实验探究：勾股定理的证明方法探究

1、实验探究：勾股定理的证明方法探究勾股定理乂叫毕氏定理，是初等儿何的著名定理之一：在一个直角 三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方z和.据考证，人类 对这条定理的认识，少说也超过4000年！古埃及人在4500年前建造金字 塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理.古巴比伦（公 元前1800到公元前1600年）的数学家也提出许多勾股数组.勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的 证明趋之若鸳，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓, 也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简 单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反

2、复被人论证1940 年出版过一木名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集 t 367种不同的证明方法.实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定 理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华衙芳就提供了二十多种 精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.下文选取部分较为精彩的证明 方法，供同学们参考.方法1：课本方法：直接在直介三角形三边上画正方形，如图.利用三个正方形面积z间的关系，从而得到直角三角形三边z间的关 系.基于完全可以接受的朴索观念，既直观又简单，任何人都看得懂.方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国 时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用

3、数形结合的 方法，给岀了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”屮，以弦为边长得到的正方形abde是由4个 相同的直介三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直介三和形 的面积为；中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a) 2.于是便可 得如下的式子：4x+ (b-a) 2二c2,化简后便可得：a2+b2二c2赵爽的 这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、害u、拼、补 來证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以 形证数、形数统一，代数和儿何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一 个典范.方法3：美国第十七任总统j-a 加菲尔德(1831-1888)在学

4、生时 代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年(当时他是众 议院议员，5年后当选为美国总统)，给出了勾股定理一个漂亮的证明，证 明的思路是利用等积思想，如下图.s 梯形 abcd= (a+b) 2二.又 s 梯形 abcd=saaed+saebc+saced=b = 比较以上两式，便得a2+b2=c2这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当 简洁.从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证 明如：欧几里得在他的几何原本中给出了勾股定理的推广定理：“直角 三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径 作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面 积和.”勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多 面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于 两直和边上所作两球表面积之和.勾股定理是一个基