05多元复合函数微分法62640

1、高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学（三）（三）多元微积分学 第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学 曾金平教案编写：刘楚中 曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二

2、阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。7. 知道二元函数的泰勒公式形式。8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法

3、求条件极值。13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。一. 全 导 数多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.第五节 多元复合函数微分法. dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求求设设tbatbtayxz2sin41)cos()sin(222222222cos2sin241 dd 22ttbatz故故tba4sin2122 下面看另一种解法. 例例解解. dd ,cos ,sin , 22tztbytaxy

4、xz求求设设 例例解解tyyztxxztzdddddd)sin(2cos 222tbyxtayxtba4sin2122zxyt+zxyttyyztxxztzdddddd, )(, )(, ),(221121txxtxxxxfztxxztxxztzdddddd221121ddiiitxxz . )( ),( ),( 均可导均可导设设tyytxxyxfz 由此可推至一般的情况 ), 1 ( )( , ),( 1可复合为可复合为设函数设函数mixvvvfuiim . )(,),(1xxfum的点的点在相应于在相应于函数函数处可微处可微在点在点若若 ),( , )( 1xvvfxxmi处处在点在点则复

5、合函数则复合函数处可微处可微 )(,),( , ),(11xxxfuvvmm , 且且可偏导可偏导miiixvvuxu1 . dddd miiixvvuxu1 dddd ux1vmv2viv+ ), 1 ( )( , ),( 1可复合为可复合为设函数设函数mixvvvfuiim . )(,),(1xxfum的点的点在相应于在相应于函数函数处可微处可微在点在点若若 ),( , )( 1xvvfxxmi处处在点在点则复合函数则复合函数处可微处可微 )(,),( , ),(11xxxfuvvmm , 且且可偏导可偏导miiixvvuxu1 . dddd 现在证明定理)()(xxxviii), 1(m

6、i由由),(1mvvfu的可微性的可微性, , 有有|)o(|1vvvuumiii从而从而xvxvvuxumiii|)o(|1由一元函数导数导定义由一元函数导数导定义, , 取取0 x的极限的极限: :xuxuddxvxviidd 0|)o(| ？xv证证给给 x 以增量以增量, , 相应地有相应地有x由由)(xvii可导可导, , 故必连续故必连续, , 从而从而0 x时时, , 定理获证 xvvvxvxx|)|o(lim)|o( lim00为什么取为什么取绝对值绝对值 ? ?221 |mvvv , 0 | , 0于是于是即有即有vvimiixvxvvv1200|lim|)o(|lim .

7、0设xxzsin, 求. ddxz令,yxz ,sin xy 则xyyzxzxzddddzxxy1yyxxxxycosln xxxxxxlncossinsin 例例解解设以下函数满足定理的条件, ; )( , )( , ),(tyytxxyxfz; )( , )( , )( , ),(tzztyytxxzyxfu写出二元和三元函数的全导数公式:. )( , )( , ),(xzzxyyzyxfu 请同学自己写 例例; )( , )( , ),(tyytxxyxfztyyztxxztz d d d d d dzxyt; )( , )( , )( , ),(tzztyytxxzyxfutzzuty

8、yutxxutu d d d d d d d duxyzt. )( , )( , ),(xzzxyyzyxfuxzzuxyyuxuxu d d d d d duxyzx 你做对了吗 ? 假设所有出现的函数求导运算均成立假设所有出现的函数求导运算均成立, , 试想一下如何求下面的导数：试想一下如何求下面的导数：, ),(wvufz . ),( , ),( , ),(yxwwyxvvyxuu ),( ),( ),( yxwyxvyxufz . , yzxz求zuvwxy 将 y 看成常数xzxuuzxvvzxwwzyzyuuzyvvzywwz 将 x 看成常数 分别将 x , y 看成常数, 按全

9、导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 从上面的作法可以看出, 将复合的多元函求函数偏导数.全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ?定理设),(1niixxv), 2, 1(mi在点对应点),(1mvv 可微, 则复合函数),(,),(111nmnxxxxfu在点),(1nxx 处可导, 且jxu), 2, 1(njmijiixvvu1),(1nxx 处均可导, 且),(1mvvfu在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数定理设),(1niixxv), 2, 1(m

10、i在点对应点),(1mvv 可微, 则复合函数),(,),(111nmnxxxxfu在点),(1nxx 处可导, 且jxu), 2, 1(njmijiixvvu1),(1nxx 处均可导, 且),(1mvvfu在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸) ( jkxk设, ),(yxufz ),(yxuu 满足定理的条件, 则有), ),(yxyxufz zuxyxyxzxuuzxfxuufxzyzyuuzyfyuufyz 例例zuvxy设,sinvezu,22yxu , yxv求,

11、xz.yzxzxuuzxvvz22sinxyveu1cos veu) )cos()sin(2(222yxyxxyeyx 例例解解zuvxy设,sinvezu,22yxu , yxv求,xz.yzyzyuuzyvvzyxveu22sin) 1(cosveu) )cos()sin(2(222yxyxyxeyx 例例解解设xytteyxf0d),(3)0,0(yx求,xf.yf令,xyu 则utteuf0d)(3ufxyxuufxfddxyyeu23xyexy3)(21yuufyfddxyxeu23yxexy3)(21关于 u 的 一元函数 例例解解设, ),(22xyeyxfz求。xzzxy12x

12、yxfxz)(221212fyefxxyxefxy)(2 自己做 例例解解设, )cos,(22xyyxfz,cosrx ,sinry 其中,1cf 求。rz令,22yxu,cosxyv 则, ),(vufz zuvyxrrzryyuuzrxxuuzryyvvzrxxvvzuzyx)sincos(2vzxyxysin)sincos( 例例解解设函数, ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyg gxz uf xgvfxxgu xf 例例解解设函数, ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxy

13、xyuxyg gyz uf ygvfyygu 例例解解三三. . 全微分形式不变性全微分形式不变性记得吗? 一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性对函数)(ufy 不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有 d)(d uufy对二元函数),(yxfz 来说,在可微的条件下, f 的全微分总可写为：zdxxzdyyzd 不论 x 和 y 是自变量还是中间变量, 详细的推导过程请同学自己看书.设, ),(1nxxfu不论ix是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有iniixxuudd1一般说来: 设,sinvezu,xyu ,yxv应用全微分形式不变性求，xz。yzvvzuuzzddd)dd(sinyxxyveuxyxyxyexyd)cos()sin(yyxyxxexyd)cos()sin()d(dco