合情推理与演绎推理题型整理总结

1、题型一用归纳推理发现规律例1:通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin215° sin2 75° sin2135° - ； sin2 30° sin2 90° sin21500 -；2 2.2°. 2°. 2°3. 2°. 2°. 2°3sin 45 sin 1°5 sin 165； sin 6° sin 12° sin 18°.2 2解析：猜想：sin2(6°°) sin2 sin2(6°

2、°) |证明：左边=(sin cos6°° cos sin6°°)2 sin2 (sin cos6°° cos sin6°°)2=3（sin2cos2 ） 3 =右边2 2（1）结构的一致性（2）观察角的“共注；注意观察四个式子的共同特征或规律 性”（1）先猜后证是一种常见题型（2） 归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二用类比推理猜想新的命题例2:已知正三角形内切圆的半径是高的类似的结论是.解析：原问题的解法为等面积法，即S1，把这个结论推广到空间

3、正四面体,31 1 12ah 3 1arr 3h，类比问题的解法应为等体积法,V 1Sh 4 1Sr331r -h即正四面体的内切球的半径是高4注：（1 ）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2 ）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3 ）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积; 面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。(4 )找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面 垂直，边相等对应面积相等题型三利用“三段论”进行推理例3某校对文明班的评选设计了 a,b,c

4、,d,e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样S a - 1来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若 b d e某班在自测过程中各项指标显示出 0 c d e b a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 (填入a,b,c,d ,e中的某个字母)解析：因a,b,c,d,e都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，0 c d e b a，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：从分式的性质中寻找S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过 思考才能得到1.下列说法正确的是()A.

5、类比推理是由特殊到一般的推理B. 演绎推理是特殊到一般的推理C. 归纳推理是个别到一般的推理D. 合情推理可以作为证明的步骤答案：C11 13.已知 ai 0 (i 1,2,L ,n)，考察下列式子：(i)a11 ; (ii)佝 a2)( _) 4 ;aa a2伸）佝a2 a3）（丄 丄 丄）9.我们可以归纳出，对印耳,L耳也成立的类似不 ai a2 a3等式为答案：（a a2 L an）（-丄 L 丄）n2ai a2an4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2类比到空间，有两个棱长均为a的正

6、方体，其中一个的某顶点在另一个的4中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .解析解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为5.已知 ABC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r （用S abc表示 ABC的面积），1则S abc -r（a b c）;类比这一结论有：若三棱锥A BCD的内切球半径为R，2则三棱锥体积Va BCD 1S ACD S BCD解析- R( S ABC S ABD36在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax By C 0,圆心在（x°,y°）的圆的一般方程为（x X。）2 （y y。）2 r2 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为,球

7、心在（x0, y0, z0）的球的一般方程为答案；Ax By Cz D 0; (x x°)2 (y y°)2 (z Z0)2 r27. （1 ）已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的 前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列 的公和.类比等差数列的定义给出“等和数列”的定（2 ） 已知数列an是等和数列，且a-2，公和为5，那么a-8的值为答案：（1 ）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那 么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）印83 ;8.对大于或等于2的自然数m的n次方幕有如下

8、分解方式:2 221 3313 523 3 533 7 9 11根据上述分解规律，则521 3 52413 5 74313 15 17 197 9 ,若m3(m N )的分解中最小的数是73，则m的值为答案：m 9(2014全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市;乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一个城市 .由此可判断乙去过的城市为 .1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。小王说：“我肯定考上重点大学。”小刘说：“重点大学我是考不上了。 ”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”发榜结果表

9、明，三人中考取重点大学、 一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：()(A) 小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学(B) 小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学(C) 小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学(D) 小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上ab3、给出下列三个命题：若 a b1,则；若正整数 m和n满足m n，1 a 1 bn则.m(n m) ?；设P(X1,yJ为圆O1 : x y9上任意一点，圆 O?以Q(a,b)为圆心且半径为1。当(a x1)2 (b y1)2 1时，圆O

10、<!与圆O2相切。其中假命题的个数是()(A) 0( B ) 1(C) 2( D) 3、填空题4、设函数f(x)2x 2利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f( 5) f (0) f (5) f 的值为.、选择题(1 )由推理知识，可知应选(C)(3) 由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选( B):、填空题(4) 分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算f(x) f(1 x):f(x)f(1 x)121 x 22x2 、22x2 Z2 2xf(x)f(1 x)12 2X发现f(x)f(1 x)正好是一个定值,2SS

11、 3 2.【典型例题】例1 :( 1 )迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根 据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是( )A.1643B. 1679C.1681D .1697答案：C。解析:观察可知：a 2 a2, a3a24,a4a36, anan12(n1),累加可得:anat2 42(n1) (n1)(22n 2)(n 1)nl)222an - 41,验证可知168

12、1符合此式，且 41 X 4仁16812 2(2 )下面给出了关于复数的四种类比推理： 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； 由向量a的性质| a| 2=a2类比得到复数z的性质| z| 2=z2；方程ax2 bx c 0 （a, b, c R）有两个不同实数根的条件是b2得到：方程az2 bz c 0 （a, b, c C）有两个不同复数根的条件是由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 其中类比错误的是A.B.C.D.答案：D 。解析：由复数的性质可知。（1）（ 2）（ 3）（ 4）（ A）A. B D, A D B. B D, A C C. B C, A D D.

13、C4ac 0可以类比b2 4ac 0 ；( )、(2)、(3)、(4)，那么()(B)D, A D答案：B 。例3 :在 ABC中，若/ C=90,AC=b,BC= a，则 ABC的外接圆的半径rb2把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,所以在空间中我们可以选取有 3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A BCD，且AB= a，AC= b，AD= c.则此三棱锥的外接球的半径是a2b2c2例4:请你把不等式“若 a1,a2是正实数，则有2 aia?2a2aiaia?”推广到一般情形，并证明你的结

14、论。答案:2 aia2an 12 naia22 ai证明：T ai , a2 , an都是正数a2a222q ,竺 ai 2a2ai推广的结论：若 a1, a2, an都是正数,2 2an i 2an i ，an aiai 2annan2222aa2ananaia2ana2a3an iai【课内练习】i .给定集合 A、B,定义 A B x|x m n, m An B，若 A=4,5,6,B=i,2,3, 则集合A B中的所有元素之和为（）A. i5 B.i4C.27D.-i4答案：A o 解析：A B i,2,3,4,5 , i+2+3+4+5 = i5。2 .观察式子：ii23,i1 i5

15、i _ A2 2 ,1 212i27 ，则可归纳出式子为（）22222 3232232424A、iiiiiiiiii22322 n2nB、1i22322 n2n iC、iiii2niiii2nc、 122322 nn、I22322 n2n i答案：C。解析：用n=2代入选项判断。3 .有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面 ，直线a 平面 ，直线b /平面，则直线b /直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线。4 古希腊数学家把数i,

16、3 , 6 , i0 , i5 , 2i ,叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列 an，则由a2 ai 2, a2 3,a4 a3 4,归5 数列an是正项等差数列，若 bnai 2a 2 3a 3nann，则数列bn也为等差数列类比上述结论，写出正项等比数列Cn,若dn=，则数列dn也为等比数列.1答案：（C| c； c；c：）123 n。6 .“ AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分。7 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件

17、首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六 边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝 构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数 量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有 颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为颗（结果用n表示）QOQ0O OOC c C 0 ODPQO° O °图1图2OD0 OOQ口OQn n 1 4n 1答案：66,。解析：利用归纳推理知。68 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的

18、一个直角三角形, 按图所标边长，由勾股定理有：c2 a2 b2.设想正方形换成正方体， 把截线换成如图的截面， 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥0 LMN，如果用S,S2,S3表示三个侧面面积， S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是.答案：s12 S； S； S：。2y29已知椭圆C:笃a1具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在,2 2 之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线 爲 爲 a b并记为Kpm、Kpn时，那么Kpm与Kpn1写出具有类似特性的性质，并加以证明。2 2答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质

19、：若 M、N是双曲线笃 爲1上关于a b原点对称的两点，点 P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 Kpm、Kpn时，那么Kpm与Kpn之积是与点P位置无关的定值。证明如下:2 2设 M (m,n),则N( m, n)，其中n2 1a2 b2设P(x,y)，由Kpmyn KPNy nXmx m22得KpmKpny nynynx mXmx2m2.2.2将y2b x22 X2 2 b , nb2m2b2代入得Kpm K PNaaa13579111315171910 .观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题:(I)求第六行的第一个数.(n)求第20行的第一个数.(川)求第20行的

20、所有数的和.答案：(I)第六行的第一个数为31n 1，第n行共有n个数，且这些数构成一个等差数(n)v第n行的最后一个数是 n22 2列，设第 n 行的第一个数是 an1 n n 1 an1 2(n 1)/. an1n n 1第20行的第一个数为3(川)第20行构成首项为381 ,公差为2的等差数列，且有 20个数20(20 1)设第20行的所有数的和为S20则S20381 202 80002【作业本】A组中，第25项为有口 21,所以第2 5项是7。2uuu2 如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FBuuuAB时,其离心率为51，此类椭圆被称2A.d2为“黄金椭圆”答案：A。解析:( )

21、ABF应用勾股定理，得注意到b2 c2AF2a ,eBF2 2 2AB ,即有(a c) (b2 2 2c ) (a b ),-,变形得e2ae 10,从而e<5 121 .在数列 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 ,A. 25 B. 6 C. 7 D . 8答案：C。解析：对于氏2卫中，当n=6时,2(A和/ B是两条平行直线的同旁内角，则/)A+3 .下面几种推理过程是演绎推理的是A、两条直线平行，同旁内角互补，如果/ B=180 °B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班

22、有52人，由此推测各班都 超过50人1D、在数列an中，日11,an 2 (an 11)(n2)，由此推出an的通项公式an 1答案：A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。4 .由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 答案：。解析：是大前提，是小前提，是结论。5 公比为4的等比数列 bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有 耳，卫°,卫°也成等比T10 T20 T30数列，且公比为4100 ；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则数列 也成等差数列，且公差为。答案：

23、S20 S10, S30 S20, S40 S30; 300。解析：采用解法类比。6 .二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数 就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数 6，按角谷的作法有：6十2=3 , 3 X 3+仁10 , 3 X 5+仁16 , 16十2=8 , 8-2=4 , 4 - 2=2 , 2 - 2=1，其过程简记为 6宀3宀10宀5宀16宀8宀2宀1。取自然数 7,则有 7宀22 t 11 t 34 t 17宀52宀26宀13宀40宀20宀10宀宀1。

24、取自然数 100，则 100 t50 t25 t76 t38 t 19 t58 t 29 t88 t44 t22 tt 1。 归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。7 圆的垂径定理有一个推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭2 2M是AB的中点，设OM与AB的斜率圆吗？设AB是椭圆 " b °)的任一弦,2a都存在，并设为 Kom、Kab，则Kom与Kab之间有何关系？并证明你的结论。X1 X2 2X0, yV2 2y0,匹 7X0 X1 X2即 K OM K AB =b2J，b，即 KomKab 工一 1答案：b2Kom Kab=。证明：设 Ag ,

25、y1), B(X2 , y2), M (x。，y。),axf y?TT T2 则a bx2适a2 b71EX2)(X1x2)(V1V2)(V1V2)=0b20OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。B组 1 .为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文t密文(加密),接收方由密文T明文(解密), 已知加密规则为：明文a,b,c, d对应密文a 2b,2b c,2c 3d,4d,例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16 .当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()A. 4,6,1,7B. 7,6,1,4C. 6,4,1,7D. 1,6,4,7a 2b14a62b c

26、9b4答案：C。解析：本题考查阅读获取信息能力，实则为解方程组，解得2c 3d23c14d 28d 7即解密得到的明文为6,4,1,7。2 .平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f (1)2,f (2)4, f(3)8，则f(n)的表达式为()A、2nB、n2 n 2 C、2n (n 1)(n 2)(n 3) D、n3 5n2 10n 4答案：B。解析：由 f(2)f(1)2, f (3)f(2)4, f(4) f (3)6,猜测 f(n 1) f(n) 2n，利用累加法，得 f (n) n2 n 2。f(设 f(x) 2x15) f( 4

27、)答案：C。解析:，利用课本中推导等差数列前“2n项和公式的方法，可求得f(0)f(5)f (6)的值为B、2 ,2C、3.2f(x) f(1x)”2。24 .考察下列一组不等式:3322 J25252 5,25423 52 53,255523 5222 53,将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广, 特例，则推广的不等式可以是 使以上的不等式成为推广不等式的答案：am n bm nambn anbm a,b 0,ab,m, n 0 (或 a,b 0, a b,m, n 为正整数)。解析：填2m n 5m n 2m5n2m5n 2n5m以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。5 如下

28、图，第(1 )个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2 )个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推 设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an ,则a6丄丄丄a3 a4a(1.答案：9730042 ；6 .指出下面推理中的大前提和小前提。(1)5与2 .2可以比较大小;(2)直线a, b,c,若a/b, cb,则a/ c。答案：(1 )大前提是实数可以比较大小，小前提是5与2 . 2是实数。(2)大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是a/b,c/b。7 已知函数y f(x)，对任意的两个不相等的实数为七，都有fWX2) f (xi) f(X2)成立,且 f(0)0，求 f( 2

29、006) f ( 2005) f (2005) f (2006)的值。答案：当 x10,x2 X 时,f (0 x) f (0) f(x)，由 f(0) 0, f (0)1, f (x) f(x) f(0) 1，从而可得： f ( 2006) f ( 2005) f (2005) f (2006)=f ( 2006) f (2006) f ( 2005) f (2005)f(0)f(0) f (0) f (0)1 写出ai, a2, a3,并推测an的表达式; (2)证明所得的结论。3答案：(1) ai =, a2 =2(2)由(1)已得当1猜测an = 2 -刁715,a3 =4n = 18

30、 .已知数列an满足Sn + an = 2n + 1,8时，命题成立；假设n = k时,命题成立，即1ak = 2 tt2当 n = k + 1 时,a1 + a2 + ak + ak +1 + ak +1 = 2(k + 1) +1,且 a 1 + a2 + ak = 2 k +1 ak2k +1 ak + 2 ak +1 = 2( k +1) + 1 = 2 k + 3,1 1 2 ak +1 = 2 + 2 , ak +1 = 2 k 1 , 即当 n = k + 1 时,命题成立.1根据得n N+, an= 2都成立2n、填空题1.如下图，对大于或等于 2的自然数m的n次幕进行如下方式

31、的“分裂”仿此，52的“分裂”零9113的“分裂”中最小的数是211 ,的值为2.下面给出三个类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)； "a,b R,若a b 0,则a b"类比推出"a,b C,若a b 0,则a b" "a,b,c,d R,若复数a bi c di,则a c,b d "类比推出"a,b,c,d Q ,若 a 、2b c . 2d,则a c, b d" "a,b R,若a b 0,则a b"类比推出"a,b C,若a b 0,则a b"其中

32、类比结论正确的序号是 (写出所有正确结论的序号)3.已知 f(n) -n1L-2，贝U f(n) 中n哄有项.4.设 f(x) (xa)(xb)(xc）（a,b,c是两两不等的常数）,则 af/(a)f/(b)值是二、选择题5. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于A.演绎推理B.类比推理C .合情推理D.归纳推理6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0,因为a是实数，所以a2 >0”，你认为这个推理（ ）A 大前题错误B小前题错误C 推理形式错误D是正确的7. 已知扇形的弧长为I，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：S -底高，可2得扇形的面积公式为（

33、）1 21 2 1A. r B. -IC. -rlD.不可类比22 28. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形9. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）图203A.25B. 66C.9111.设P11111log211log 311log 4A.0P 1B . 1P 2D. 120111，则()log 5C. 2 P 3 D. 3 P 413.计算机中常用的十六进制是逢 16进1的计数制，采用数字 0:9和字母A

34、: F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表:01234567十八进制十进制01234567十八进制89ABCDEF十进制89101112131415例如,用十八进制表示E D 1B,则 AB ()A.6EB .72C.5FD .B014.2设 a,b R, a2b26,则 ab的最小值是()A2 2B.5； 3C.3D. 732三、解答题115.已知 an2(n Nt) 记 f(n) (1 aj(1 a?)(1 a.)试通过计算(n 1)f(1), f(2), f (3)的值，推测出f(n)的值。16.是否存在常数 a,b,c,使得等式 1(n212)2(n222)Ln(n2n2)an4bn2c 对一切正整数n都成立？若存在，求出 a, b, c的值；若不存在，说明理由.17. 计算：彳1.1 22.2(n是正整数)1 2nn18. 设f(x) sin(2x)(0), f (x)图像的一条对称轴是 x -.8(a b)(a c)(b c)1 )求 的值；(2)求y f (x)的增区间； (3)证明直线5x 2y c 0与函一、填空题1. 9, 152.3. n2n 14