北师大版高三数学理复习学案：学案50 直线、圆的位置关系含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5学案50直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：_、_、_.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r_，dr_，d>r_.2圆的切线方程若圆的方程为x2y2r2，点p(x0，y0)在圆上，则过p点且与圆x

2、2y2r2相切的切线方程为_注：点p必须在圆x2y2r2上经过圆(xa)2(yb)2r2上点p(x0，y0)的切线方程为_3计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|ab|xaxb|.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法4圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_、_、_、_、_.判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为o1、o2，半径为r1、r2 (r1r2)，则|o1o2|>r1r2_；|o1o2|r1r2_；|r1r2|<|o1o2|&l

3、t;r1r2_；|o1o2|r1r2|_；0|o1o2|<|r1r2|_(2)已知两圆x2y2d1xe1yf10和x2y2d2xe2yf20相交，则与两圆共交点的圆系方程为_，其中为1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆当1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(d1d2)x(e1e2)y(f1f2)0.自我检测1(20xx·江西)直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于m，n两点，若|mn|2，则k的取值范围是()a.b.c.d.2圆x2y24x0在点p(1，)处的切线方程为()axy20 bxy40cxy40 dxy203(20xx·宁夏调研)圆c1：x2y22x2

4、y20与圆c2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()a1条 b2条c3条 d4条4过点(0,1)的直线与x2y24相交于a、b两点，则|ab|的最小值为()a2 b2 c3 d25(20xx·聊城月考)直线yx1与圆x2y21的位置关系是()a相切 b相交但直线不过圆心c直线过圆心 d相离探究点一直线与圆的位置关系例1已知圆c：x2y22x4y30.(1)若圆c的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆c外一点p(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为m，o为坐标原点，且有|pm|po|，求使得|pm|取得最小值时点p的坐标变式迁移1从圆c：(x1)2(y1)21外

5、一点p(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程探究点二圆的弦长、中点弦问题例2(20xx·汉沽模拟)已知点p(0,5)及圆c：x2y24x12y240.(1)若直线l过点p且被圆c截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过p点的圆c的弦的中点的轨迹方程变式迁移2已知圆c：x2y26x8y210和直线kxy4k30.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆c1：x2y22mx4ym250，圆c2：x2y22x2mym230，m为何值时，(1)圆c1与圆c2相外切；

6、(2)圆c1与圆c2内含变式迁移3已知a：x2y22x2y20，b：x2y22ax2bya210.当a，b变化时，若b始终平分a的周长，求：(1)b的圆心b的轨迹方程；(2)b的半径最小时圆的方程探究点四综合应用例4已知圆c：x2y22x4y40.问在圆c上是否存在两点a、b关于直线ykx1对称，且以ab为直径的圆经过原点？若存在，写出直线ab的方程；若不存在，说明理由变式迁移4已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21相交于m、n两点(1)求实数k的取值范围；(2)若o为坐标原点，且·12，求k的值1求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求

7、切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条2解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式这就是通常所说的“几何法”和“代数法”3判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是()a相离 b相切或相交c相交 d相切2(20xx·珠海模拟)直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m等于()a.或 b或3c3或 d3或33过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()a. b2c. d24若

8、圆(x3)2(y5)2r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是()a(4,6) b4,6)c(4,6 d4,65(20xx·全国)已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，那么·的最小值为()a4 b3c42 d32二、填空题(每小题4分，共12分)6若圆x2y24与圆x2y22ay60(a>0)的公共弦的长为2，则a_.7(20xx·三明模拟)已知点a是圆c：x2y2ax4y50上任意一点，a点关于直线x2y10的对称点也在圆c上，则实数a_.8(20xx·杭州高三调研)设直线3x4y50与圆c

9、1：x2y24交于a，b两点，若圆c2的圆心在线段ab上，且圆c2与圆c1相切，切点在圆c1的劣弧上，则圆c2的半径的最大值是_三、解答题(共38分)9(12分)圆x2y28内一点p(1,2)，过点p的直线l的倾斜角为，直线l交圆于a、b两点(1)当时，求ab的长；(2)当弦ab被点p平分时，求直线l的方程10(12分)(20xx·湛江模拟)自点a(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程11(14分)已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切

10、？(3)m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长学案50直线、圆的位置关系自主梳理1相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离2.x0xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2y2d1xe1yf1)(x2y2d2xe2yf2)0自我检测1a2.d3.b4.b5.b课堂活动区例1解题导引(1)过点p作圆的切线有三种类型：当p在圆外时，有2条切线；当p在圆上时，有1条切线；当p在圆内时，不存在(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类(3)切线长的求法：过圆c外一点p作圆c

11、的切线，切点为m，半径为r，则|pm|.解(1)将圆c配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由，解得k2±，得y(2±)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直线方程为xy10，或xy30.综上，圆的切线方程为y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由|po|pm|，得xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130.即点p在直线l：2x4y30上当|pm|取最小值时，即op取得最小值，直线opl，直线op的方程为2xy0.解方程组得点p的坐标为.变式迁

12、移1解设圆切线方程为y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一条斜率不存在，方程为x2.切线方程为x2和3x4y60.圆心c为(1,1)，kpc2，过两切点的直线斜率为，又x2与圆交于(2,1)，过切点的直线为x2y40.例2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆c相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，点c到l的距离为d，圆的半径为r.方法一代数法：弦长|ab|x2x1|·；方法二几何法：弦长|ab|2.(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系解(1)方法一如图所示，|ab|4，取ab的中点d，连接c

13、d，则cdab，连接ac、bc，则|ad|2，|ac|4，在rtacd中，可得|cd|2.当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即kxy50.由点c到直线ab的距离公式，得2，解得k.当k时，直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为3x4y200或x0.方法二当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即ykx5.联立直线与圆的方程消去y，得(1k2)x2(42k)x110.设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得由弦长公式，得|x1x2|4.将式代入，解得k，此时直线方程为3

14、x4y200.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x0. 所求直线的方程为x0或3x4y200.(2)设过p点的圆c的弦的中点为d(x，y)，则cdpd，即·0，(x2，y6)·(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.变式迁移2(1)证明由kxy4k30，得(x4)ky30.直线kxy4k30过定点p(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)22<4.直线和圆总有两个不同的交点(2)解kpc1.可以证明与pc垂直的直线被圆所截得的弦ab最短，因此过p点斜率为1的直线即为所求，其方程为y3x4，即xy10.

15、|pc|，|ab|22.例3解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手解对于圆c1与圆c2的方程，经配方后c1：(xm)2(y2)29；c2：(x1)2(ym)24.(1)如果c1与c2外切，则有32.(m1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果c1与c2内含，则有<32.(m1)2(m2)2<1，m23m2<0，得2<m<1，当m5或m2时，圆c1与圆c2外切；当2<m<1时，圆c1与圆c2内含变式迁移3解(1)两圆方程相减得公共弦方程2(

16、a1)x2(b1)ya210.依题意，公共弦应为a的直径，将(1，1)代入得a22a2b50.设圆b的圆心为(x，y)，其轨迹方程为x22x2y50.(2)b方程可化为(xa)2(yb)21b2.由得b(a1)242，b24，b215.当a1，b2时，b半径最小，b方程为(x1)2(y2)25.例4解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以ab为直径的圆经过原点o，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决因此能否将问题合理地转换是解题的关键解圆c的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为c(1，2)假设在圆c上存在两点a、b，则圆

17、心c(1，2)在直线ykx1上，即k1.于是可知，kab1.设lab：yxb，代入圆c的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，4(b1)28(b24b4)>0，b26b9<0，解得33<b<33.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2b1，x1x2b22b2.由oaob，知x1x2y1y20，也就是x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，b24b4b2bb20，化简得b23b40，解得b4或b1，均满足>0.即直线ab的方程为xy40，或xy10.变式迁移4解(1)方法一直线l过点a(0,1)且斜率为k，直线l的方程为ykx

18、1.将其代入圆c：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由题意：4(1k)24×(1k2)×7>0，得<k<.方法二同方法一得直线方程为ykx1，即kxy10.又圆心到直线距离d，d<1，解得<k<.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则由得，·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812k1(经检验符合题意)，k1.课后练习区1c2.c3.d4.a5.d617.108.19解(1)当时，kab1，直线ab的方程为y2(x1)，即xy10.(3分)故圆心(0,0)到ab的距离d，从而弦长|ab|2 .(6分)(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22，y1y24.由两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kab.(10分)直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.(12分)10.解已知圆c：x2y24x4y70关于x轴对称的圆为c1：(x2)2(y2)21，其圆心c1的坐标为(2，2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆c1相切(4分)设