高一数学对数与对数的运算

1、2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第一课时第一课时 对对 数数 1. 1.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿亿. .如果今后能将人口年平均增长率控制在如果今后能将人口年平均增长率控制在1%1%，那么经过，那么经过2020年后，我国人口数最多年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到人口数将达到1818亿？亿？ 1313 (1(11 1) )x x1818，求，求x=?x=?知识探究知识探究3.3.上面的实际问题归结为一个什么上面的实际问题归结为一个什么数学问题？数学问题？ 2.2.

2、假设假设20062006年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a a亿元，如果每年的平均增长率为亿元，如果每年的平均增长率为8% 8% ，那，那么经过多少年我国的国民生产总值是么经过多少年我国的国民生产总值是20062006年的年的2 2倍？倍？ (1(18 8) )x x2 2，求，求x=?x=?已知底数和幂的值，求指数已知底数和幂的值，求指数. . 知识探究知识探究知识探究知识探究思考思考1:1:若若2 24 4m m，则，则m m？ 若若2 22 2n n，则，则n n？ 思考思考2:2:若若2 2x x1616，则，则x x？ 若若2 2x x , ,则则x x？ 若若4 4x x8

3、 8， 则则x x？ 若若2 2x x3 3， 则则x x？ 41（一）：（一）：对数的概念对数的概念 思考思考3:3:满足满足2 2x x3 3的的x x的值，我们用的值，我们用loglog2 23 3表示，即表示，即x xloglog2 23 3，并叫做，并叫做“以以2 2为底为底3 3的的对数对数”. .那么满足那么满足2 2x x1616，2 2x x ，4 4x x8 8的的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？ 41思考思考4:4:一般地，如果一般地，如果a ax xn n（a0a0，且，且a1a1），那么数），那么数x x叫做什么？怎样表示？叫做什么？怎样表示？ x xl

4、ogloga an n知识探究知识探究思考思考6: 6: 满足满足 , , ， （其中（其中e=2.7182818459045e=2.7182818459045）的）的x x的值的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？殊名称？10 xnxen思考思考5:5:前面问题中，前面问题中， , , 中的中的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？181.0113x1.082x知识探究知识探究知识探究知识探究（二）：（二）：对数与指数的关系对数与指数的关系 思考思考1:1:当当a a0 0，且，且a1a1时，若时，若a ax xn n，则，则x xloglo

5、ga an n，反之成立吗？，反之成立吗？ 思考思考2:2:在指数式在指数式a ax xn n和对数式和对数式x xlogloga an n中，中，a a，x x，n n各自的地位有什么不同？各自的地位有什么不同？ a a n n x x 指数式指数式a ax xn n 指数的底数指数的底数 幂幂 幂指数幂指数 对数式对数式x xlogloga an n 对数的底数对数的底数 真数真数 对数对数 知识探究知识探究思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），），logloga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结

6、论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和logloga aa a（a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 思考思考5:5:若若a ax xn n，则，则x xlogloga an n ，二者组，二者组合可得什么等式？合可得什么等式？ 理论迁移理论迁移 例例1.1.将下列指数式化为对数式，对数式将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式：化为指数式： (1) 51) 54 4625625 ; (2) 2; (2) 26 6 ; ; (3) (3) ( )( )m m5.735.73 ; (4) ; (4) ; ; (5) lg0.01= (5

7、) lg0.01=; (6) ln10; (6) ln102.303.2.303.3116log21641理论迁移理论迁移 例例2.2.求下列各式中的值：求下列各式中的值： (1)log1)log6464x x ; (2) log; (2) logx x8 86 ; 6 ; (3)lg100=x; (4) (3)lg100=x; (4)lnelne2 2 . .23作业布置作业布置课堂作业：课堂作业：p p练习练习: :1,1, , ,. .p p习题习题2.2.a a组：组：1,1,. .课后作业：课后作业：学海导航学海导航p41 p41 第六课时第六课时第二课时第二课时 对数的运算对数的运

8、算2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 问题提出问题提出1.1.对数源于指数，对数与指数是怎样互对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？化的？ 2.2.指数与对数都是一种运算，而且它们指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？那么对数运算有那些性质呢？ 知识探究知识探究知识探究知识探究（一）：（一）：积与商的对数积与商的对数思考思考2:2:将将loglog2 23232loglog2 24 4十十loglog2 28 8推广到一推广到一般情形有什么结论？般情形有什么结论？思考思考1:1:求下列三个

9、对数的值：求下列三个对数的值：loglog2 23232， loglog2 24 4 ， loglog2 28 8你能发现这三个对数之你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？间有哪些内在联系？思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，m m0 0，n n0 0，你，你能证明等式能证明等式logloga a（mnmn）logloga am m十十logloga an n成立吗？成立吗？知识探究知识探究思考思考4:4:将将loglog2 23232loglog2 24=log4=log2 28 8推广到一推广到一般情形有什么结论？怎样证明？般情形有什么结论？怎样证明？ 思考思考5:5:若

10、若a a0 0，且，且a1a1，m m1 1，m m2 2，m mn n均大于均大于0 0，则，则logloga a(m(m1 1m m2 2m m3 3mmn n）？）？ 知识探究知识探究（二）（二）: :幂的对数幂的对数思考思考1:1:loglog2 23 3与与loglog2 28181有什么关系？有什么关系？思考思考2:2:将将loglog2 281=4log81=4log2 23 3推广到一般情形有推广到一般情形有什么结论？什么结论？ 思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，m m0 0，你有什么，你有什么方法证明等式方法证明等式logloga am mn nnlogn

11、loga am m成立成立 思考思考4:4:loglog2 2x x2 2=2log=2log2 2x x对任意实数对任意实数x x恒成立吗？恒成立吗？思考思考6 6: :上述关于对数运算的三个基本性上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？质如何用文字语言描述？思考思考5:5:如果如果a a0 0，且，且a1a1，m m0 0，则，则 等于什么？等于什么？lognam两数积的对数，等于各数的对数的和；两数积的对数，等于各数的对数的和；两数商的对数，等于被除数的对数减去两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数；除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数幂的对数等于幂指数乘以底数

12、的对数例例1 1 用用logloga ax x，logloga ay y，logloga az z表示下列表示下列 各式：各式：(1)(1) ; (2) . ; (2) . logaxyz23logaxyz理论迁移理论迁移例例2 2 求下列各式的值：求下列各式的值： (1) log(1) log2 2（4 47 72 25 5）；）； (2) lg(2) lg ；(3) log(3) log3 318 -log18 -log3 32 2 ；(4) .(4) .510031 log 23理论迁移理论迁移理论迁移理论迁移例例3 3 计算：计算： 8log3136. 0log2110log3log2

13、log255555小结小结: :性质性质的等号左端是乘积的对数，右端是的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是对数的和，从左往右看是个降级运算个降级运算. .性质性质的等号左端是商的对数，右端是对的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算往左是一个升级运算. .性质性质从左往右仍然是降级运算从左往右仍然是降级运算利用对数的性质利用对数的性质可以使两正数的积、可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求差运算，大大的方便了

14、对数式的化简和求值值. .课堂作业：课堂作业： p p6868练习：练习：1, 21, 2，3.3.p p7474习题习题2.2a2.2a组：组：3,4,5.3,4,5.课外作业：课外作业：同步练习册同步练习册第七课时第七课时2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第三课时第三课时 换底公式及对数运算的应用换底公式及对数运算的应用 问题提出问题提出.（1 1） （2 2） （3 3）loglognaamnmlogloglog ()aaamnm nlogloglogaaammnn（1 1） ; ; （2 2） ; ; （3 3） . .log1aa log 10aloganan1.

15、1.对数运算有哪三条基本性质？对数运算有哪三条基本性质？2.2.对数运算有哪三个常用结论？对数运算有哪三个常用结论？问题提出问题提出 3.3.同底数的两个对数可以进行加、减同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？运算，可以进行乘、除运算吗？ 4.4.由由 得得 ，但这只，但这只是一种表示，如何求得是一种表示，如何求得x x的值？的值？ 181.0113x1.0118log13x 知识探究知识探究（一）：（一）：对数的换底公式对数的换底公式 思考思考2:2:你能用你能用lg2lg2和和lg3lg3表示表示loglog2 23 3吗？吗？ 思考思考1:1:假设假设 ，则，则 ，从

16、而有，从而有 .进一步可得到什么结论？进一步可得到什么结论？ 22log 5log 3x222log 5log 3log 3xx35x思考思考4:4:我们把我们把 （a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0）叫做叫做对数换底公式对数换底公式，该公式有什么特征？，该公式有什么特征？logloglogcacbba思考思考3:3:一般地，如果一般地，如果a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0，那么，那么 与哪个与哪个对数相等？如何证明这个结论？对数相等？如何证明这个结论？ loglogccba知识探究知识探究思考思考6:6:换底公式在

17、对数运算中有什么意换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？义和作用？ 思考思考5:5:通过查表可得任何一个正数的常用通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求对数，利用换底公式如何求 的值？的值？ 1.0118log13知识探究知识探究（二）：（二）：换底公式的变式换底公式的变式 思考思考1: 1: 与与 有什么关系？有什么关系？ logablogba思考思考2: 2: 与与 有什么关系？有什么关系？ lognanlogan思考思考3: 3: 可变形为什么？可变形为什么？ (log) (log)aamn理论迁移理论迁移 例例1 1 计算：计算： (1) 1) ; ; (2) (2)

18、（loglog2 2125125loglog4 42525loglog8 85)5) （loglog5 52 2loglog25254 4loglog1251258 8）32log9log278 例例2 2 20 20世纪世纪3030年代，里克特制订了一种年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越仪记录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们这就是我们常说的里氏震级常说的里氏震级m m，其计算公式为，其计算公式为m mlgalgalgalg

19、a0 0. . 其中其中a a是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，a a0 0是是“标准地震标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. .（1 1）假设在一次地震中，一个距离震中）假设在一次地震中，一个距离震中100100千米的测震仪记录的地震最大振幅是千米的测震仪记录的地震最大振幅是2020，此，此时标准地震的振幅是时标准地震的振幅是0.0010.001，计算这次地震，计算这次地震的震级（精确到的震级（精确到0.10.1）；）； 4.34.3 20 20世纪世纪3030年代，里克特制订了

20、一种表明年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们常说这就是我们常说的里氏震级的里氏震级m m，其计算公式为，其计算公式为m mlgalgalgalga0 0. . 其中其中a a是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，a a0 0是是“标准标准地震地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）震仪距实际震中的距离造成的偏差）. .（2 2）5 5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震给人的震感已比较明显，计算7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大振级地震的最大振幅的多少倍（精确到幅的多少倍（精确到1 1）. . 398398理论迁移理论迁移 例例3 3 生物机体内碳生物机体内碳1414的的“半衰期半衰期”为为57305730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳碳1414的残余量约占原始含量的的残余量约占原始含量的76.776.7，试，试推算马王堆古墓的年代推算马王堆古墓的年代. . 21932193作业布置作业布置课堂作业：课堂作业：p68 p68 练习：练习：4.4