宏观经济学第9章作业答案

1、宏观经济学第9章作业答案雒庆举编共16页，第1页宏观经济学第9章作业答案雒庆举编宏观第九章作业答案1.1、考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现 在假定人口增长率下降。(a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均 消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。(b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响第1题：(a) 在没有技术进步的情况下，我们可以简化生产函数，即考虑只有劳动和资本 两种投入要素的情况，现在的生产函数可以简化为：丫(t)=FK(t),L(t)。同时假定 该生产函数规模

2、报酬不变。定义每个人平均产出y=Y/L,每个人平均资本k=K/ L,每个人平均消费c=C/L,则可求得此时的密集形式的效用函数：y=f(k).并且该 密集形式的生产函数满足：f(O)=O,f '(k)>0,f(k)<0, limk。f'(k)=y 1旧匕f'(k)= 0.根据K (t) = s Y(t) -(K(t)，我们可以求得此时的关键方程：(1) k =sf(k)-( n+ o)k假设经济在初始时处于平衡增长路径上，即满足 k* =sf(k*)-(n+ ®k*=0.此时,经济中的实际投资等于持平投资，两条线相交于 (k*,y*) 0在t

3、76;时刻，当人口增长率由n下降到nnew后，实际投资线不变，持平投资线 发生偏转，此时，k* =sf(k*)-(nnew+ ®k*>0,实际投资超过持平投资，每个人平均 资本开始增加。根据y=f(k),伴随k的开始增加，每个人平均产出y也开始上升 而c=(1-s)f(k)，所以，每个人平均消费也开始增加。在t1时刻之后，经济重新达到平 衡增长路径后，k*n ew =sf(k* new)-(n+ ®k* new =0,每个人实际投 资等处持平投资，两条线相交于 (k* new，y* new) o k* new、,y new、c new 均维持不变，且 k* new&g

4、t;k*,y* new>y*, c* new>c*.在to时刻到ti时刻之间，由于k >0，所以每个人平均资本逐步增长。而由于生 产函数固定，所以每个人平均产出伴随每个人平均资本的增加而增加，每个人 平均消费也将随之逐步增加。共16页，第2页宏观经济学第9章作业答案雒庆举编共16页，第#页宏观经济学第9章作业答案雒庆举编(b) 根据每个人平均产量与总产量的关系式：y=Y/L可得:Y /Y=y /y+ L /L在 to 时刻之前，y* /y=0, L /L=n,所以，丫 /Y=y* /y*+ L /L=n.在ti时刻之后，经济重新达到平衡增长路径后，k*new =sf(k* n

5、ew)-(n+ ®k* new =0, 每个人实际投资等处持平投资，两条线相交于(k* new，y* new)。k* new、工new、C* new 均维持不变 ，y* new / y* new =0, L /L=n new,. 所以，丫 /Y=y new y new + L /L=nnew<n在to时刻瞬间，劳动的增长率变 为L /L=n new，但资本的增长率 仍然维持不变，这时。总产出的增 长率会逐步往下调整。在to时刻到 ti时刻之间，资本的增长率会逐步 往下调整，而总产出的增长率也会 逐步下调，一直到ti时刻，总产出、 总资本、劳动力三者的增长率均达 到n new为止

6、。1.2、假定生产函数为柯布一道格拉斯函数。(a) 将k*、y*和c*表示为模型的参数s、n、X g和a的函数(b) k黄金律值是多少？(c) 为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？第2题：(a) 柯布一道格拉斯的生产函数形式为：(1) Y=K a(AL)1-a对(1)两边均除以AL ,定义y=Y/AL,k=K /AL,得到生产函数的密集形式：(2) y= ka对于密集形式的生产函数y=f(k)而言，关键方程为：k =sf(k)-(n+g+ ®k.将密集形式的柯布一道格拉斯生产函数代入，可得：(3) k =ska- (n+g+在平衡增长路径上，每单位有效劳动的平均实际投资等于每单

7、位有效劳动的平均持平投资，每单位有效劳动的平均资本(定义为k*)维持不变，每单位有效劳动的平均产出(定义为y*)维持不变。k* =0,所以根据(2)可得：sk* a= (n+g+ o)k*由此可以求得每单位有效劳动的平均投资 k* : k*= s/ ( n+g+ 別1 /(j)将(4)代入(2)中，则可以得到每单位有效劳动的平均产出:(5) y*= s/ ( n+g+ 和a/(1- a由于产出可以分为储蓄与消费两部分，经济中的总储蓄额等于总投资额，所以消费额等与产出减去投资。每单位有效劳动的平均消费(定义为C)可以表示为c=(1-s)f(k) 0在平衡增长路径上，将(5)代入，可得平衡增长路径

8、上的每单位有效 劳动的平均消费(定义为c*): c*= (1-s)s/( n+g+ 別 a(1- a(b) 我们定义黄金率为每个人有效劳动平均消费最大点，即?c* /?k=0,在平衡增长 路径上，每单位有效劳动平均消费额可用每单位有效劳动平均产出额与每单位 有效劳动平均持平投资额的差值得到。即c*=f(k *)-(n+g+ o) k *于是，?c*/?k=0 就可以转化为：f'(k*)= n+g+ 0.实际上,该式反映的是持平投资线与每单位有效劳 动平均产出切线的效率祥等.)将(2)代入，可得：Ok a-1= n+g+(T由上式可以求解出黄金率上的每单位有效劳动的平均资本：(7) k*

9、 gr = a/ (n+g+ 別 1 /(1-a)(c) 此时，由于黄金律的要求必须同时是在平衡增长路径上，所以可以根据(3)求 得黄金率上的储蓄率的表达式：(8) s= (n+g+ ® k*1-a将(8)代入(6)中，我们就可以得到黄金率上的每单位有效劳动平均消费额：(9) c*= 1-(n+g+ a) k*1- (n+g+ ® k* 1-a/( n+g+a(1-a由于我们已经求解出了黄金率上的每单位有效劳动的平均投资额，所以我们现在的工作就是将(7)代入(8)，就可以求的黄金率上所要求的储蓄率：s gr = (n+g+ o) k*GR 1-a=(n+g+ o) a/ (

10、n+g+ j1 (1- a 1-a简化即可以得到：(10) S gr = a这就是说，在柯布一道格拉斯的生产函数条件下，要使经济维持在黄金律的 平衡增长路径上，必须满足的条件是储蓄率等与资本的产出弹性。1.3、考虑不变替代弹性(CES)生产函数，丫=K( o1)/o +(AL)(o-1)/0 0(o1)，其中0< a vx且a#1 o ( o为资本和有效劳动之间的替代弹性。在of 1的特殊情况下, CES函数成为柯布一道格拉斯函数。)(a) 证明：该生产的函数为规模报酬不变的。(b) 求出该生产函数的密集形式。(c) 在什么条件下该密集形式满足f()>0, f (< 0?(d

11、) 在什么条件下该密集形式满足稻田条件？第3题：(a) 对于生产函数规模报酬情况的判断，我们通过讨论下式：F(cK,cL)二(cK)(o1)/o + (cAL)(o1) /o o/(o1) =c(o-1)/K( o1)/o +(AL)(o-1) /j| o/(o1) 简化可以得到：F(cK,cL) =c川討)八+ (AL)® 川 ff/( e=cF(K,L)所以生产函数为规模报酬不变的。(b) 对生产函数两边均除以AL :Y/AL= K("1)/ff +(AL)("(Z(ff'1)/AL= (K/AL)®1)宀 + 1取k=K/AL,y=Y/AL

12、=f(k)，则可以得到生产函数的密集形式:(1) f(k)=k(T/( + 1小刊(c) 对(1)式两边对k求导数：f'(k)= o/(1) k(-1)/(+ 1 (/(1)-1(1)/ ( k(1)/(1 简化可得：(2) f'(k)= k(-1)/(+ 11 /(1) k-1/(= 1+k(1-(/( 1 /(1) 由于k>0,所以存在f'(k)>0.对(2)式两边对k求导数，可得到：f (k)=1/(1) 1+k(1-(/ ( 1 /(1)-1(1- (/ ( k(1- (/ (1简化可得：(3) f(k)=-1/ ( 1+k1 /(1)-1 k(1-

13、1由于k>0存在f(k)<0.(d) 下面来讨论稻田条件是否成立：当 0>1 时，(1- (/(<0, 1/(1)>0,此时limk-0f '(k)= lima0 1+k(1-(/( 1/(-1)=xlimk f'(k)= limkT= 1+k(1- 1/(1)=1当(<1 时，(1- (/ d>0, 1/(1)<0,此时limk-of '(k)= limk-0 1+k(/( 1 /(-1)=1limk- = f'(k)= limk-乂1+k(1-(1(1)=0综合起来，可知：limk-0f z(k)=limk-0

14、 1+k(1-ff)/( 1 /(-1)=，当(>1 时；limk-f'(k)=limk-1+k(1-(/( 1/(1)=0，当(<1 时。所以稻田条件在这里不能得到满足1.4、若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。现在假定 工人数有一次性上升。(a) 在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为 什么？(b) 当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后， 每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？为 什么？(c) 一旦经济重新回到一平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、 低于还是等于

15、新工人出现前的水平？为什么？第4题：(a) 在to时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变 持平投资线。根据k=K/AL，to时刻，总资本K不发生变化，由于人口有一个跳升，所以 每单位有效劳动的平均资本水平k从k*下降到knew根据y=Y/AL，to时刻，总产量Y不发生变化，由于人口有一个跳升，所以 每单位有效劳动的平均产出水平y从y*下降到ynew(b) 在to时刻之后，新的knewVk*,此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平投 资，即: Sf(knew)>(g+ o)k，k>0。这时，经济中的储蓄投资额足以抵消折旧与技 术进步所需的资本额，每单位有效劳动

16、的平均资本额必然上升，即从knew朝着 k*增进。同时，伴随k的变化，每单位有效劳动的平均产出随之上升，即从ynew 朝着y*增进。(c) 当经济重新回到平均路径时，由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投 资线与工人数量一次性变化之前相比，均未发生变化，所以这时每单位有效劳 动的平均资本等于新工人出现前的水平，每单位有效劳动的平均产出等于新工 人出现前的水平。y*yynewy=f(k)(g+秋y=sf(k)knew1.5、求平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产量y*对人口增长率n的弹性。如 果aK(k*) = 1/3,g = 2%,s = 3%,则当n从2%降至1%时，y*上升多少？第5题：

17、对密集形式的生产函数y*=f(k*)两边对n求偏导数，可得：(1) ?y* / ?n=f'(k*)?k*/?n现在的主要问题是求出？ k*/?n。根据关键方程k =sf(k)-(n+g+秋,在平衡增长路径上，我们可以有k =0,即： sf(k*)=(n+g+o)k*。将该式两边对n求偏导数，可得：sf '(k*)? k*/?n =(n+g+ o) ? k*/?n+ k*对上式进行调整可得：(2) ? k*/?n= k*/sf '(k*)-(n+g+ 0将代入(1)可得：* . * * . *(3) ?y/?n=f (k )k /sf (k )-(n+g+ 0据此，我们可

18、以求得每单位有效劳动的平均产量y*对人口增长率n的弹性的 表达式:(4) (n/y)? y*/?n= nf '(k*) k*/f(k*)sf '(k*)-(n+g+ 0根据 sf(k*)=(n+g+ 0k*，可知:s=(n+g+ 0k*/f(k*),并令 aK(k*)= f '(k*) k*/f(k*)， 对式简化可得：(5) (n/y)?y*/?n=n/(n+g+ 0 aK(k*)/(aK(k*)-1)此时，将 aK(k*) = 1/3 , g = 2% , §= 3%，n =(2% +1%)/2=1.5% 代入，可求共16页，第7页宏观经济学第9章作业答案

19、雒庆举编得每单位有效劳动的平均产量y*对人口增长率n的弹性：(n/y)? y*/?n=-0.12于是，当n从2%降至1%时，每单位有效劳动的平均产量y*的变化率为(-50%)*(-0.12)=6%。注意：此题在计算中代入数据时，n的数据用的是劳动增长率前后的平均值, 这种算法所得到的结果应该比直接代劳动增长率变化前的数据或者变化后的数 据更为准确1.7、索洛模型中的要素收入。假定对资本和劳动均按其边际产品支付报酬, 用w表示？F(K, AL)/?L , r表示？F(K, AL)/?K。(a) 证明：劳动的边际产品w为Af(k) kf' (k)。(b) 证明：如果劳动和资本均按其边际产品

20、取得报酬，规模报酬不变意味着: 生产要素总收入等于总产量。即在规模报酬不变的情形下，wL + rK = F(K, AL)。(c) 卡尔多(1961年)列出的另外两个关于增长的特征事实是：资本报酬率r 近似不变；产量中分配向资本和劳动的比例也各自大致不变。处于平衡增长路 径上的索洛经济是否表现出这些性质？在平衡增长路径上，w和r的增长率是多 少？(d) 假定经济开始时，k v k*。随着k移向k* , w的增长率高于、低于 还是等于其在平衡增长路径上的增长率？对r来说，结果又是什么呢？第7题：(a) 定义 w=?F(K, AL)/?L 则根据 F( K, AL)=ALf(k),存在(1) w=?

21、F( K, AL)/?L =?ALf( k) /?L =Af(k)+ALf '(k)(K/A)(-1 /L2) = Af(k)-kf (k)这实际上就是劳动的边际产量(b) 定义 r=?F(K, AL)/?K,则根据 F( K , AL)=ALf( k),存在：(2) r = ?F(K , AL)/?K=?ALf( k)/?K=ALf z(k)(1/AL) =f'(k) 这就是资本的边际产量。这样，每种要素按边际产量取得报酬，即：工资 w = ?Y/?L = A f(k) - k f '(k)利润 r = ?Y/ ?K = f'(k)合并(1)(2)两式，可得：

22、(3) wL + Rk=AL f(k)- kf '(k)+K f'(k) =AL f(k) =F( K, AL)(c) wL + rK = Y 两边同时除以丫，得到：wL/Y + rK/丫 =1wL/Y劳动报酬占总产量的份额。rK/Y 资本报酬占总产量的份额。在平衡增长路径上，k, f(k)，f'(k)均保持不变，所以根据(1)，劳动报酬所占的 份额的增长率为：(4) (wL/Y) / (wL/Y)=w /w+ L /L- Y /Y= w /w + n -(n + g)w= A f(k) - k f z(k)w /w= A /A + f(k) - kf '(k)

23、 / f(k)- kf z(k)= A / A +f'(k)k - f'(k)k ' +kf(k)k / f(k) - kf z(k)=A / A - kf(k)k /f(k)-kf'(k)(1分)/在平衡增长路径上，k - =0w /w = A / A = gwL/Y / ( wL/Y) = w /w- g = 0劳动报酬所占的份额的增长率为0，意味着劳动报酬所占的份额不随时间变 动。wL/Y ' = 0同理，根据(2)可得：(5) (rK/Y) / (rK/Y)=r /r+K /K-Y /Y=r /r/ r = f '(k).r /r= f&

24、#39;(k)/f'(k)= f(k)k/f'(k)(1分)/在平衡增长路径上，k =0. r / r = f(k)k / f'(k) =0rK/Y / rK/Y = r / r = 0资本报酬所占的份额的增长率为0。资本报酬所占的份额的增长率为0，意味着资本报酬所占的份额不随时间变动。rK/Y - = 0结论：处于平衡增长路径上的索洛经济，体现出总产量中分配向资本和劳动 的份额各自不变的特征。(d) 在k v k*时，由于k>0,f'(k)>0,根据有：(6) w /w= A /A+ f(k) - k f '(k) / f(k) - k f

25、 '(k)=g+ -kf'(k)k / f(k)-kf'(k)>g即在经济开始时，k v k* , w的增长率高于其在平衡增长路径上的增长率。由于 k >0, f'(k)>0,f(k)<0，根据(2)可得:(7) r /r=f(k)k /f'(k)<0即在经济开始时，k v k*，r的增长率低于其在平衡增长路径上的增长率。1.9、哈罗德一多马模型。假定生产函数为里昂惕夫函数：Y(t) = minc k K(t)，cl e gt L(t)，其中 Ck、q 和 g 均为正。与索洛模型一 样，L ' (t) = n L(t

26、)，K ' (t) = s Y(t) - 5 K(t)。最后，假定 Ck K(0) = Cl L(0)。(a) 在什么条件下，对于所有t，有Ck K(t) = Cl e gt L(t) ?如果Ck、Cl、g、S、 3和n由不同因素决定，有无理由期望这一条件成立？(b) 如果Cl e gt L(t)的增长快于CKK(t)的增长(且如果将过剩劳动力算作失 业)，那么失业率随时间的变动将受到什么样的影响？(c) 如果CKK(t)的增长快于Cl e gt L(t)的增长(且如果将过剩资本算作未被 利用)，那么资本存量中被利用部分所占比例随时间的变动将受到什么影响？ 第9题： 在Ck K(t)

27、= Cl e gt L(t)时，有如下等式成立：(1) Y(t) =Ck K(t)=CL e gt L(t)根据 K (t) = s Y(t) -6K(t)，则有：(2) K (t)/ K(t)= Ck K(t) / c k K(t)= s Y(t) / K(t) - s Ck - 3 这一增长水平为实际增长率，或者说是有保证的增长率、满意的增长率。 另外，由于L (t) = n L(t)，存在：A(t)L(t)/A(t)L(t) =c l e gt L(t) /cl e gt L(t)=n+g这一增长水平为自然增长率要达到平衡增长路径，必须满足资本的增长率等于有效劳动的增长率，即/A(t)L

28、(t)K(t) / K(t)= A(t)L(t) 综合(2)(3),可得：(4) s ck -= n+g即:实际的增长率=自然的增长率=有保证的(满意的)增长率如果cK、g、s、S和n由不同因素决定，无理由期望这一条件成立。这实 际上是一种 刃峰”上的增长。(b)如果cl e gt L(t)的增长快于ck K(t)的增长,则此时的劳动力的需求为ck K(t) / cl e gt，。定义失业率为u,则u=1- c k K(t) / cl e gtL(t)。这样我们可以得 到：(5) 1-u/1-u= -u /1-u= c k K(t) /ck K(t)- c l e gtL(t) /cl e g

29、tL(t)由于5毬)/ck K(t)> cl e gtL(t) /cl e gtL(t)，并且 1-u>0，所以有 u >0。劳动失业率增加。或者也可以通过直接求u 来获得这一结果：du/dt=d 1 - ck K(t) / cl e gt L(t) /dt=- cl e gt L(t) CkK ' (t) - ck K(t) cl e gt ' L(t) /cl e gt L(t)2=-ClegtL(t)CK K (t) - Ck K(t) cl egtg L(t) + Cl egt L ' (t)/Cl egtL(t)2=-clegtL(t) ck

30、K ' (t) - ck K(t)g + n /cl egt L(t)2=-ckK - (t)- Ck K(t) g + n /Cl egt L(t)=-ck s Y(t)- 3 K(t) - K(t)(g + n) /cl egt L(t)=-Ck K(t) s Y(t) / K(t) - 3 - (g + n) /Cl egt L(t)=s Y(t)/ K(t) - 3 -(g+n) - ck K(t) /cl egt L(t)u - 1=(1 - u ) g + n - s Y(t)/K(t) + 3 如果 CK K(t) / CKK(t) v Cl e gt L(t) /Cl

31、e gt L(t)即：s Y(t)/ K(t)s v n+g/. du /dt > 0> u与t同方向变动，随着时间的推移，失业率会不断上升。(c) 如果CK K(t)的增长快于Cl e gt L(t)的增长，则此时的资本需求为Cl e gt L(t) / Ck。定义资本利用率为r,贝打=Cl e gt L(t) / CKK(t)。这样我们可以得到：(6) r /r = cl e gtL(t) /cl e gtL(t)- c k K(t) /ck K(t)<0即：r < 0资本的利用效率下降。或者也可以通过直接求r -来获得这一结果：dr/dt= cl e gt 

32、9; L(t)c k K(t) - cl e gt L(t)CK K ' (t)/ c k K(t)2= cl e gt g L(t)+ cl e gt L ' (t) Ck K(t) - Cl e gt L(t)CK K ' (t)/ ck K(t) 2 l e gt L(t)(g + n) ck K(t) - ck K (t) / c k K(t) 2(g + n)CK K(t) - Ck s 丫 (t) -s K(t) Cl 淨 L(t) / c k K(t) 2(g +n)- s Y(t)/ K(t) - S cl egt L(t)/ c k K(t)r=r g

33、 + n - s Y(t) / K(t) + S如果CK ' K(t) / Ck K(t) > Cl egt ' L(t) / Cl egt L(t)即：s Y(t)/ K(t) - S> n + g dr/dt v 0-r与t反方向变动，随着时间的推移，资本利用率会不断下降1.8、假定与1.7 一样，资本和劳动被付以其边际产品。另外，假定所有资本收入被储蓄，所有劳动收入被消费。这样，K ' (t) = ?F(K，AL)/?KK- SK(t)(a) 证明：这一经济收敛于一平衡增长路径。(b) 处于该平衡增长路径上的k是大于、小于还是等于k的黄金律水平？如何直

34、观地理解这一结果?第8题：(a)平衡增长路径的定义是模型中所涉及到的各经济变量均维持稳定的增长率水 平。尽管本题中所给出的模型与我们书中所谈到的标准的索罗模型有所区别， 但我们仍然可以采用索罗模型中的求解办法来考虑本题。即仍然通过考虑每单 位有效劳动平均资本(定义k=K/AL),则可以得到下式： k /k= K / K - L / L - A /A根据题意，有K (t) = ?F(K, AL)/?KK - 6K(t),另外劳动的增长率固定：L - /L=n ,技术的增长率固定：A /A= g,将上述三个式子代入 ，可得：(2) k /k= ?F( K, AL)/?K - S - n - g根据

35、上题可知，资本的边际产量为：?F(K, AL)/?K=f'(k),将其代入式， 可以得到：(3) k =(f'(k)-S- n- g)k与索罗模型的分析类似，在k =0时，即f'(k)-(決n+ g)k=0时，每单位有效劳 动的平均资本将固定为一常数。在 k =0时，我们得到k=0 (实际上，该点并不 稳定，所以我们忽略对这个点的讨论)以 及f'(k)=S+ n+ g (与索罗模型形似，我 们可以检验该点为一稳定点)。这样，我们可以定为处于平衡增长点上的每单位 有效劳动平均资本额是满足f '(k)= S+ n+ g的k,这里，我们定义满足该式的解为 k*

36、。由于密集形式的生产函数 y=f(k)满足f'(k)>0,f(k)<0,以及稻田条件：limo f'(k)=x, limk一f'(k)=O,所以 k*存在，并且唯一。在k*上,每单位有效劳动平均资本维持一个固定的常数，根据k=K/AL可 知，此时总资本的增长率 K /K = k /k + L /L + A /A=n+g ,即维持一个与 AL相同的固定增长率；由于我们假定生产函数是规模报酬不变的，而投入要素 K和AL都以n+g的固定增长率增长，所以在平衡增长路径上，产出必然也维持 n+g的固定增长率。到此为止，我们可以发现模型中所有的变量都维持固定的增 长率增

37、长，所以经济达到了一个平衡增长路径。现在，我们再来回头对两个潜在的平衡增长点的稳定性加以讨论。对k = (f '(k)- S- n- g)k等式两边对k分别求一阶导数：? k /?k= f'(k)- 5- n- g+kf (k)同时，根据 f'(k)>0,f(k)<0,以及稻田条件：limao f'(k)=x, limk"f'(k)=O,可以近似的得到k = (f '(k)- 5- n- g)k的曲线：对于k*=O ,当k>0时(假设还未达到下一个潜在均衡点),由于f '(k)>0,f(k)<0,

38、以及稻田条件：limk-0 f '(k)=x, limk-w f'(k)= 0,所以此时k >0, k会进一步上 升，所以k*=0并不是一个稳定增长点。对于满足f'(k)=5+ n+ g的k*来说，情况则正好相反。由于f'(k)>0,f (k)<0,以及 稻田条件：limk-0 f'(k)= , limk-wf'(k)=0 的存在，所以当 k<k*时，k >0, k 上 升；当k>k*时，k <0, k下降；当k=k*时，k =0, k不发生变化，所以此时的 k*为一稳定增长点。(b)黄金增长点的含义是每

39、单位有效劳动平均消费最大，即在黄金旅店上，满足 f'(k)= 5+ n+ g,在图上反映的是密集形式的生产函数的在该点切线的斜率与持平 投资的斜率相等。与(a)的结论对比可以发现，我们再上一问中所得到的平稳增 长点正好满足黄金旅点上的要求。实际上，在本模型中，我们的储蓄使资本在产出中的贡献(它等于资本与资 本的边际产出的乘积)，储蓄率是资本在产出中的贡献比率。当这一储蓄水平超 过持平投资时，k上升；当高于持平投资水平时，k下降。最终，k将会落在储 蓄水平与持平投资相等的地方，即f'(k)k=( 5+ n+ g)k，或者f '(k)= 5+ n+ g1.10、可持续增长问题。从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素(其 中土地和自然资源最受重视)的供给是有限的，最终必然将使经济增长停滞 下来。本题要求你在索洛模型的框架下探讨这一观点。设生产函数为：Y = Ka (AL)3 R1- “-卩,其中 R 为土地