyey 例例7.7.设设x x u(-1,1),u(-1,1),求求y=xy=x2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 dxxfyfxxgyxxfyxxyx22)(01121其它ydxfyyy21其它01021)( )(yyyfyfyy当y0时0)(yfy当0y1时当y1时1)(yfyyy 222112()30dxyxxyxfxyg xxfyp yyp xyfxx ，解

12、：其他； 2101,=d33yyyyyfypyxyx当时0( )0yyfy当时，；4( )1yyfy当时，； 1114d11 =0dd33yyxyyyyfyfxxyxx当时 ，2. u1,2 ,例8设求的分布函数与概率密度函数。xyx1013d()1()14d60 yyyyfyfyyyy，；，；，其 他 .0 0 ;2013()1, 1431, 4yyyyyfyyy， ， ；y所以，随机变量 的分布函数为：概率密度函数为：例9：设一设备开机后无故障工作的时间x服从参数为2的指数分布，每当设备出现故障时就自动关机，而在无故障的情况下，设备工作8小时便自动关机，试求该设备每次开机至关机这段工作时间y的分布函数。 例：设随机变量x服从参数为2的指数分布，令y=minx,8，求随机变量y的分布函数小结.0 -1 分 布二 项 分 布 b （ n ,p )泊 松 分 布 p ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 u (a ,b