41对称性、守恒律和简并性

1、第4章 量子力学中的对称性 4.1 对称性、守恒律和简并性一、经典物理中的对称性n对拉格朗日函数：n若 ,即广义动量为运动常数.n类似地，若用哈密顿函数 的正则方程来讨论：ltvl(q ,q )dpldl0, ()0qdtqdt则hlp q hh q, ppqh0pq .若，则是运动常量二、量子力学中的对称性n量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符t相联系的，习惯上t常被称作对称算符。n若t作用下系统不变,则称系统具有与t相关的对称性.n对无穷小变化的操作，t可写为， 其中g是对称操作的厄米生成元。n若h在t作用下不变， 则根据海森堡运动方程，有 ，即g是运动常量。git1, g,h0

2、, t hth即 0dgdtn例如动量是平移的生成元，若h在平移操作下不变，则动量是运动常量（即守恒）。类似的，若h在转动下不变，则转动的生成元角动量守恒。n从态矢变化的角度看，若g与h对易，则 保持是g的本征态，且g的本征值不变：00g ,t ;tu(t,t ) g 0g g ,t ;tgu gug gg u g物理规律的平移不变性特征三、简并 态n若h,t=0，t为某对称算符，|n为本征值为en的能量本征态，则t|n也是相同能量的能量本征态。如果t|n与|n是不同的态，则称它们是能量简并态，体系有简并。有时t由连续参量表征t=t(),此时所有的t()|n态都简并（但简并度只是独立的t()|

3、n态数）。n如对转动， 可构造h,j2,jz的共同本征态|n;j,m。由上所知，所有d(r) |n;j,m态能量简并。n由于 , 改变表征d(r)的连续参量,可得不同|njm组合,故不同m的|njm是简并的。因m有2j+1个，简并度为2j+1。n从h,j=0和j作用于|njm也可知其有2j+1简并度2( ),0, ,0, ,0,d r hj hjh则 mjmmrdmnjnjmrd)()()(n作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为 。由于势v(r)在转动下不变，故原子能级有2j+1重简并。若外加z方向的电磁场，则电子所受的势不再在转动下不变，简并被消除。( )( )lsv rvr l s4

4、.2 分离对称性，宇称或空间反演 n上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。n宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。对称操作的两种等价方式：主动与被动一、宇称算符的基本性质n对|,用幺正算符表示宇称算符，| |。n 要求位置算符的期待值变号，即n则有n位置本征态|x在宇称作用下变为本征值为-x的态：n故n由于用作用两次体系必恢复原状，故2=1n=-1=+，是厄米的。n对的本征态|,因|=2|，知=1

5、xx 0 xxxxx 或 ，即 与 反对易xxx xx (x ) iixe-xe1. ,通常取二、算符在宇称操作下的变换n由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：n有n或p,=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。n对轨道角动量l=xxp，可预期l,=0.n对一般角动量，考虑到r(宇称)=-i,宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易: d(r)=d(r) ,j=0.,)xd(t)xd(tip dxip dx(1)1, pp 三、矢量和赝矢量n在转动下x和j以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但x和p与反对易，而j与对易。n与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对

6、易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。n类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易） 。nls、xp是标量： + ls= lsn赝标量的例子包括sx、lx等：等：xl)x(lxlxl四、波函数在宇称操作下的变换n若|为宇称本征态，|= |,则= , 故有n“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与对易，其本征态即平面波并非的本征态，而轨道角动量的本征态则可为的本征态：(x )x, x-x(-x) 的波函数为)x()x(21)()!x,( )( , )( )( )(cos )4 ()!mmmimllllmlmrrrrpelm

7、,( ),llmlm 五、能量本征态与宇称n若h,=0,而|n是h的本征值为en的非简并本征态，则|n是宇称本征态。n证：h|n=en|n,由非简并性得|n=ei|n.n作为应用，考虑简谐振子本征态。 由于基态为高斯函数，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 类似可推得|n=(-)n|nn注意:非简并性对得出|n是的本征态是非常重要的。若有简并，如氢原子体系，cp|2p+cs|2s是h本征态，但并非的本征态。又如动量本征态也是h本征态，但|p 和 |-p简并, |p并非的本征态.n当然，我们可以通过组合h的简并本征态而得到的本征态，如|=|p|-p便是和h的共同本征态六、对称双势阱 nh与

8、对易，nh的最低两本征态为n对称的|s和反对称的|a,neaes,且ea-es随势垒增高而减少。n取|r|s+|a，|l|s-|a,在作用下|r和|l对调. |r和|l不是的本征态，也不是h的本征态，但有相同能量期待值. |r和|l是非定态,若t0=0处于|r，则t时状态为n该态在|r和|l间震荡，震荡角频率为n该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则ea=es，从而=0，不再震荡。n注：对无穷高势垒， |r和|l均是h的本征态，但|r和|l均非的本征态。即h所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。这种现象在自然界相当普遍，如铁磁现象，糖与氨基酸的手性等。 七、宇称选择定则 n若 将相反宇称的态相联系。n该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。 n如果h,=0,能量非简并态