高三数学第二轮专题复习电子化讲义---解析几何

1、学习必备欢迎下载解析几何高考第一问训练（第一课时）高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。例一（本小题满分12 分）（2004.辽宁卷）设椭圆方程为 x 2y21，过点 M（ 0， 1）的直线 l 交椭圆于点 A、 B，O 是坐标原点，4点 P满足1() ，点 N 的坐标为11OAOB( ,)OP，当 l 绕点 M 旋转时，求：222（ 1）动点 P 的轨迹方程；解答：本小题主要考查平面向量的

2、概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 12分.（ 1）解法一：直线l 过点 M （0， 1）设其斜率为k，则 l 的方程为ykx1.记 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ), 由题设可得点 A、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) 是方程组ykx12的解 . 2 分x2y14将代入并化简得，(4k 2 ) x22kx30 ，所以x1x22k,4 k2于是8y1y242 .kOP1(OAOB )( x1x2 , y12y2 )(k 2,42 ).6 分224k

3、4k设点 P 的坐标为 ( x, y), 则xk,4k 2消去参数 k 得 4x 2y2y0y442 .k当 k 不存在时， A、 B 中点为坐标原点（0， 0），也满足方程，所以点P 的轨迹方学习必备欢迎下载程为 4 x2y 2y0. 8 分解法二：设点P 的坐标为 (x, y) ，因 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 在椭圆上，所以x12y121, x22y221.44 得 x12x221 ( y12y22 )0 ，所以4( x1x2 )( x1x2 )1 ( y1y2 )( y1 y2 ) 0.4当 x1x2 时，有 x1x21 ( y1y2 ) y1y20.4x1

4、x2xx1x2 ,2并且yy1y2 ,将代入并整理得4 x2y 2y 0.2y1y1 y2 .xx1x2当 x1x2 时，点A、 B 的坐标为（ 0， 2）、（0， 2），这时点 P 的坐标为（ 0，0）也满足，所以点P 的轨迹方程为x2( y1) 221.8 分11例二（16412 分）（本小题满分2004.湖南理）x2如图，过抛物线=4y 的对称轴上任一点P（0,m）(m>0) 作直线与抛物线交于A，B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点 .（ I）设点 P 分有向线段 AB 所成的比为，证明 :QP (QAQB) ；31解：（）依题意，可设直线AB 的方程为 ykxm, 代入

5、抛物线方程x24 y 得x 24kx4m0.(x1, y1 ) 、 ( x2 , y2 ), 则 x1 、 x2 是方程的两根 .设 A、 B 两点的坐标分别是所以x1 x24m.由点 P（ 0， m）分有向线段AB 所成的比为，得 x1x20,即x1 .1x2又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（0， m），从而 QP(0,2m) .QAQB ( x1 , y1m)( x2 , y2m) ( x1x2 , y1y2 (1)m).QP (QAQB)2m y1y2 (1)m学习必备欢迎下载2m x12x1x22(1x1)n 2m( x1x2 )x1 x2 4m4x24x24x

6、22m(x1x2 )4m4m0.4x2所以QP(QAQB).例三 (2004. 天津卷 )（本小题满分14 分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22 ，相应于焦点F (c,0)( c0) 的准线 l 与 x 轴相交于点A ，| OF |2 | FA | ，过点 A 的直线与椭圆相交于P、 Q 两点。(I) 求椭圆的方程及离心率；(22) 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算:x2y21(a2).(I) 解：由题意，可设椭圆的方程为b2a2由已知得a2c22,c2( a2c).c解得 a6, c2.所以椭圆的方程为x2y21 ，离心率 e6 .623（课后训练）1.（

7、 2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为1，一个焦点是F（ -m,0） (m 是大于0 的常数 ).()2求椭圆的方程； ：答案：（ 1）x2y213m24m22（ 2004. 福建理）（本小题满分12 分）如图， P 是抛物线C： y= 1 x2 上一点，直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q.2（）若直线l 与过点 P 的切线垂直，求线段PQ 中点 M 的轨迹方程；学习必备欢迎下载答案： . 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法解：（）设P(x1， y1)，Q(x2， y2)，M (x0， y0)，依题意x10， y1>0，y2>0.由 y

8、= 1x2，2得 y=x.过点 P 的切线的斜率k 切 = x1，直线 l 的斜率 kl=1=-1 ，k切x1直线 l 的方程为 y12=12x1(x x1)，x1方法一：联立消去y，得 x2+ 2 x x12 2=0.x1M 是 PQ 的中点x0= x1x2 =- 1 ，2x11y0=2x1 2 1 (x0 x1).x1消去 x1，得 y0=x02 +12+1( x0 0)，2x0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2 +12+1( x 0).2x0方法二：由 y1= 1 x12， y2= 1 x22， x0= x1x2 ，222得 y1 y2= 1 x12 1 x22= 1 (x1+x2

9、)( x1 x2)=x0(x1 x2)，222则 x0= y1y2 =kl=-1 ，x1x2x1 x1= 1 ，x 0将上式代入并整理，得学习必备欢迎下载21y0=x0 +2x02 +1( x0 0)， PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2 +12+1( x 0).2x03（ 2004.湖北理）（本小题满分12 分）直线 l : ykx1与双曲线 C : 2x 2y 21的右支交于不同的两点A、 B.（ I）求实数 k 的取值范围；答案：本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12 分.解：（）将直线 l 的方程 y kx1代入双曲线 C的方程 2x2

10、y 21后 ,整理得(k 22) x22kx20. 依题意，直线l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故k 220,(2k) 28( k 22)0,2k0k 2220.k 22解得 k的取值范围是2k2.5. （ 04. 上海春季高考） (本题满分 18 分 )本题共有 3 个小题 ,第 1 小题满分 4 分 ,第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分.已知倾斜角为45 的直线 l 过点 A(1 ,2) 和点 B ， B 在第一象限，| AB | 3 2 .(1) 求点 B 的坐标；(2)若直线 l 与双曲线 C : x 2y 21 (a 0) 相交于 E 、 F 两点， 且线段 EF

11、 的中点坐标为 ( 4 ,1)，求 a 的a 2值；答案：(1)直线 AB 方程为 yx3 ，设点 B (x , y ) ，由 yx 3( y2)218及 x0， y0 得 x 4 ， y1，点 B( x1)2的坐标为 (4 ,1) 。（ 2）由yx3得 ( 11)x 26 x10 0 ，设 E ( x , y ) ,F( x, y)，则xx6 a24，得 a 2 。x2y2112a21 1221 a2a 2。学习必备欢迎下载解析几何第一问 (第二课时 )例一椭圆 C 的中心在原点， 焦点 F1、F2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且 F1PF 2 的最大值为 90°，直

12、线 l 过左焦点 F 1 与椭圆交于 A、 B 两点， ABF 2 的面积最大值为 12（ 1）求椭圆 C 的离心率；答案：）设 | PF1 |r1 ,| PF2 | r2 ,| F1F2|2c ,对 PF1F2,由余弦定理 , 得cos F1 PF2r11r224c 2(r1r2 ) 22r1r2 4c24a24c 214a 24c22r1 r22r1 r22r1r 2r1r212()2212e20 ，解出2e.2例二 知直线 yx1 与椭圆x2y 21(ab0) 相交于A 、 B两点，且线段AB 的中点在直线a2b2l : x 2 y0上 .（）求此椭圆的离心率；y，则由x 1答案：设 A

13、、 B 两点的坐标分别为得A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).x2y21a 2b 2( a2b2 ) x 22a 2 x a 2a2b 20 ,根据韦达定理，得x1x22a 22 , y1y2( x1x2 ) 22b 22 ,a2ba2b线段 AB 的中点坐标为（a 2,b2） .a2b22b2a由已知得a 22b 20,a22b 22(a 2c2 )a22c2a2b 2a 2b2故椭圆的离心率为e2.2例三 线 l 过抛物线 y 22 px( p0) 的焦点，且与抛物线相交于A (x1 , y1 )和 B( x2 , y2 ) 两点 .（ 1）求证： 4x1 x2p 2 ;

14、学习必备欢迎下载讲解 : （1）易求得抛物线的焦点PF( ,0).2若 l x 轴，则 l 的方程为 xP ,显然 x1x2P2.24若 l 不垂直于 x 轴，可设 y k( xP ) ,代入抛物线方程整理得x 2P (12P ) xP 20, 则 x1 x2P 2.2k 244综上可知 4x1 x2p 2.（课后练习）04 北京 ·文史第 17 题，本小题满分14 分）如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（ 1，2）， A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）均在抛物线上。（ I）写出该抛物线的方程及其准线方程（ II ）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补