大学物理西安交大出版社第一章质点运动学

1、第1章质点运动学#大学物理第三次修订本第1章质点运动学物理学是研究自然界的物质结构,大到宇宙的结 构，小到最微小粒子的结构，以及物质运动的最普遍 最基本规律的自然科学.与其它学科的关系：sn基本概念、规律、研究方法，以及根据物理学原理设计的仪器设备，已被各学科广泛应用。交叉学科物理学是一切自然科学的基础!物理学发展简史1、经典力学的奠基(1)开普勒在天空“立法1543年哥白尼天体运行论，开普勒行星运动三大定律(2)伽俐略地面物体研究 斜面实验，为牛顿综合奠基2、近代科学的第一次大综合(1) 牛顿的综合力的定义，牛顿三大定律(2) 万有引力定律使天体运动与地面运动统一起来，统一研究3、物理学革命

2、高速领域:相对论 微观领域:量子力学3大学物理第三次修订本核物理第1章质点运动学大学物理构架I原子物理I®子力学波动与光学 电磁学-大学物理第三次修订本第1章质点运动学经典力学是研究物体的机械运动的规律的 力学中描述物体运动的內容叫做运动学.大学物理第三次修订本第1章质点运动学大学物理第三次修订本第1章质点运动学大学物理第三次修订本第1章质点运动学第1章质点运动学质点运动学的研究內容研究质点位置在哪 里、质点运动状态是什么以及质点的运动狀态 怎样随时间改变的是力学的一个分支.5<大学物理第三次修订本第1章质点运动学14确定质点位置的方法运动学以几何观点来研究和描述物体的机械运动

3、，不 考虑物体的质量及其所受的力。111、质点如果在所研究的问题中，物体上各点运动状态的 差异只占很次要的地位，我们就可以忽略物体的大小 和内部结构，把它看成一个有质量的几何点，叫做质 点。一个物体能否被看做质点，主要取决于所研究问题 的性质。大学物理第三次修订本1丄2、确定质点位置的方法物体的运动具有绝对性。 描述物体运动具有相对性Oa、确定参照物为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被哲隹會考的物体称为参照物O参照物不一定是静止的。b、建立坐标系定量确定物体的运动，须在参照物上选用一个（笛卡尔直角坐标系、平面极坐标系、自然坐标系）。c、确定质点相对参考系的位置通常有以下几种：

4、坐标法、位矢法、自然法11大学物理第三次修订本V第1章质点运动学<? P （兀,y, z）I参考系j/1.坐标法若质点在空间运动， 其位置可用直角坐标 p(x, y, z)确定。若质点在平面上 运动，其位置可用直 角坐标p(x,y)确定。若质点沿直线运动，可在该直线上建立 一个坐标轴，例如兀轴，质点的位置只需一 个坐标PCO就可以确定。2位矢法（只用一个矢量来确定）P点坐标(x, y, z)P点位矢r_"r =xi +yj + zkr的大小f =x2 + y2 + z2Xcoscr = rcos0 二 Zcosy 二产与三个坐标轴的夹角13大学物理第三次修订本第1章质点运动学3

5、.自然坐标法（用于运动轨迹已知的质点）在已知运动轨迹 上任选固定点O,从O 点起沿运动轨迹量得 曲线长度s正值，这个 方向称为自然坐标的 正向。质点在轨迹上的位置可以用s唯一确定。s = M 自然坐标S是代数量。15大学物理第三次修订本第1章质点运动学113、运动学方程质点运动学的基本问题之一，是确定质点运动学方程。为正确 写出质点运动学方程，先要选定参考系，坐标系，明确起始条件等, 找出质点坐标随时间变化的函数关系。直角坐标（兀,y, z）二厶位矢r r = r（0自然坐标s s = fQ）11 大学物理第三次修订本V I第1章质点运动学例一质点作匀速圆周运动，半径为厂,角速度为（0。CD求

6、用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方 So直角坐标法：X = rcoswt y = rsin wt位矢法：> >r = rcoswti + r sin wtj自然坐标法：s = rwt1J质点的位移.速度和加速度1.2.1、位移经过时间间隔At后，质点位置矢量发生变化，由始点P指向 终点Q的有向线段瓦称为点P到0的位移 矢量Ar。位移矢量也简称位移。路程（山）：质点实际运动轨迹的长度。19大学物理第三次修订本第1章质点运动学1.2.2速度1.平均速度ArAf平均速度与位移 同方向一致。大学物理第三二次修订本第1章质点运动学2.瞬时速度_1. Ar drv = lim二宀0

7、Ar dt速度是位矢对时间的一阶导数速率：丽骨速度方向:沿该点的切线并指向质点运动方向15大学物理第三次修订本第1章质点运动学1 速度增量方=方（才+ ZV）方（03.加速度2平均加速度二 Ava Ar3 瞬时加速度一 _ A 方 dv d2r a = lim =At dt dr加速度是速度对时间的一阶导数，或位矢对时间的二阶导数f v描述质点运动状态的物理量a 描述质点运动状态变化的物理量大学物理第三次修订本第1章质点运动学总结：描述物体运动状态的四个物理量位矢戸 位移步 速度”加速度力矢量性：四个量都是矢量，有大小和方向瞬时状态量加减运算遵循平行四边形法则 資"瞬时性：r v a

8、Ar过程量相对性：不同参照系中，同一质点运动描述在 不同坐标系中，具体表达形式不同田宰l.Ar（dr）与的区别2位移与路程/£的区别3速度（加速度）与平均速度（平均加速度）的区别第1章质点运动学与厶戸的区别1.为标量，zlF为矢量2& = |引引步=忌一斤drdf是两者的极限情况!19大学物理第三次修订本D第1章质点运动学位移产与路程心的区别1、位移是矢量，遵从矢量运算法则；路程是标 量，遵从代数运算法则。例：质点沿任意闭合曲线由A经B,C,D到达E点Nr-rE-rA二A斤+近+人石+A石As=8b+0c+Sd+Se2、一般情况下Ay > |Ar| 在极限情况下#大学物

9、理第三次修订本HmKhlim Ay0AZ TO即:dr = ds#大学物理第三次修订本第1章质点运动学13用直角坐标表示速度和加速度21大学物理第三次修订本第1章质点运动学1. 31位移r2=xi+y2j+z2k戶（兀1弋1）#大学物理第三次修订本第1章质点运动学Ar = Axz + Ajy + AzkAr = (x2-xi + (y2 yj + (z2 -和 k位移大小：I一_557位移方向：cosa = Zx/|Ar| cos0 = Ay/| Ar | cosy = Az/| Ar |Ar =J Zx2+Ay2+Az2一 drv = 一1. 3. 2速度d / 丁 =dxdydz r=(x

10、i + y/ + zk) =i +/ + k dt dtdtdtdtv = vJ + vyj+vzkdxdyvx = “、,=子 dtdt速度的大小和方向 dz可=初；+応+疋COSOC = 77r個，cos# = 0y/岡,cosy = q/0|一运动质点在某瞬时位于矢径r(x, y) 的端点处，負速度大小为(B)drdt(C)dt25大学物理第三次修订本第1章质点运动学d2z _ dvzdr2 dt加速度的大小和方向 / 2 2 2 a =枫+竹+冬1. 3. 3加速度一 dvd2rdvx匸 dr= dv7ra = i H j Hkdtdtdt dt dta = axid2x dvxd2y

11、 den = n = nX &2& " &2& 2cosa = ax /a , cos0，= %/同,cos/ = az /|d|质点运动学两类基本问题1 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻 的位矢、速度和加速度。2.已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程。求导求导_尸zzzr.积分积分例1 一只小田鼠在雪地里飞跑，身后留下一串 清晰的脚印，如图。已知用直角坐标表示的小 田鼠（看作质点）运动方程为x = 0.31/2 + 7.2+ 28y = OEM9. ” + 30试求仁15s时小田鼠的（1）位矢；（2）速度;y/m4

12、0200-20-40-60I卜厂|4|_*J:i:14-4-J * I I 十.丄一!L60；*1 !（3）加速度。29大学物理第三次修订本3 = arctan = arctany/m40200-20-40-60第1章质点运动学解(1)根据已知条件，小田鼠的位矢可写成r =(-0.31? +7.2/ + 28)? + (0.22-9,k + 30)yt 15s 时r =66f 57jr = j662 + (_57)2 =87m#大学物理第三次修订本y/m40200-20-40-60-14 74174(2)速度沿x、y的投影为(-0.3 It2 + 72 + 28) dt dt0e62z + 7

13、.2屯二 J_(0 2才一 9.”十30) dt dt= 0.44/-9.131大学物理第三次修订本第1章质点运动学速度 V = (-0.62Z + 7.2)? + (0.44r -9.1)； 将/二15s代入上式，有v = -2.U-2.5j速度的大小和方向为v = Jo： + o； = J(_2.1)2 +(2.5)2 = 3.3ms"v-2.5o0 arctan-2- = arctan=13C?vx2.1#大学物理第三次修订本第1章质点运动学33大学物理第三次修订本第1章质点运动学將 0.62肿ay(3)加速度沿坐标轴x、y的投影为加速度 a = -0.62T + 0.44J加

14、速度大小和方向a = J a：= 0.76ms-2dt=0.44ms-20 = arctan= 14S例2：通过岸崖上的绞车拉动纤绳将湖中的小船拉向岸边，如果以恒定的速率拉动纤绳，绞车定滑轮离水面的高度为仏求小船向岸边移动的速度卩和加速度a解题思路：要求速度和加速度，首先要 确定小船的运动方程或运动 轨迹，然后对时间进行微分, 即可求得速度与加速度35大学物理第三次修订本第1聿质点逐物学0dl/dt=-u => dx/dt=v加速度:如图建立坐标系，坐标原点在滑轮处小船的运动函数或轨道方程：任意时刻小船离岸距离满足：x2 =l2 h2（兀和Z均为时间/的函数）速度：番養两着生偌导:2xv

15、 = -llu => v = u -Xdv u2h2 a =dt纸龙尢字物理第兰豹?订本32第1章质点运动学例3在地球表面附近，质点以初速度被倾斜抛出。如果不计空气阻力、风力、地球自转等影响，则质 点的加速度就等于重力加速度g,通常把这种运动 称为无阻力跑题运动。设质点在0厂铅垂面内作无 阻力抛体运动。试求质点速度沿兀、y轴的投影和质 点的运动学方程。已知/ =心时仏=v0 sin a铁=° a产一g33大学物理第三次修订本第1章质点运动学 任意时刻t:do根据题设条件dvxax 二一-=0 'dt积分，有Jdq=O,jdvy=-gdt= -gt+c235大学物理第三次

16、修订本第1章质点运动学#大学物理第三次修订本第1章质点运动学y轴的投影由初始条件，可得速度沿兀、vx - % cosaq =% sina-g(r-r0) 若=o，则有vx - vQ cosavy 二 v0 sin a-gt对于无阻力抛体运动， 各点的速度沿兀轴的投影 均相等，如图。利用速度定义式，有Ax-Vq cosadzdy = v0 sin a- g(t-10 )dr积分dx = J I?。co sack f dy = fy0 sina-g(t-ttJ° Jo运动学方程 xvt-tcosa12y = v0(t - sin a- g(t-tQ)若4 =0，有x = u0rcos&#

17、171;1 2y = vQt sin a - gt消去f,得y = xtana? S 2一 x22v0cos a14用自然坐标表示平面曲线运动中 访底的速度和加速度14.1、速度Av = s(T +At)-s(T)一 十 山 十 zAr Hs、v = lim =lim()“to 事 “to s At= (limX)(lim 坐)"a As* ao A/zl. Ar x ds ds 一=(lim)=t&tO /5 dz dtdo时，飾沿切线方向，且I Ar | -> Av39大学物理第三次修订本第1章质点运动学1.4.2圆周运动的加速度0（r + Ar）和°（丫

18、）分别表示质点沿圆 周运动到A点和B点时的速度矢量， 则：匝=lim 叫+ f）一叩）=lim 乎A-»02V&->0 2VAt由于 Av=(Av +(Av)rROM + Ar) B v(t)A加速度的表达式可写作:AvM)na = limlim = +at&to Az az->o Az41大学物理第三次修订本第1章质点运动学1切向加速度爲（Av）f 的数值为（Av）r =v（r+Ar）-v（r） = Av方向：沿着轨道的切线方向 （因为（）时，（AV ）t的方向趋于和卩在同一直线上）一 dv -CLt Tdt43大学物理第三次修订本第1章质点运动学- d

19、v -切向加速度表示质点速率变化的快慢。at = T a.T dt為为一代数值，可正可负.他0表示速率随时间增大，叫的方向与速度V同向;©vO表示速率随时间减小©的方向与速度卩反向。#大学物理第三次修订本第1章质点运动学2 法向加速度乙a两个阴影为相似故:大小:5(厂匕 t)zVn=ABRlim昭o Ar* v=lim= £no R R2 v=eoR5=下=cd2RM+d)m)M + 4)b M)O:地A745大学物理第三次修订本第1章质点运动学方向：垂直于圆的切线方向面沿着半径指向圆心因为MtO时, K),(2人的方向趋于垂直于速度V的方向而猜面圆心法向加速度表

20、示由于速度方向的改变而引起的速度的变化率#大学物理第三次修订本第1章质点运动学辰动的加速度小结切向加速度，由速度的大小 a z （速率）的变化引起，方向 亡 为圆周的切线方向a =dv t dt3.圆周大小总加速腕法向加速度，由速度的方向的改变引起,方向为圆周径向 _卩2 _ 2q 5_亍_6 R呂总与為垂直鹵周运动总有5/直线运动為=0431方向"arcta吟卩表示加速度与速度之间的夹角兀于勿埋弟二炙4罗TJ卒第1章质点运动学s 20t 0.2t2，其中 $以11例1 一辆汽车在半径为R=200 m的圆弧形公路上 行驶，其运动学方程为计，f以s计，试求汽车在f二Is时的速度和加速

21、度的大小。解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式, 有速度大小1； = = 20-OAtdt加速度dp= -0.4v2dtan(20-0.4Z)2(-0.4)2 +"(20-0.4"2)YRJ当/ = Is时v = 20 0.4 = 19.6m s"145大学物理第三次修订本第1章质点运动学47大学物理第三次修订本第1章质点运动学CI 一(-0.4)2 +'(19.6)2) j200丿=1.96m-s'2#大学物理第三次修订本第1章质点运动学例2质点沿半径&3m的圆周运动，如图。已知切向加速度务=3ms-Sr 0时质点在O点，其速度=

22、0,试求（1）仁Is时质点速度和加速#大学物理第三次修订本第1章质点运动学度的大小;（2）第2秒内质点所通过的路程。UJ#大学物理第三次修订本第1章质点运动学#大学物理第三次修订本第1章质点运动学解取仁0时质点的位置0为自然坐标原点，以质点运动的方向为自然 坐标正向，并设任意时刻/质点的速 度为0。#大学物理第三次修订本第1章质点运动学(1)由dvdtdo aor Jodt49大学物理第三次修订本第1章质点运动学积分，得v = aTt2,2法向加速度的大小P2加速度的大小#大学物理第三次修订本#大学物理第三次修订本#大学物理第三次修订本第1章质点运动学代入数据，得v = art = 3x1 =

23、 3m/ssds0t=aT tdti = 4.24m/s2de(2)由 v -r 得 dtz12积分，得 s =代入数据，得A, = |x3x(22-12) = 4.5 m第1章质点运动学第1章质点运动学48大学物理第三次修订本第1章质点运动学1.4.3、一般平面曲线运动中的加速度_- _ 沪-an_ cin n yi 一一証 Cl T Tdt-, 一 v2 du 一a aji += ti + tp dt为轨迹曲线在任意点的曲率半径。49大学物理第三次修订本第1章质点运动学51大学物理第三次修订本第1章质点运动学1.5圆周运动的角量描述角量与线量关系HJU3 角坐标 0 角位移质点作圆周运动时

24、以角坐标表示的运动学方程：0 = 0平均角速度角速度-A3CD =Arco = lim=° Ar dt#大学物理第三次修订本第1章质点运动学53大学物理第三次修订本第1章质点运动学平均角加速度& =Ar#大学物理第三次修订本第1章质点运动学#大学物理第三次修订本第1章质点运动学角加速度“ Acdcod20a - lim=yeo Hdtdt角量与线量的关系v = lim = lim r = ra) so a? g° Arv rco切向加速度（速度大小变化引起）dvdwa = = r= rocT dtdt法向加速度（速度方向变化引起）= vcd = o)2r55大学物理

25、第三次修订本第1章质点运动学#大学物理第三次修订本第1章质点运动学匀变速圆周运动与匀变速率直线运动类比#大学物理第三次修订本第1章质点运动学#大学物理第三次修订本第1章质点运动学(CD+OCtv 3=3q+ cot、G)2 + 2df(y _ &o )v = v0 -h at_ 1 2s $o + at Vq + 2q(s 5q)例1半径为r = 0.2m,可绕0轴转动，如图所示。 已知轮缘上任一点M的运动方程为扫,+4， 求仁Is时M点的速度和加速度。解飞轮运动时，M点将作半径为r的圆周运动,度、角加速度分别为dOco - dt=-It + 4 rad -s_1其角速乜一2 rad

26、Jdtrls时，M点的速度大小为v = rco = r(-2t + 4)=0.2 x (-2 xl + 4) = 0.4m s_1方向沿M点的切线方向，如图所示。 M点的切向加速度和法向加速度分别为 aT =s = 04ms an = rco1 = 0.8m-s259大学物理第三次修订本第1章质点运动学加速度大小a J a； + °； 0.89m s-261大学物理第三次修订本#大学物理第三次修订本加速度方向tan> = = 20 = 63.4°#大学物理第三次修订本第1章质点运动学1.6不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介S MM OHMS MM MM OMB示I

27、Ar位移变换关系：s系和S係，怙0时两坐标重合。 在At=bt0时段，质点由4运动 到反S系测得的位移与在S'系中测得的 位移有如下关系：S 系f反 A'»BAF = Af+AF& = uNtxoAF-质点在静止郝系冲的位移 AF，-质点在运动郝，系）中的位形 系相对无系的位移63大学物理第三次修订本速度变换关系对上式求导可得速度变换公式:-f _uV =v +u质点在静止郝系）中的速度 y 质点在运动郝'系）中的速度 五-» s系相对邪系的运动速度65大学物理第三次修订本第1章质点运动学加速度的变换关系对速度关系式进行求导即可得到云T质点在

28、静止郝系）中的加速度 N T质点在运动郝'系冲的加速戌 云0S，系相对书系的加速度两个参考系相对做匀速直线运动，则上楚变换公式称俟伽利略变换，是建亘在牛 顼的绝对时空现上的！67大学物理第三次修订本第1章质点运动学S，I说Ox例:雨天一辆客车在水平马路上以20加/s的速度向东开行， 雨滴在空中以的速度竖直下落。求雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。解：如图建立坐标系。S系以地面参考系xoy为静止系S系， 以车厢参#系兀0 y "为运动系S，系根据题意:雨滴在S系中的速度为= 10m/s.方向沿y轴负向雨滴在S'系中的速度为；大小和方向待求S，系相对书系的速度步= 20m

29、/s.方向浴:轴正向解法一：矢量法根据伽俐略变换v = v+ u以及三个 速度的几何关系，有：tf/22V =v =jv +m=/102 +202 = 22Am / s设该速度与y轴的夹角为0,则:tan0 二上二陽 2 = 0 二 63.4。v v 1071大学物理第三次修订本第1章，质点运动学解法二：分量法雨滴相对地面（S系）速度:vx =0,vy =-10m/s,vz =0雨滴相对车厢（S'系）速度:=?根据 伽俐 略变 换：车厢（S，系）相对地面（S系）速度：ux=20in/s,uy =0,uz =0v=vY+uYv=v-u= -20m/s 儿儿儿儿儿儿vv =片 + uy => 片=vy - uy = -10m/s v, = vl + w, => vl = v, -u =0+ Vy + v| 二 22.4加 s tan =子 n 0 二 63.4°大学物理第三次修订本第1章质点运动学练习1 一质点运动轨迹为抛物线63大学物理第三次修订本第1章质，讐型第2 ：v = -/42r-=必一力=心一力=JV(SI)+ 2“(si)=2冬=t = 2-4m/svy = 24 加/sv 4i 24/ mis v +卩；=m/sdtd2 xdi=2m2ay = 12i2 +4 = 44(az/5&