高三数学高考第一轮复习——直线与圆锥曲线(理)人教实验A版知识精讲

1、高三数学高考第一轮复习直线与圆锥曲线（理）人教实验A 版【本讲教育信息 】一 . 教学内容：直线与圆锥曲线二 .重点、难点：1.曲线： F ( x, y)02.直线： ax byc 0F ( x, y)0Ax 2Bx C 0ax byc0B24AC（ 1）0无交点（ 2）0一个交点，相切（ 3）0两个交点 P、Q|PQ|1 k 2 | x1 x2|【典型例题】 例 1 A （ 4， 1）过 A 作 l 交曲线 M 于 P、 Q，A 恰为 PQ 中点，求 l 。（ 1） M : x 2y 212516（ 2） M : x2y213（ 3） M : y 24x解：（ 1）设 P(x1 , y1 )

2、 ， Q(x2 , y2 )x12y12 25116x22y2225116(x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1y2 )( y1y2 )25160用心爱心专心 y1y216x1x2x1x225y1y2 A为PQ中点 x1 x2 8 ， y1 y2 2 ky1y264x1x225 l : y164 ( x4)25（ 2）同理： y 1 12( x 4)（ 3）同理：y12( x4) 例 2 过曲线 M 的焦点 F，作直线 l 交曲线 M 于 A 、B ，求 | AB |的最小值。（ 1） M : x2y213（ 2） M : x 2y 21a 2b 2（ 3） M : y 22px解：（

3、1）设 l : yk( x2)yk( x2)22222x2y(3 k ) x4k x (3 4k ) 013| AB|1k 2| x1x2|6(1k 2 )| 3k 2|<1>k(3,3)3k20交于两支|AB|66k 232463k 2k 2 k0时， |AB |min2<2>k(,3)(3,)3k 20交于右支用心爱心专心| AB | 6k 266243k 23k 2 |AB|(6,) l : x2|AB|6综上所述， | AB |min2（ 2）同理： | AB |min2b 2a（ 3）同理： | AB |min2 p 例 3 （1）椭圆 M : x2y21 ，

4、直线 l : y4 xm ，若 M 上存在两个不同的点，关于l43对称，求m 的取值范围。（ 2）双曲线 M : 3x 2y23 ，直线 l : ykx4 ，若 M 上存在两个不同的点关于 l对称，求 k 的取值范围。解：（ 1）设对称点 A ， B l AB : y1 xn4y1 xnx2413x 28nx16n 2480y2143x1x28n14n213213y2y11(1x1n)(1n)12224x2n413存在（12n2）64390A, B中点在l上m4nA, B13 m ( 2 13 , 2 13 )1313（ 2）设对称点A 、 Bl AB : xkym用心爱心专心xkym(3k

5、21) y26mky3m23 03x2y 23y1y23mk23k 21x1x2m23k 2103k 2m2103k21中点在 l 上mk (4k21)(321)0k k(,3 )( 1,1)( 3 ,)3223 例 4 椭圆 M ，中心在原点，焦点在x 轴，直线 l : yx1交椭圆于 P、 Q，且 OP OQ，| PQ |10 ，求椭圆方程。2x 2y21解： 设椭圆 a 2b 2yx1 (a 2b2 )x 22a2 x a 2 (1 b 2 ) 0设 P(x1 , y1 ), Q(x2 , y2 )| PQ|102 | x1x2 |1022OP OQx1 x2y1 y20( x1x2 )

6、 24x1x254x1 x2y1 y20a 2b 2 (a 2b 21)5 (a2b 2 )2162 )a 2 (1 b2 ) b 2 (1 a0a 2b 2a2b2用心爱心专心a 2 b2 (a 2b21)5 (a 2b2 )216a 2b22a 2 b2令 a 2b2t t (2t 1)5 4t 2 t4163a2b28a22x 2y2314b222a2b22333例 5曲线M:x 2y 221(x 0) P 在 M 上， A （ 1， 2）， B （3， 8），求 S PAB 最小值。9l AB : 3x y10 与 AB 平行的曲线的切线： 3x y03x y09x 22y 2189x

7、 212x(2 218)0144236(2218)03依图32102 10 d (l 切 ,l AB )5|AB|10S PABmin1102 10225 例 6 已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F（3 ，0），右顶点为 D （2， 0），设点 A1, 1。2用心爱心专心（ 1）求该椭圆的标准方程；（ 2）若 P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点 M 的轨迹方程；（ 3）过原点 O 的直线交椭圆于点B， C，求 ABC 面积的最大值。解析：（1）由已知得椭圆的半长轴a 2 ，半焦距 c3 ，则半短轴 b 1又 椭圆的焦点在x 轴上 椭圆的标准方程为x2y

8、 214（ 2）设线段 PA 的中点为 M （ x， y），点 P 的坐标是（ x0 , y0 ）xx0 1x02x 12由，得1y02y1y02y222x1 22 y 12由点 P 在椭圆上，得142122 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是4 y11x42（ 3）当直线 BC 垂直于 x 轴时， BC=2 ，因此 ABC 的面积 S ABC =1当直线 BC 不垂直于 x 轴时，该直线方程为ykx ，代入 x 2y214解得 B2,2k，C2,2k4k 24k 21 4k 214k 211k 2k112则 BC，又因为点A 到直线 BC 的距离 d44k 21k 21 ABC 的面积 S

9、ABC1 AB2k1d，214k 2用心爱心专心于是 S ABC4k 24k14k4k11124k2由4k1 ，得S ABC2 ，其中，当 k14k21时，等号成立2 S ABC 的最大值是2例 7x 2y21 a 0,b 0 的离心率为5分别为左、右焦点，如图，双曲线2b2，F1，F2a2M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且F1 M F2 M1。4（ 1）求双曲线的方程；（ 2）设 A （ m， 0）和 B1 ,00 m 1 是 x 轴上的两点。过点A 作斜率不为0 的m直线 l ，使得 l 交双曲线于C，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E。证明直线 DE 垂直于 x 轴。解析：

10、（1）根据题设条件，F1c,0 , F2c,0 ，设点 M （ x， y），则 x， y 满足a2xc52a2bc因 e,ba2，解得 M5，x5ya故 F1M F2M2a2b2a2b5c,55c,54 a 2c24 b2155451利用 a 2b2c 2 ，得 c2，于是 a21,b 244用心爱心专心因此，所求双曲线方程为x24 y 21（ 2）证明： 设点 C（ x1 , y1 ）， D （ x2 , y2 ）， E（ x3 , y3 ），则直线 l 的方程为y1( x m)yx1 myy1(xm) 1于是 Cx1 , y1 , D x2 , y2 两点坐标满足x1mx 24y 212将

11、 <1>代入 <2> 得x122x1mm 24y12 x 28my12 x 4 y12 m 2x122mx1m20由 x124y121（点 C 在双曲线上） ，上面方程可化简为m 22 x1 m1 x28my12 xx122x1 m m20由已知，显然 m 22x1m10于是 x1x2x122mx1m2 x12，因为 x10 ，得 x2x12m m2 x1m22x1m 1m22x1 m 1yy1x1m同理， Cx1 , y1 , Ex3 , y3 两点坐标满足x11mx24 y 21x1 2 112x1m 2 x12mx1可解得 x3mm1211 2x1mm 21m2x

12、1m所以 x2x3 ，故直线 DE 垂直于 x 轴。 例 8 已知点 M（ 2，0），N（ 2，0），动点 P 满足条件PMPN22 ，记动点 P 的轨迹为 W。（ 1）求 W 的方程；（ 2）若 A ， B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求 OA OB 的最小值。解析：解法一： （ 1）由 PMPN2 2 知，动点 P 的轨迹是以M ， N 为焦点的双用心爱心专心曲线的右支，实半轴长a2 。又半焦距 c2 ，故虚半轴长 bc 2a 22 W 的方程为 x2y21, x222（ 2）设 A ， B 的坐标分别为x1 , y1,x2 , y2当 AB x 轴时， x1x2 , y1y2

13、 ，从而 OA OBx1 x2y1 y2x12y122当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 ykxm ，与 W 的方法联立，消去 y2km22得 1 k 2 x 22kmxm 220 ，故 x1x2, x1 x2m221kk1 OA OB xx2y y2x1 x2kx1 m kx2m111 k 2 x1 x2km x1x2m 21 k 2 m22 2k 2 m 2m 2k 211k 22k 2224k 21k 21又 x x20，k21 0，从而 OA OB21综上，当 AB x 轴时， OA OB 取得最小值 2解法二：（ 1）同解法一（ 2）设 A ， B 的坐标分别为x1

14、, y1,x2 , y2 ，则 xi2yi2xiyi xiyi2 i1.2令 sixiyi ,t ixiyi，则si ti2，且 si0, ti0 i1,2 OA OB x1x2y1 y21s1t1 s2t 21t1 s2t 24s11142 s1 s22 t1t 2s1s2t1t22当且仅当 s1s2t1t2，即x1x2时“ =”成立y1y2OA OB 的最小值是2用心爱心专心 例 9 无论 m 为何值，直线 l： yxm 与双曲线 C：x 2y21 b0 恒有公共点。2b2（ 1）求 C 的离心率 e 的取值范围；（ 2）若直线 l 过 C 的右焦点 F 与双曲线交于P、 Q，并且满足 F

15、P1 FQ，求 C的方5程。yxmb2 x22 x 22mx m22b 2解：（ 1）x 2y2102b 2 b 22 x 24mx 2 m 2b20 b220时， m=0 方程组无解，不合题意 b220 ，b4b 2m 220 恒成立，即 b 22m2恒成立 b22ecc 22 b 22 e2aa 22yxc b22 y 22b2 cy b2 c22b2（ 2）设 l ： y xc ， x2y2102b2 y1y22b2 cy1 y2b2 c22b2b22b22 FP1 FQy11y2556 y12b 2 cc2 b4b2 c22b2b 222229 b2255y12b c2bb 22又 c

16、2b 22 b27 c 29 x2y2127用心爱心专心 例 10 如图 F（ 1，0），点 M 在 x 轴上，若FNFM 且向量 FMFN 与 MN 的交点在y 轴上。（ 1）求 N 的轨迹；（ ）是否存在过点（，）的直线l交轨迹于A、B且OA OB4 ，并说明理由。21 0解：（ 1）设 N（ x， y）， M （ a， 0）FMFN 与 MN 的交点为 P， FNFM P为 MN 中点，且 PFMNxa0y02y P M x,0 ， P 0, y kPM kPF1 y 24x2（ 2）设存在直线 l 满足条件l : yk x1令 OAx1 , y1 ,OBx2 , y2yk x1k 2

17、x22k24 x k 20y24x2k 224k 40 0 k 21 k1,00,14x1x242k 2k2x1x2 1用心爱心专心y1y2k x11 k x21k 2 x1x2x1 x21k 242k2114k 2OA OB x1 x2y1 y2145定值 不存在 l 使 OA OB=4例 11x2y21 的直线与椭圆如图，已知椭圆m1 2 m 5 ，过其左焦点且斜率为m1及其准线的交点从左到右的顺序为A 、 B、 C、 D，设 f (m)AB CD（ 1）求 f m 的解析式；（ 2）求 f m 的最值。考查方向： 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值， 体现了圆锥曲线

18、与代数间的科间综合。知识背景： 直线与圆锥曲线的交点， 韦达定理， 根的判别式， 利用单调性求函数的最值。易错分析： 在第（ 1）问中，要注意验证当 2m5时，直线与椭圆恒有交点。技巧方法：第（1）问中，若注意到 xA , xD 为一对相反数，则可迅速将ABCD 化简，第（ 2）问，利用函数的单调性求最值是常用方法。1a,b, c，则a2m b2m1，解：（ ）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为,c 2a 2b21 椭圆的焦点为 F11,0 , F2 1,0故直线的方程为yx 1 ，又椭圆的准线方程为xa2，即 xmc Am, m1 , D m, m1yx1x 21 2考虑方程组x 2y 2

19、，消去 y 得： m1m xm m11mm1用心爱心专心整理得：21x22mx220mm m4m24 2m 1 2m m28m m 1 2 2 m50恒成立，xBxC2m2m1又 A 、B 、 C、 D 都在直线 yx1上 AB xBxA2xBxA2 ，AB xBxA2 xBxA2CD2 ( xDxC )ABCD2 xBxAxDxC2 xBxCxAxD又 xAm, xDm x AxD0 AB CD xBxC212m22 2m 2m52m2m1故 f (m)2 2m ， m 2,52m1（ 2）由 f (m)22m ，可知 f (m)222m121m12121 f (m)10242又 2m5,2

20、93故 f (m) 的最大值为42 ，此时 m2, f (m) 的最小值为 102，此时 m=5。39【模拟试题】（答题时间： 80分钟）1. 函数 yax21的图象与直线y=x 相切，则 a 等于（）11C.1D. 1A.B.2842. 直线 y2 x 与椭圆x 2y 21 a b 0 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的2a 2b2两个焦点，则椭圆的离心率e 等于（）用心爱心专心A.3B.2C.3D.122323.以椭圆 x2y21 内的点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程是（）164A.4x y 3 0B.x 4 y 3 0C. 4x y 5 0D. x 4 y 5 04.过抛

21、物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ， B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（）A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有无穷多条D. 不存在5.设直线 l : 2xy20 关于原点对称的直线为l 。若 l与椭圆 x 2y21的交点为4A ， B 两点，点 P 为椭圆上的动点，则使PAB 的面积为1 的点 P 的个数为（）2A. 1B. 2C. 3D. 46.已知抛物线 yx 23 上存在关于直线xy0 对称的相异两点A ，B，则 AB 等于（）A. 3B. 4C.32D.427.过 M（ 2，0）的直线l 与椭圆 x22 y 22 交于 P1，P2 两点，线段 P

22、1P2 的中点为 P，设直线 l的斜率为 k1k10，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1 k 2 的值等于（）A. 2B. 2C.1D.1228.直线 ykx1与椭圆x 2y 2）41 相切，则 a, k 的取值范围是（aA.a0,1 , k1 , 1B.a(0,1, k1 , 12222C. a0,1 , k1 ,00, 1D.a(0,1, k1 , 122229. 斜率为 2 的直线过中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的范围是（）A.e2B. 1e3C. 1e5D.e5用心爱心专心10. 设 F1、F 分别是双曲线x 2y

23、21的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 F2a 2b21AF 2=90°，且 AF13 AF2 ，则双曲线的离心率为（）510C.15D.5A.B.22211. 如图， F1 和 F2 分别是双曲线x2y20,b0 的两个焦点，A和B是以O为a21 ab2圆心， 以 OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F2AB 是等边三角形， 则双曲线1的离心率为（）A. 3B. 5C.5D. 132x2y 21 a0,b0 的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直12. 已知双曲线b2a2线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2B.（ 1， 2）C. 2,)D.（ 2， +）13. 给定四条曲线：x 2y 25，