不等式证明方法的探究毕业论文

1、分类号:编 号:毕业论文题目不等式证明方法的探究学 院姓名王志强专业数学与应用数学学 号29 1 0 1 0 1 36研究类型理论研究指导教师梁雪峰提交日期20 1 3. 03原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的 指导下独立进行研究所取得的成果学位论文中凡是引 用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已 明确注明出处除文中已经注明引用的内容外，不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年 月曰论文指导教师签名：不等式证明方法的探究王志强（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水,741000）摘要：等式是研究数学问题的重

2、要工具，它渗透在数学领域的各个部 分。有关证明不等式方法的探究一直缺乏系统的理论层面的提 升。木文以初等数学、高等数学为工具，从各个方面对不等式 的证明，提供了几种有效的方法，对现在数学教育中提倡的沟 通大学与中学的联系方面作了初步探索。关键词：不等式、数学归纳法、泰勒公式、中值定理%1. 不等式的概念：-1%1. 不等式的证明方法一 11 比较法：一 12.综合法：一23分析法：-34数学归纳法:-45. 反证法：-56. 换元法:一 67放缩法:-78利用单调函数法：-99利用微分中值定理：-910、利用不等式定理：-1011、利用泰勒公式：-1012、利用函数的极值法:-1113、中值定

3、理法:-1214 利用函数的凹凸性：-1215 利用定积分理论： -13小结:一 14参考文献：-15一.不等式的概念:用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式子叫做不等式。不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究.由于复数域没 有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数。（1）用符号或联结两个解析式所成的式子，称为不等式.（2）不等号或叫做严格不等号，2或w叫做非严格不等号（相 应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）.例如表示“ab或a"有一个成立，”因此1$0或1w1都是真的.另外， 日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即 “工二.不等式的证明方

4、法1.比较法：比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方 法.欲证（或ab）,可以直接将差式a-b与0比较大小；或者 a,ber-时，直接将商式与1比较大小.b在什么情况下用比较法较好呢？ 一般地，当移项后容易分解成因 式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结 构（或可化成乘积结构，虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积 结构）时，可考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也 可考虑用比较法.例1 设。"为不等的实数，求证a46a2b2+b4>4ah(a2-b2)证明因为a4 + 6a2b2 + 胪-4ab(a2 +b2) = (a2+b

5、2)2 -4ab(a2 + 戸)+ (lab)1(a2+b2-2ab)2 =(a-b)4 >o(ah)所以a46a2b2b4>4ab(a2+b2)2 综合法:综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、 函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式常利用 不等式的性质或借助于现成的不等式.因此，掌握的不等式越多，应 用这种方法就越方便.例2试证：若吐0,则有a(b2 +c2) + b(c2 +q2) + c(q2 +/?2)> 6abc证明:方法1因为(a-&)2>0,所以(a2+b2)>2ab. 乂c>0,所以c(a2+b2)

6、>2abc同理有a(h2 +c2) > 2ahc,b(c2 +tz2) > 2ahc由相同加法则，三式相加即得结论.方法2欲证不等式等价于/ 7、/ /1 b cc a (a一 + + + + + >6i c b j a c j b a j因为2 + £、2,£ +化2匸+竺2,三式相加，即得结论. c b a c b a说明:将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法.3 分析法:分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件(或充分必要条件)，直至归结到已知条件或已知成立的结论

7、为止.例3 已知n e n,n > 1 ,求证1-111 >1<111)1+-+ - + +> 卜+ + 一n +1< 352/1-1;n<242n丿证明 欲证不等式(1),只需证1 >1 1)>(h + 1)2/1-1;(242n jn 1+ + - +3 5式左边即n (1hn 213式右边即1 1|l 1亠丄 yi<1j1ll 1.亠ii24i fl2nn<2r 十42nn<1 11、_ +_ + _ + + 一2<2 42n )+ n <4 2nj比较与式，显然- + - + +' + + + 352

8、/1-146 2n可知要证(2)式成立，只需证> + + + (?)2242/1当“1时,(5)式成立;若归时,(5)式成立.贝!)仔+ 1时k + 1 kill11二 _ + _、_ + _ + + +22224 2k 2k+ 21 11 1= - + - + + 一 +2 42k 2伙+ 1)即(5)式成立，结论得证.应用分析法的基本思路是“要o成立，只要召成立即可；要3成 立，只要n成立”，一直追溯到已知条件或己知的不等式为止.用 形式符号表示出来，就是“ a”如果分析的每一步都是充分必要的，即“ aob”则更好.应该强调的是，分析的思想和分析的方法是研究一切问题的一个 基本方法.

9、无论是数学，自然科学，还是经济学或社会科学，多半是 以分析为先导.没有正确的分析，就不会有正确的综合.所以在数学 教育中培养学生分析问题的能力是有意义的.4 数学归纳法:数学归纳法是由皮亚诺公理派生出来的一个重要数学方法.它对 于等式或不等式的证明同样是有效的.主要用于与自然数有关的不 等式命题.例4求证对于任意的自然数，有13/52n-12 4 6 2n 丁2料 + 1证明方法1当n=l时,有y存不等式成立.假设丸时,不等式为真,那么当丸+1时，有1 3 5 2k-l 2£ + 11 2k + l 宓+ 1 . < 2 4 6 2k 2k + 2 j 2k +1 2k+ 2

10、2k + 2竝+ 112k+ 2j2r+3o j(2k + l)(2k + 3)v 2£ + 2 o (2k + l)(2k + 3)<(2k + 2)2末式成立，故原不等式对斤二k + 1成立.结论得证.方法2 构造数列记1 3 52h-1 ,2 4 6 2nd q "2 4 62"3 5 72 + 1显然 v仇（21,2,）12/7 + 1所以an <1v 2/i +1即得结论1 3 52/?-112,4'6，" 2n <v2n + l说明 这个不等式的左边有明显的特点，不等式右式成平方根的 形式.5 反证法:前面几种方法都

11、是直接证法，而反证法是一种间接证法，其中包 括归谬法和穷举法.反证法从否定所要证的结论入手，假设结论的否定为真，那么由 此所引出的结论与已知条件或已知公理、定理、定义域性质之一相矛 盾，或自相矛盾，因而结论的否定不成立，故原结论是真实的.当给 定不等式不便于用直接法证明时，或其口身是一种否定式命题时，可 考虑用反证法.例 5 设兀,且sin2 x4-sin2 y 4-sin2 z = 1 ,求证71x+ y + z> 2证明 假如x+y + 注彳(1)贝 u 有0 < x + y <-z< 2 2因为正弦函数在区间of上是增函数，所以< 2丿冗sin(x + y)

12、 < sin(z) = cos z(2)2(2)式两边均为正数，两边平方，有sin2 xcos2 y + sin2 ycos2 x + 2sin xcos y sin y cosx<cos z = l-snr z = sin x + sin y整理得sin xsin ycos(x + y) < 0(3)但是，rh式可知兀，儿x + yw 0,y ,表明(3)式不可能成立.乙)因此71x+ y + z> 26 换元法：换元法是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，化难为易，化未知为已知，或实现某种转化，达到证明的目的.（换元法有时称为变换法）例6设x+y

13、 + z",试证x2 + y2 + ?>-3证明 当“）匸"扌时，不等式中的等号成立.于是引进参数s，作变换：1x = + u31< v = + v“31z =u -v实际上这是平面x + y + 2 = 1的一个参数表示形式代入不等式的右端，得到( 、+ «2+<1 >+ v2+<1 )u-v（3丿<3丿<3)? 2 2 旷+ y +zu2 + v2 +(m + v)27 放缩法:放缩法又称传递法，它是根据不等式的传递性，将所求证的不等 式的一边适当地放大或缩小，使不等关系变得明朗化，从而证得不等 式成立.这是不等思维的

14、一个显著特征，其依据是实数集r的阿基米 德性质.放缩法的具体做法耍依据原不等式的结构来确定.例如，对于和 式，采用将某些项代之以较大（或较小）的数，以得到一个较大（或 较小）的和；或者用舍去一个或几个正项的办法，以得到较小的和.对于分式，则采取缩小（或放大）分母或者放大（或缩小）分了的办法 来增值（或减值）总之，放缩法使用的是不等量代换，这与换元法 使用等量代换有着明显的区别.例7设勺>0(i = l,2,),求证(q + a2y (d + 色 + °3 )(q + 血 + 3 +h any a证明左边va2+勺）(% + 勺 + a”_i)(°1 + e + + 4

15、】)p 1、+(11 匕山+。2丿2 +色q +。2 + a3 丿11 “+一绚+勺+暫丿1 1 1< % a +a? + + a” 说明 用放缩法证明不等式时，以卞式子很有用: zn 1111111 z(1)= < < =(h > 1)n n +1 n(n +1) n n(n 1) n 1 n(2) v n + 1 - vn = /-r= < -j= < r=/= y/n - n- (n > 1)q n + + q n21 nqn(3) < qn(n +1) < " * '> 1)/八 /:n + 1(4) <

16、; (n e n)n +1 + 28 利用单调函数法：当x属于某区间，有广m 0,则f 0单调上升；若广w0, 则f 3单调下降。推广之，若证fgwgcx),只须证f(a)=g(a)及f r 3wg、3即可，圧日,切。利用函数单调性来证明不等式时，往往 要引入适当的辅助函数将不等式问题转化成比较两个函数值的大小， 若要比较两个函数值大小，只要将不等式两边的不等式相减或相除就 可以得到所需的辅助函数；不能以广(方0而认为ax)<0,也就是说 不要忘了端点值。例8:证明：当x>1时,ex > ex证明：令f(x)= ex -ex f (x) = ex - e> 0(x &g

17、t; 1) 当x>1时,f(x)单调递增，即当x>1时f (x) >f (1) 所以，ex - ex > e-e 1 = 0 即 ex > ex(x > 1)9.利用微分中值定理：中值定理适合证明函数与自变量之间关系的不等式。若观察不等 式中出现f(x)、x在某区间上的函数值之差及f(x)的表达式，则微分中 值定理是我理想的选择。例9:若oyx及p1 则:pypx-y) <xp - yp < pxpl(x-y)证明：令f (t)= tp显然f (t)在y , x上满足拉格朗日中值定理贝i有：/_/(刃=厂(歹)y<<<x即兀一歹

18、因为：0 < y < x, p -1 > 0所以：故:pyijl (x - y) <xp-yp < pxp (x-y)10、利用不等式定理：如果题目所给出的不等式两端，是两个独立的函数，且没有剩余部分，则可考虑用这个方法。例 10:证明:对x/xho，有：/1 + x证明：设f(x) = ex , 4)(x) = 1 + x贝吐'(x)二 ex , © ' x 二 1且：f (0)二/二 1 , e (0)二 1 ,即 f (o)二 e(o)当x > o 时,f (x)e (x)，则f (x) >e(x),艮卩exy 1 +

19、x当 x 0 时,f (x)忙(x)，则f (x) <4)(x),即 ex > 1 + x于是，对who，均有/1 + x11>利用泰勒公式：若不等式屮出现了一般初等函数与幕函数之间的关系式，泰勒公式将是最有效的武器。例11:当兀2 0时，证明：x- x3 < sin x6证明：令于(兀)=sin兀一兀+丄兀3于(0)= 06/'(x) = cosx-l + -x2/'(0) = 0/''(x) = -sinx + x /''(0) = 0厂''(兀)=-c0sx4-1/ '(g = 1 - cos

20、当九=3吋，于的泰勒展式为：f (x) = 0 + 0 + 0 (1 cos x) %3 + 0 (兀')!=(l-cosx)-x3 4-0(x3)> 0(x>= ox,0<< 1)6 所以，x»0,有x x3 <sinx612、利用函数的极值法：令f 3在区间a,b 上连续，则f 3在区间血存在最大值力和 最小值/，那么：m w f (方w m o通过变换，把某些问题归纳为 求函数的极值，达到证明不等式的目的。例12：设0 w x w 1 ,证明：缶5対+(1 一力卩51,(>1)证明：令/(x) = x"+(l-pr,xg0,

21、l由 /'(%)= pxp - p(i-xy =o,得球的惟一驻点兀=舟，/(0) = /(1) = 1,门*) = #7，#7和1是/在0,1上的最小值和 最大值。所以占50+(17)上113、中值定理法：利用中值是理：fd)是在区间切上有定义的连续函数，且可 导，则存在e , a <l<b9满足/u) f) = mb -日)来证 明某些不等式，达到简便的目的。第一，要把不等式转化成函数形式, 第二，求导数这一环节至关重要，因为它起着由题设向结论转化的纽 带作用。例13：设 r(x)<o,f(o)二 0,证明对任何的 a>0, b>0,有 f(d+b)f(a) +f(b)(东北大学研究生入学试题)分析：因为f(x)可导，又f(0)=0,可以知道一定用拉格朗口中值定理。 证明：由拉格朗日中值定理有/(a) = /(tz)-/(0)=妙'(刍),0 < 刍 <af(a +b)- f(b) = afe2)9a <<a+b,不妨设avb,从而<s2fx) < 0,因为厂(兀)单调递减，所以厂(斫)> 厂血)，/(« + /?)-/(/?) v 妙'(斫)=f(a)所以对任何的a>0, b&g