高考数学理核按钮：第四章基本初等函数Ⅱ含解析

1、高考数学精品复习资料2019.5第四章第四章三角函数三角函数(基本初等函数基本初等函数()4.1弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数1了解任意角的概念2 了解弧度制的概念， 能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查1任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条_绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射 线

2、 没 有 作 任 何 旋 转 ， 我 们 称 它 形 成 了 一 个_(2)象限角使角的顶点与_重合，角的始边与 x轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角是第一象限角可表示为|2k0)，则 sin，cos，tan(x0)cotxy(y0)，secrx(x0)，cscry(y0)(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sincostan(3)三角函数值在各象限的符号sincostan4三角函数线如图，角的终边与单位圆交于点 p.过点 p 作 x轴的垂线，垂足为 m，过点 a(1，0)作单位圆的切线，设它与的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、 三象限角时)

3、相交于点 t.根据三角函数的定义， 有 omx_， mpy_，at_.像 om，mp，at 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 mp，om，at，分别叫做角的、，统称为三角函数线5特殊角的三角函数值角030456090120135150180270360角的弧度数sincostansin156 24，sin756 24，tan152 3，tan752 3，由余角公式易求 15，75的余弦值和余切值【自查自纠】1(1)射线逆时针顺时针零角(2)原点非负半轴|2k22k，kz|2k2k32，kz|2k322k2，kz或|2k22k，kz(3)坐标轴|2k，kz|2

4、k2，kz|2k32，kz|k，kz|k2，kz|k2，kz(4)|2k， kz或|k360， kz2(1)半径长lr(2)2180180(3)|r12|r212lr3(1)yrxryx(2)rr|k2，kz4cossinyxtan正弦线余弦线正切线5.角030456090120135150180270360角的弧度数06432233456322sin01222321322212010cos13222120122232101tan03313不存在 31330不存在0与463终边相同的角的集合是()a.|k360463，kzb.|k360103，kzc.|k360257，kzd.|k360257

5、，kz解：显然当 k2 时，k360257463.故选 c.给出下列命题：小于2的角是锐角； 第二象限角是钝角； 终边相同的角相等；若与有相同的终边，则必有2k(kz)其中正确命题的个数是()a0b1c2d3解：锐角的取值范围是0，2 ，故不正确；钝角 的 取 值 范 围 是2， 而 第 二 象 限 角 为2k2，2k， kz， 故不正确； 若2k，kz，与的终边相同，但当 k0 时，故不正确；正确故选 b.若 cos32， 且角的终边经过点 p(x， 2)，则 p 点的横坐标 x 是()a2 3b2 3c2 2d2 3解：由 cosxx2432，解得 x2 3.故选 d.若点 p(x，y)是

6、 30角终边上异于原点的一点，则yx的值为_解：yxtan3033.故填33.半径为 r 的圆的一段弧长等于 2 3r， 则这段弧所对的圆心角的弧度数是_解：圆心角的弧度数2 3rr2 3.故填 2 3.类型一类型一角的概念角的概念若是第二象限角，试分别确定 2，2，3的终边所在位置解：是第二象限角，90k360180k360(kz)(1)1802k36023602k360(kz)，故 2的终边在第三或第四象限或 y 轴的负半轴上(2)45k180290k180(kz)，当 k2n(nz)时，45n360290n360，当 k2n1(nz)时，225n3602270n360.2的终边在第一或第

7、三象限(3)30k120360k120(kz)，当 k3n(nz)时，30n360360n360，当 k3n1(nz)时，150n3603180n360，当 k3n2(nz)时，270n3603300n360.3的终边在第一或第二或第四象限【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难解此类题一般步骤为先写出的范围求出 2，2，3的范围分类讨论求出 2，2，3终边所在位置已知角 2的终边在 x 轴的上方(不与 x轴重合)，求的终边所在的象限解：依题意有 2k22k(kz)，kk2(kz)当 k0 时，02，此时是第一象限角；当 k1 时，32，此时是第三象限

8、角综上，对任意 kz，为第一或第三象限角故的终边在第一或第三象限类型二类型二扇形的弧长与面积问题扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形 aob 的圆心角aob120，半径 r6，求：(1)ab的长；(2)弓形 acb 的面积解：(1)aob12023，r6，lab2364.(2)s弓形acbs扇形oabsoab12labr12r2sinaob1246126232129 3.【评析】直接用公式 l|r 可求弧长，利用s弓s扇s可求弓形面积关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致弧长、面积是实际应用中经

9、常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用扇形 aob 的周长为 8 cm.若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小解：设扇形半径为 r，则弧长为 82r，s12(82r)r3，r1，或 r3.圆心角弧长半径82rr6 或23.类型三类型三三角函数的定义三角函数的定义已知角的终边经过点 p(a，2a)(a0)，求 sin，cos，tan的值解：因为角的终边经过点 p(a，2a)(a0)，所以r 5a，xa，y2a.sinyr2a5a2 55，cosxra5a55，tanyx2aa2.【评析】若题目中涉及角终边上一点 p 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解已知角的终边经过

10、点 p(3m9，m2)(1)若 m2，求 5sin3tan的值；(2)若 cos0 且 sin0，求实数 m 的取值范围解：(1)m2，p(3，4)，x3，y4，r5.sinyr45，tanyx43.5sin3tan545343 0.(2)cos0 且 sin0，3m90，m20.2m3.类型四类型四三角函数线的应用三角函数线的应用用单位圆证明角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于 1，即已知 02，求证：|sin|cos|1.证明：作平面直角坐标系 xoy 和单位圆(1)当角的终边落在坐标轴上时，不妨设为 ox轴， 设它交单位圆于 a 点， 如图 1， 显然 sin0， cosoa1，所以|s

11、in|cos|1.图 1图 2(2)当角的终边不在坐标轴上时， 不妨设为 op，设它交单位圆于 a 点， 过 a 作 abx 轴于 b， 如图 2，则 sinba，cosob.在oab 中，|ba|ob|oa|1，所以|sin|cos|1.综上所述，|sin|cos|1.【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律 在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性求证：当0，2 时，sintan.证明：如图所示，设角的终边与单位圆相交于点 p，

12、单位圆与x 轴正半轴的交点为 a，过点 a 作圆的切线交 op 的延长线于 t，过p 作 pmoa 于 m，连接 ap，则在 rtpom 中，sinmp，在 rtaot 中，tanat，又根据弧度制的定义，有apop，易 知spoas扇 形poasaot，即12oamp12apoa12oaat，即 sintan.1 将角的概念推广后， 要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kz，显然锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角2 角度制与弧度制可利用 180 rad 进行换算，在同一个式子中，采

13、用的度量制必须一致，不可混用如2k30(kz)，k3602(kz)的写法都是不正确的3 一般情况下， 在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷4 已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，但要注意对可能情况的讨论5 牢记各象限三角函数值的符号， 在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论62k表示与终边相同的角，其大小为与的偶数倍(而不是整数倍)的和，是的整数倍时，要分类讨论如：(1)sin(2k)sin；(2)sin(k)sin（k 为偶数） ，sin（k 为奇数）(1)ksin.7 在解简单的三角不等式时， 利用单位圆及三角函

14、数线是一个小技巧1(2012北京海淀二模)若 sincos0，则角是()a第一或第二象限角b第二或第三象限角c第三或第四象限角d第二或第四象限角解：sincos0，cos0或sin0.角是第二或第四象限角故选 d.2已知角的终边经过点 p(4a，3a)(a0)，则2sincos的值为()a25b.25c0d.25或25解：x4a，y3a，a0，r5a，sin35，cos45，2sincos235 4525.故选a.3函数 ysinx|sinx|cosx|cosxtanx|tanx|的值域是()a1，1b1，3c1，3d1，3解： (1)当 x 的终边落在第一象限时， sinx0， cosx0，

15、tanx0，y1113；(2)当 x 的终边落在第二象限时， sinx0， cosx0，tanx0，y1111；(3)当 x 的终边落在第三象限时， sinx0， cosx0，tanx0，y1111；(4)当 x 的终边落在第四象限时， sinx0， cosx0，tanx0，y1111.又依题意知角 x 的终边不可能落在坐标轴上，上述函数的值域为1，3故选 d.4已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是()a2b2sin1c.2sin1dsin2解：2rsin12，r1sin1，l|r2sin1.故选 c.5cos1，sin1，tan1 的大小关系是()asin1c

16、os1tan1btan1sin1cos1ccos1tan1sin1dcos1sin1tan1解：如图，单位圆中mop1 rad4rad，om22mpat，cos1sin1tan1.故选 d.6在abc 中，若 sinacosbtanc0，则abc的形状是()a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d不能确定解：abc 中每个角都在(0，)内，sina0.sinacosbtanc0，cosbtanc0.若 b，c 同为锐角，则 cosbtanc0.故 b，c 中必定有一个是钝角abc 是钝角三角形故选 b.7点 p 从(1，0)出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动23弧长到达点 q，则点 q

17、的坐标为_解 ： 由 三 角 函 数 的 定 义 知 点 q(x ， y) 满 足xcos2312，ysin2332.故填12，32 .8若一扇形的周长为 60cm，那么当它的半径和圆心角各为_cm 和_rad 时，扇形的面积最大解：设该扇形的半径为 r，圆心角为，弧长为 l，面积为 s，则 l2r60，l602r.s12lr12(602r)rr230r(r15)2225.当 r15 时，s 最大，最大值为 225cm2.此时，lr30152rad.故填 15；2.9若是第三象限角，则 2，2分别是第几象限角？解：是第三象限角，2k2k32，kz.4k224k3，kz.2是第一、二象限角，或角

18、的终边在 y 轴非负半轴上又 k22k34，kz，当 k2m(mz)时，2m222m34(mz)，则2是第二象限角；当 k2m1(mz)时，2m3222m74(mz)，则2是第四象限角故2是第二、四象限角10(台湾版习题)求 sin15，cos15，tan15的值解：如图，在 rtabc 中，bac30，c90，延长 ca 到 d 使 adab，则abd 是等腰三角形且d15.设|bc|1，则|ad|ab|2，|ac| 3，因此|cd|ad|ac|2 3.利用勾股定理|bd|2|cd|2|bc|2，代入得|bd|2(2 3)21284 32( 31)2，开平方得|bd| 2( 31)故 sin

19、15|bc|bd|12（ 31）6 24，cos15|cd|bd|2 32（ 31）6 24，tan15|bc|cd|12 32 3.11 已知角的终边经过点 p(x， 2)(x0)且 cos36x，求 sintan的值解：p(x， 2)(x0)，点 p 到原点的距离 r x22.又 cosxx2236x，x 10，r2 3.当 x 10时，点 p( 10， 2)，由三角函数定义知 sin66，tan 21055.sintan66555 66 530.当 x 10 时 ， 同 理 可 求 得 sin tan6 55 630.若在第四象限，试判断 sin(cos)的符号解： 在第四象限， 0co

20、s12， sin(cos)0.4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式1 能利用单位圆中的三角函数线推导出2， 的正弦、余弦、正切的诱导公式2 理解同角三角函数的基本关系式： sin2cos21(平方关系)，sincostan(商数关系)3 能正确运用同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行简单三角函数式的化简、求值从近几年的高考试题来看，这部分的题目难度不大，一般出现在选择、填空题中1同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：_；_(2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值， 求出该角的其他三角函数值；化简同

21、角的三角函数式； 证明同角的三角恒等式2三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanxsincostan2cot32cot2(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指2的奇数倍和偶数倍， 变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把当成_时，原三角函数式中的角如2所在_原三角函数值的符号注意把当成锐角是指不一定是锐角，如 sin(360120)sin120，sin(270120)cos120，此时把 120当成了锐角来处理“原三角函数”是

22、指等号左边的函数(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数去负（化负角为正角）任意正角的三角函数脱周脱去 k3600到 360的三角函数化锐（把角化为锐角）锐角三角函数3sincos，sincos，sincos三者之间的关系(sincos)2_；(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_.【自查自纠】1(1)sin2cos21sincostan2(1)x函数sinxcosxtanxsincostan2cossincotsincostan32cossinco

23、t2sincostan(2)不变锐角象限(3)锐角312sincos12sincos24sincostanx1tanx cos2x()atanxbsinxccosxd1tanx解：tanx1tanx cos2xsin2xcos2xsinxcosxcos2xcosxsinx1tanx.故选 d.已知 sin0，tan0，则 1sin2化简的结果为()acosbcosccosd以上都不对解：因为 sin0，tan0，所以 cos0，1sin2 cos2cos.故选 b.已知 tan2，则 sin2sincos2cos2()a43b54c34d45解：sin2sincos2cos2sin2sinco

24、s2cos2sin2cos2tan2tan2tan214224145.故选 d.已知2，sin55，则 tan()_.解：2，sin55，cos255.tansincos12.tan()tan12.故填12.若 sin45，tan0，则 cos_.解：由 sin450 且 tan0，知角为第三象限角，cos 1sin2145235.故填35.类型一类型一利用同角三角函数的基本关系式进行利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值化简和求值(1)已知 sin13，且为第二象限角，求tan；(2)已知 sin13，求 tan；(3)已知 sinm(m0，m1)，求 tan.解：(1)sin13，且是

25、第二象限角，cos 1sin211322 23.tansincos24.(2)sin13，是第一或第二象限角当是第一象限角时，cos 1sin211322 23，tansincos24；当是第二象限角时，tan24.(3)sinm(m0，m1)，cos 1sin2 1m2(当为第一、 四象限角时取正号，当为第二、三象限角时取负号)当为第一、四象限角时，tanm1m2；当为第二、三象限角时，tanm1m2.【评析】 解题时要注意角的取值范围， 分类讨论，正确判断函数值的符号设 sin245，且是第二象限角，求 tan2的值解： 是第二象限角， 2是第一或第三象限角(1)当2是第一象限角时，有 c

26、os21sin22145235，tan2sin2cos243；(2)当2是第三象限角时，与 sin245矛盾，舍去综上，tan243.类型二类型二诱导公式的运用诱导公式的运用(1)化简sin（2）cos（）cos2cos112cos（）sin（3）sin（）sin92；(2)已知是第三象限角，且f()sin（）cos（2）tan()tan（）sin（）.若 cos32 15，求 f()的值；若1860，求 f()的值解：(1)原式（sin） （cos） （sin） （sin）（cos）sinsincostan.(2)f()sincostan（tan）sincos.cos32 sin15，sin

27、15.是第三象限的角，cos11522 65.f()cos256.f()cos(1860)cos(60)12.【评析】三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱在运用公式时正确判断符号至关重要三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视化简：(1)sin2()cos()cos()1；(2)cos（）sin2（3）tan2cos3（）.解：(1)原式sin2(cos)cos1sin2cos212.(2)原式（cos）sin2tan2（cos3）sin2tan2cos2tan2tan21.类型三类型三关于关于

28、sin，cos的齐次式问题的齐次式问题已知tantan11，求下列各式的值(1)sin3cossincos；(2)sin2sincos2.解：由已知得 tan12.(1)sin3cossincostan3tan153.(2)sin2sincos2sin2sincossin2cos22tan2tan1tan221221211222135.【 评 析 】 (1) 形 如 asin bcos 和 asin2 bsincosccos2的式子分别称为关于 sin， cos的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以 cos或 cos2)求解如果分母为 1，可考虑将 1 写

29、成 sin2cos2.(2)已知 tanm 的条件下，求解关于 sin，cos的齐次式问题，必须注意以下几点：一定是关于 sin，cos的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式因为 cos0，所以可以用 cosn(nn*)除之，这样可以将被求式化为关于 tan的表示式，可整体代入 tanm 的值，从而完成被求式的求值运算注意 1sin2cos2的运用已知 tan3，求 sin23sincos1的值解法一：sin23sincos1sin23sincossin2cos21tan23tan1tan21323313211.解法二：tan30，是第一、三象限角由sin2cos21，sin3cos，有sin

30、31010，cos1010(为第一象限角)，或sin31010，cos1010(为第三象限角)sincos310.sin23sincos1910331011.1 诱导公式用角度制和弧度制表示都可， 运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取2 已知一个角的某一个三角函数值， 求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象

31、限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解3计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及 sin，cos的齐次分式问题，常采用分子分母同除以 cosn(nn*)，这样可以将被求式化为关于 tan的式子(2)巧用“1”进行变形，如 1sin2cos2tancottan45sec2tan2等(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取(4)理解 sincos，sincos的内在联系，必要时可用方程思想或整体代换方法解决1sin585的值为()a22b

32、.22c32d32解：sin585sin(90645)sin4522.故选 a.2若 sin35，2，则 tan的值为()a34b34c43d43解：sin35，2，cos45.tansincos34.故选 b.3下列关系式中正确的是()asin11cos10sin168bsin168sin11cos10csin11sin168cos10dsin168cos10sin11解： cos10sin80， sin168sin(18012)sin12，sin11sin168cos10.故选 c.4 已知f(cosx)cos2x， 则f(sin15)的值等于()a12b12c32d32解：f(sin15

33、)f(cos75)cos15032.故选 d.5若 sin是 5x27x60 的根，则sin32 sin32tan2（2）cos2cos2sin（）()a35b53c45d54解：由 5x27x60 得 x35或 x2.sin35.原式cos（cos）tan2sin（sin）（sin）1sin53.故选 b.6(2012辽宁)已知 sincos 2，(0，)，则 tan()a1b22c.22d1解： 将sincos 2两端平方， 整理得2sincos1，2sincos2sincossin2cos22tantan211，即(tan1)20，解得 tan1.故选 a.7已知 sincos18，且4

34、2，则 cossin的值是_解：42，sincos.12sincos(cossin)234，cossin32.故填32.8f(x)asin(x)bcos(x)4(a，b，均为非零实数)， 若 f(20 xx)6， 则 f(20 xx)_.解： f(20 xx)asin(20 xx)bcos(20 xx)4asinbcos46，asinbcos2，f(20 xx)asin(20 xx)bcos(20 xx)4asinbcos42.故填 2.9化简 sink3 cos3k23 (kz)解：原式sink3 cosk23 (kz)当 k2n(nz)时，原式sin2n3 cos2n23sin3cos23

35、3212 34.当 k2n1(nz)时，原式sin（2n1）3 cos3（2n1）23sin3 cos23sin3cos23321234.综上可得 sink3 cos3k23 34(kz)10已知在abc 中，sinacosa15.(1)求 sinacosa；(2)判断abc 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求 tana 的值解：(1)sinacosa15，两边平方得 12sinacosa125.sinacosa1225.(2)由(1)sinacosa12250，且 0a，可知 cosa0，cosa0，22)的部分图象如图所示，则，的值分别是()a2，3b2，6c4，6d4，3解：由图知34

36、t5123 34，t，2，f512 2sin(2512)2， 即5622k， 32k，kz.22，3.故选 a.函数 f(x)2sinx4对于任意的 xr，都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为_解：由 f(x1)f(x)f(x2)，知 f(x1)，f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值，当x42k12，即 x8k12(k1z)时， f(x)取最小值； 而x42k22， 即 x8k22(k2z)时，f(x)取最大值，|x1x2|的最小值为4.故填 4.函数 f(x)sinx3(0，2)是偶函数，则_.解：函数 f(x)sinx3(0，2)是偶函数，32k，323k，kz

37、.又0，2，32.故填32.类型一类型一三角函数的定义域三角函数的定义域求 ylg(sinxcosx)的定义域解：要使函数有意义，必须使 sinxcosx0.解法一：利用图象在同一坐标系中画出0，2上 ysinx 和 ycosx 的图象，如图所示：在0，2内，满足 sinxcosx 的 x 为4，54，在4，54内 sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是 2， 所以定义域为x|42kx542k， kz解法二：利用三角函数线，如图，mn 为正弦线，om 为余弦线，要使 sinxcosx，则4x54(在0，2内)定义域为x|42kx542k，kz.解法三：sinxcosx 2sinx4 0

38、，由正弦函数 ysinx 的图象和性质可知 2kx42k，解得 2k4x542k，kz.定义域为x|42kx542k，kz.【评析】求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集求下列函数的定义域：(1)y sin（cosx）；(2)ylgsinx2sinx 3.解：(1)y sin（cosx），sin(cosx)0.2kcosx2k（kz） ，1cosx1.0cosx1.2n2x2n2(nz)即所求

39、函数的定义域为x|2n2x2n2，nz.(2)ylgsinx2sinx 3，sinx0，2sinx 30.原函数的定义域为x|2kx2k，且 x2k3，x2k23，kz类型二类型二三角函数的周期性三角函数的周期性求下列函数的最小正周期(1)y(asinxcosx)2(ar)；(2)y2cosxsinx3 3sin2xsinxcosx；(3)y2|sin4x3|.解：(1)y a21sin(x)2(a21)sin2(x)(a21)1cos（2x2）2(为辅助角)，所以此函数的最小正周期为 t22.(2)y2cosx12sinx32cosx 3sin2xsinxcosxsinxcosx 3cos2

40、x 3sin2xsinxcosxsin2x 3cos2x2sin2x3 ，该函数的最小正周期为 t22.(3)y2|sin4x3|的最小正周期是y2sin(4x3)的最小正周期的一半，即 t12244.【评析】求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定， y2|sin(4x3)|的图象即是将 y2sin4x3 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方去已知函数 f(x)tan2x4 .(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设0，4 ，若 f2 2cos2

41、，求的大小解： (1)由 2x42k， kz， 得 x8k2， kz.所以 f(x)的定义域为x|x8k2，kzf(x)的最小正周期 t2.(2)由 f2 2cos2，得 tan4 2cos2，sin4cos42(cos2 sin2)， 整理 得sincoscossin2(cossin)(cossin)因为0，4 ，所以 sincos0，因此(cossin)212，即 sin212.由0，4 ，得 20，2 .所以 26，即12.类型三类型三三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos22xcos(x)；(2)f(x)1sinxcosx1sinxcosx.解：(1)

42、f(x)cos22xcos(x)(sin2x)(cosx)cosxsin2x.f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2x-f(x)，xr，f(x)是奇函数(2)1sinxcosx2cosx2sinx2cosx2 0，x2k且 x22k，kz.f(x)的定义域不关于原点对称，故 f(x)是非奇非偶函数【评析】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间， 如果是， 再验证 f(-x)是否等于f(x)或 f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用x 取代 x，再化简判断，还可利用 f(x)f(

43、x)0 是否成立来判断其奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x) 2sinx1；(2)f(x)lg(sinx 1sin2x)解：(1)2sinx10，sinx12，即 x2k6，2k56 (kz)，此区间不关于原点对称f(x)是非奇非偶函数(2)由题意知函数 f(x)的定义域为 r.f(x)lgsin(x) 1sin2（x）lg(sinx 1sin2x)lg11sin2xsinxlg( 1sin2xsinx)f(x)函数 f(x)是奇函数类型四类型四三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性(1)已知 f(x)2sinx3 (xr)， 函数 yf(x)|2 的图象关于直线 x0 对称，则的值为_

44、解：yf(x)2sin(x3)的图象关于 x0对称，即 f(x)为偶函数32k，kz，即k6，kz，又|2，所以6.故填6.(2)函数y 2sin2x4 1的图象的一个对称中心的坐标是()a.38，0b.38，1c.8，1d.8，1解：对称中心的横坐标满足 2x4k，解得x8k2，kz.当 k1 时，x38，y1.故选 b.【评析】解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；对于函数 f(x)asin(x)b，如果求f(x)图象的对称轴，只需解方程 sin(x)1，也就是令x2k(kz)求 x； 如果求 f(x)图象的对称中心，只需解方程 sin(x)0，也就是令xk(kz)；对于较复杂的三角函

45、数表达式，有时可以通过恒等变换为的情形，这一部分将在“4.6 三角恒等变换”中涉及已知函数 g(x) 2cos2x42m2的图象关于点(0，2)对称，求 m 的最小正值解：yg(x)的图象关于点(0，2)对称，2042m2k，kz.mk28，kz.当 k0 时，m 取得最小正值8.类型五类型五三角函数的单调性三角函数的单调性(1)求函数 ysin32x的单调递减区间；(2)求 y3tan6x4 的最小正周期及单调区间解：(1)ysin32xsin2x3 ，故由 2k22x32k2，解得 k12xk512(kz)函数的单调递减区间为k12，k512(kz)(2)y3tan6x4 3tanx46

46、，t|144.由 k2x46k2，解得 4k43x0，0，直线 x4和 x54是函数 f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则()a.4b.3c.2d.34解： 由题意知 t2544 2， 2t1， f(x)sin(x).又42k，4k，kz.00， 函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则的取值范围是()a.12，54b.12，34c.0，12d.(0，2解：x2，x424，4 .又24，4 22k，322k(kz)，2422k，4322k，解得124k542k，kz.0， 当 k0 时， 以上不等式有解，1254.故选 a.7 函数 f(x)sin2x4 2 2sin2x 的最

47、小正周期是_解：f(x)sin2x4 22sin2x22sin2x22cos2x2 21cos2x222sin2x22cos2x 2sin2x4 2，故该函数的最小正周期为 t22.故填.8 函数 f(x) 3cos(3x)sin(3x)是奇函数，则 tan_.解：函数 f(x)的定义域为 r，且 f(x)为奇函数，所以 f(0)0，即 f(0) 3cossin0(使 cos0 的值不满足题设条件，故 cos0)，得 tan 3.故填 3.9已知 f(x)2sin2x3 .(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)若函数 yf(x)02 为偶函数，求的值解：(1)令 2k22x32k32，

48、kz，解得单调递减区间是k512，k1112 ，kz.(2)f(x)2sin2x23 .根据三角函数图象性质可知，yf(x)02 在 x0 处取最值，sin23 1，23k2，k2512，kz.又 02，解得512.10已知函数 f(x)2cos2xsin2x4cosx.(1)求 f3 的值；(2)求 f(x)的最大值和最小值解：(1)f3 2cos23sin234cos3134294.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cosx3cos2x4cosx13cosx23273，xr.因为 cosx1，1，所以当 cosx1 时，f(x)取最大值 6；当 cosx23时，f(x)取

49、最小值73.11(2012重庆)设 f(x)4cosx6 sinxcos(2x)，其中0.(1)求函数 yf(x)的值域；(2)若 f(x)在区间32，2 上为增函数，求的最大值解 ：(1)f(x) 4cosxcos6sinxsin6 sinx cos2x2 3sinxcosx2sin2xcos2xsin2x 3sin2x1，f(x)的值域为1 3，1 3.(2)易知 f(x) 3sin2x1(0)在闭区间k4，k4(kz)上为增函数，32，2 k4，k4 对某个 kz 成立易知 k0，则324，24，解得16.的最大值为16.(2013安徽模拟)定义在 r 上的偶函数f(x)满足 f(2x)

50、f(x)，且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确是()af(sin)f(cos)bf(sin)f(cos)cf(cos)f(cos)df(cos)f(cos)解：f(x)是偶函数，且在3，2上单调递减，f(x)在2，3上单调递增f(x)f(2x)f(x2)，即周期 t2，f(x)在0，1上也单调递增2，0，0，022，sinsin2cos.又sin，cos(0，1)，f(sin)f(cos)故选 b.4.4三角函数图象的变换三角函数图象的变换1了解函数 yasin(x)的物理意义2能画出 yasin(x)的图象，了解参数 a，对函数图象变化的影响高考主要考查三角函数的图象

51、变换，三角函数式的变换，函数的周期、最值以及函数的解析式与图象的关系；考查可以化成 yasin(x)形式的函数的图象与性质 一般有一个小题和一个大题(大题和恒等变换结合)，属中档题1用五点法画 yasin(x)在一个周期内的简图用五点法画 yasin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.xxyasin(x)0a0a02.图象变换(0)路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式 yasin(x)，x0，)，其中 a0，0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：a 就是这个简谐运动的振幅，它是

52、做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是 t， 这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式 f1t给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x称为相位；x_时的相位称为初相【自查自纠】1.x2322x02322yasin(x)0a0a02.|1a1|a3.220已知函数 f(x)sinx3 (0)的最小正周期为，则该函数的图象()a关于点3，0对称b关于直线 x4对称c关于点4，0对称d关于直线 x3对称解：由 t知2t22，函数 f(x)sin2x3 .函数 f(x)的对称轴满足 2x32k(kz)，解得 x12k2(kz)；函数

53、f(x)的对称中心的横坐标满足 2x3k(kz)，解得 x6k2(kz)故选 a.(2012安徽)要得到函数 ycos(2x1)的图象，只要将函数 ycos2x 的图象()a向左平移 1 个单位b向右平移 1 个单位c向左平移12个单位d向右平移12个单位解：由题意知，要得到函数 ycos2x12 的图象，只要将函数 ycos2x 的图象向左平移12个单位故选 c.(2013山东)将函数 ysin(2x)的图象沿 x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()a.34b.4c0d 4解：ysin(2x)的图象向左平移8个单位后，得到函数 ysin2x4 ，又因为后者是偶函

54、数，所以42k(kz)，4k(kz)，的一个可能值为4.故选 b.已知函数 ysin(x)(0，)的图象如图所示，则_.解：由图象可得 t2(234)522，解之得45.将(34， 1)代入 ysin45x， 得 sin351， 则35322k， kz， 即9102k， kz.又，)，910.故填910.为得到函数 ycos2x3 的图象， 只需将函数 ysin2x 的图象向左平移_个单位长度解 ： 函 数 y cos2x3 sin2x32 sin2x512 ，只需将函数 ysin2x 的图象向左平移512个单位故填512 .类型一类型一五点法作图五点法作图作出函数 y2sinx23 的图象解

55、：周期 t2124，振幅 a2.按五个关键点列表：x2302322x2334373103y02020描点作图：【评析】用“五点法”作 yasin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 xx，由 x0，2，32，2来求出相应的 x 值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象已知曲线 yasin(x)(a0，0)上的一个最高点的坐标为8， 2， 此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点38，0，且2，2 .(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”在图中画出(1)中函数在一个周期上的图象解： (1)由题意知 a 2， t4388 ， 2t22，y 2sin(2x).又图象过点8，2，代入

56、表达式得 2 2sin(28)， 即 sin41，从而42k2，2k4，kz.又2，2 ，4.y 2sin2x4 .(2)按五个关键点列表：2x402322x88385878y020 20描点作图：类型二类型二三角函数的图象变换三角函数的图象变换说明由函数 ysinx 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象(1)ysinx3 ；(2)ysin2x23；(3)y|sinx|；(4)ysin|x|.解：(1)将 ysinx 的图象向左平移3个单位长度，得到 ysinx3 的图象(2)解法一：将 ysinx 的图象向右平移23个单位长度， 得到 ysinx23的图象， 再把 ysinx23图象上

57、所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，就得到 ysin2x23的图象解法二：先把 ysinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到 ysin2x 的图象，再将 ysin2x 的图象向右平移3个单位长度，就得到 ysin2x23的图象(3)将 ysinx 的图象的 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方，去掉 x 轴下方图象，即可得到 y|sinx|的图象(4)先去掉 y 轴左边的 ysinx 的图象，再将 y 轴右边的图象翻折到 y 轴左边，保留 y 轴右边的图象，即可得到 ysin|x|的图象【评析】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换三角函数的图象变换，有两

58、种选择一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意平移变换时， 当自变量 x 的系数不为 1 时， 要将系数先提出 翻折变换要注意翻折的方向；(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换为得到函数 ycosx3 的图象，只需将函数 ysinx 的图象()a向左平移6个单位长度b向右平移6个单位长度c向左平移56个单位长度d向右平移56个单位长度解：ycosx3 sin2x3 sinx56，因此只需将 ysinx 的图象向左平移56个单位长度故选 c .类型三类型三函数函数 yasin(x)k 的图象及其的图象及其变换变换函数 f(x)sin(2x)acos(2x)，其中a

59、 为正常数且 00，得 a 3.于是 f(x)sin(2x) 3cos(2x)2sin2x3.又 f(x)的图象关于直线 x6对称，则当 x6时，f(x)取得最值故 263k2，则k223k6(kz)又 00)的图象向右平移4个单位长度，所得图象经过点34，0，则的最小值是()a13b1c53d2解： 函数 f(x)的图象向右平移4个单位长度得函数g(x)fx4 sinx4 的图象，由于此时函数 g(x)过点34，0，所以 g34 sin344 sin20，即2k，2k，kz.0，的最小值为 2.故选 d.3已知函数 ysin(x)0，|2 的部分图象如图所示，则()a1，6b1，6c2，6d

60、2，6解：依题意得 t247123 ，2，sin23sin231，故232k2，2k6，kz.又|2，因此6，故选 d.4将函数 ysinx 的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 所得图象的函数解析式是()aysin2x10bysin2x5cysin12x10dysin12x20解：将函数 ysinx 的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度可得 ysinx10 ，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，可得 ysin12x10 .故选 c.5 将函数 ysinx 的图象向左平移(02)个单位后，得到函数 ysi