高三数学专题平面向量与解析几何相结合教案--高中数学

1、专题 : 平面向量与解析几何相结合教材依据：高三数学复习第二轮专题整合平面向量与解析几何相结合教学目标 :1、知识与技能目标：帮助学生从整体的高度，了解平面向量与解析几何之间的联系；学会利用向量方法解决解析几何问题。2、过程与方法目标：培养学生综合应用知识解决问题的能力。3、情感、态度与价值观目标：帮助学生体会形数的统一美，激发学生的学习兴趣， 培养学生辩 证唯物主义世界观；通过知识间的相互融合，培养学生的创新意识。教学重点： 理解并能灵活运用 平面向量的解决圆锥曲线的基本问题。教学难点： 平面向量与解析几何的内在联系和知识综合， 选择适当的方法 解决解析几何的综合问题。教学方法 ：讲练结合

2、，探究式教学，反思教学。教学准备： 多媒体电脑、课件等。教学立意 :平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范， 能与中学数学内容的许多主干知识综合， 形成知识交汇点。基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。本专题就以下三方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习：运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题；运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等

3、问题；运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。教学过程基础知识梳理 :1.向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平移公式；2.椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；3.直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；4.平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。引入： 平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路

4、是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：例题讲解1.运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作 ,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。例 1.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A 、 B 两点， OA OB 与 a (3, 1) 共线。（）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点， 且 OMOAOB(,R) ，证明 22 为定值。解：设椭圆方程

5、为 x 2y 21(a b0), F (c,0)a 2b 2c ，代入 x2y 2则直线 AB 的方程为 yx1，化简得(a 2b2 ) x22a 2 cx a2 c 2a 2 b2a2b 20 .22222令 A （ x1 , y1 ）， B ( x2 , y2 ），则 x1 x22a ca ca b.2b2, x1 x222aab由 OAOB( x1x2 , y1y2 ), a (3,1), OAOB 与 a 共线，得3( y1y2 ) ( x1x2 ) 0, 又 y1 x1c, y2x2c ，3(x1x22c)(x1x2 )0,x1x23 c.2即2a2 c3c ，所以 a 23b2 .

6、ca 2b26 a ，a2b223故离心率 ec6 .a32 ，所以椭圆 x 2y2（ II ）证明：（ 1）知a23b1可化为x23y23 2 .a 2b2b设 OM(x, y) ，由已知得 ( x, y)( x1 , y1 )( x2 , y2 ),xx1x2 ,M ( x, y) 在椭圆上，(x1x2 )23(y1y2 ) 23b 2 .yx1x2 .即 2 (23 2 )2(232)2(x1x23y1 y2) 3 2.x1y1x2y2b由（ 1）知 x1 x23c , a23 c2 ,b 21 c2 .222x1 x2a2 c 2a 2 b23 c 2a 2b 28x1 x23 y1

7、y2x1 x23(x1c)( x2c)4x1 x23(x1x2 )c 3c23 c 29 c23c2220.又 x 213 y123b 2 , x223y223b2 ，代入得221 .故 22 为定值，定值为 1.变式： 椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为2 2 ，相应于焦点 F（c, 0 ）(c0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A, OF2 FA .，过点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点。()求椭圆的方程及离心率；()若 OP OQ 0, ，求直线 PQ 的方程；()设 APAQ(1) ，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明： FMFQ. 简解 () 椭圆方程

8、为 x 2y 21,离心率 e6 . ()略.623() 证 明设P（1,y1）,Q(x22 又A（3，0），x,y ),AP(x13, y1 ), AQ( x23, y2 ) 由已知得方程组：x13( x23), y1y2 ； x12y121; x22y221.6262注意 1，消去 x1、y1 和 y2 得x251. 因 F（2 , 0）,M （x 1,y1），2故 FM(x12, y1 ) ( ( x23)1, y1 ) (1, y1 )(1, y2 ).1, y2 ).22而 FQ ( x22, y2 ) (2所以FMFQ .2.运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题例

9、2 如图，点 F（ a,0）（a0），点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上运动，点 N 为动点，且 PM ·PF 0， PM PN 0。（1）求点 N 的轨迹 C 的方程；（2）过点 F(a ,0)的直线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于 A 、B 两点，设点 K （ a,0）， KA 与 KB 的夹角为 ,求证： 0.2 分析 (1)分别设出 P、M 与 N 点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相等知识找到等量关系。(2)利用向量的夹角公式可知,要证0,只要证KAKB0 。2解析 (1)y24ax(2) 证明：设 AB 的方程为 yk（xa），代入

10、y24ax 得k2x22a（ k2 2）x k2a20设 A （x1 , y1）、B（x2 , y2），则x1 x2 2a(k 22）k 2x1 x2a2 KA （ x1a , y1）, KB （ x2a , y2） KA ·KB （ x1 a）（x2 a） y1 y2x 1x2a ( x1x2)a2(4ax1 )·( 4ax2 )22a(k 22)224a 2aa·k 2 a 4a k 20， KA 与 KB 的夹角为 ， KA 与 KB 不共线， 0， cos KA KB0 ,即 0 .KAKB2变式： 给定抛物线 C:y 24x， F 是 C 的焦点，过点

11、F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点。（）设 l 的斜率为 1，求 OA 与 OB 夹角的大小； 解答 （） C 的焦点为 F（ 1， 0） , 直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为y x 1, 将 yx1 代入方程 y2=4x，并整理得 x2 6x 1 0设 A（x1,y 1）,B(x 2,y 2), 则有 x1x2 6, x 1x2 1，从而 OA · OB x1x 2y1y2 2x1x2 (x 1+x2)+1 3 OA · OB x12y12 · x22y22 41 ,cos OA,OB OA OB 3 41OA OB413 41所以 OA

12、与 OB 夹角的大小为 arcos.3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。例 2 已 知 i , j是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = ( x 3)i yj ,b = (x3)i yj , 且满足 | a |+| b |=4.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .如果过点 Q(0，m)且方向向量为 c=(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A ，B两点，当AOB 的面积取到最大值时，求 m 的值。解： (1)a = ( x3)i yj ,| b |=( x3)i yj , 且| a |+| b |=4.点 P(x,y)到点

13、 (3,0) ，(-3 ,0)的距离这和为 4，故点 P 的轨迹方程为x221y4(2) 设 A( x1 , y1 ),B(x2 , y2 ) 依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程，得5x28mx 4m240 ，则 x1 + x2 =- 58 m, x1 x2 = 54 (m21)因此， S AOB1AB d22225 (5m )m当 5 m 2m 2 时，即 m=210时， Smax1 变 式1已知 i , j是 x,y轴正 方向的单 位向 量， 设 a = (x3)i yj ,b = (x3)iyj , 且满足 | a |-| b |=2 . 求点 P(x,y) 的轨迹 C

14、 的方程 .( 轨迹为双曲线 ) 变 式2已知 i , j是 x,y轴正 方向的单 位向 量， 设 a = (x3)i yj ,b = (x3)iyj , 且满足 bi =| a |. 求点 P(x,y)的轨迹 C的方程 . 提示：设 K(-3,0) ，F(3 ,0) ，则 bi 表示 KP 在 x 轴上射影，即点 P 到x= -3 的距离，所以点 P 到定点 F 的距离与到定直线 x= -3 的距离比为 1，故点 P 的轨迹是以 (3 ,0) 为焦点以 x= -3 为准线抛物线 巩固训练1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(3,1), B(1,3) ，若点 C 满足OCOAOB ，其

15、中 ,R ，且1 ，则点 C 的轨迹方程为 ( )A.3x2 y 110B.( x 1)2( y2) 25C.2 x y 0D.x 2 y 5 02、已知 F1 ， F2 椭圆 x2y 21的两个焦点， P( x0 , y0) 为椭圆上一点，10036当 PF1PF2 <0 时， x0 的取值范围为. 。3已知点 G 是 ABC 的重心， A(0,1)，B(0, 1)，在 x 轴上有一点 M ，满足| MA |=|MC |， GMAB(R)求点 C 的轨迹方程；若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P， Q，且满足 |AP |=|AQ |，试求 k 的取值范围答案 1

16、B 2 x0( 57, 57)223 x 2y 21(x0) k 的取值范围是 ( 1,1)。3从上述几例可以看出，只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题的向量背景，注意运用曲线参数方程的点化作用，就完全有可能获得一个漂亮的向量解法。课时小结向量具有数形兼备的特点， 成为了作为联系众多知识的桥梁， 向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势 ,本节处理了三类问题，即利用向量解决解析几何中有关平行、共线问题，长度、角度、垂直及轨迹和综合应用问题。布置作业：1 已知椭圆方程 x 2y21 ，过 B（ 1，0）的直线 l 交随圆于 C、D 两点，交4直线 x 4 于 E 点， B、E 分 CD 的比分 1 、2求证： 1 202. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 ( 3,0) 。(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线l ： ykx2 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA OB2(其中O 为原点 )，求k 的取值范围。教学反思：由于向量既能体现“形