和差公式及倍角公式地运用

1、和差公式及倍角公式的运用一、和差公式sin( a ® sin acos (3 cos asin (3,cos(a 3)cos acos 3 sin asin 3tan( atan a tan 31 tan atan 3二、倍角公式2sin2 a 2cos2 a 1,sin 2 a 2sin acos a, cos2 a cos2 a Sin2 a 1 2ta n atan2a1 tan a三、应用类型（题型一）-给角求值例 1、求 sin 100osin( 160°) cos200°cos( 280°)的值.【解析】原式=(cos100 si n200

2、cos200 si n100)si n300cos600或原式二(sin 800 sin 200 cos200 cos800)例2、计算1 2 sin2 22.50的结果等于（）.1.273<3A .-B .C.D .2232【解析】12 0 02 sin 22.5 cos45、.22答案：B例3、已知sin a2 口z，贝U cos( n32a的值为（).A .B.-C .-45D .3993【解析】cos（n 2 aC0S2 a224(1 2sin a 2sin a 1 2 9 1答案：B例4、已知a为第三象限角,C0S a5，则tan2a【解析】T a为第三象限角，COS asin

3、 a1 cos2(453)2于是 tan a-COs a 3ta n2 a2ta n a1 tan2 a（4）2247例 5、求 sin 100 sin 300 sin 50° sin 70° 的值.sin 2 a2 COS a【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式解： Tsin2a 2sin aCOSa,.Sin a原式=0 0 0 sin 20?1 ? sin 100? sin1402cos100 ? 2 ' 2cos500 ? 2cos70°sin 200 肿 c sin800 sin 400 _ 1 =? ? ?0只002 sin802 2 sin

4、 402 sin 2016法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式解：原式二 cos800 ?丄?cos400 ?cos200= - cos200 cos400 cos8002 2= 1 2sin 200 ? cos20° cos40° cos80° = sin 40° cos40° cos80° =22sin20°=4sin 20°sin 80° cos80°08 si n20sin 160° = 10 一16si n2016或原式=cos80° ?cos40°

5、 ?cos20° =丄cos20° cos40° cos80°2 21?*2 2si n20°cos 400 cos80°0 01 cSin 80 cos80?厂8 sin 20°-1?sn 丄16 si n20°16提示： Tsi n2a 2si n acos a,cos asin 2 a0,因此cos 202 sin asin 4002sin 200 .法三：构造对偶式，列方程求解 令x sin100 sin 500sin 700, y cos100 cos500 cos700.则 xy sin 10°

6、; cos10° ?sin 50° cos50° ?sin 70° cos70°111=_sin200 ? sin 1000 ? sin 14002 2 211二一sin200 ?sin800 ?sin400 = sin800 ?sin4O0 ?sin2O0 88=2sin acos a sin 2 a, sin acos a sin 2 a cos100 cos500cos700= 1 y1sin 300 sin 50。sin 700 =168 81 °y 0，x -,从而有 sin 1008求下列各式的值(1).2 n sin 一

7、81(2) tan 12ta n12【解析】(1)原式=j(2sin1)12(1 2sin1 ncos2 4.2T ；1(2)原式二-2 ntan -12ntan 122 ntan 12n2tan121ntan6的二倍角，3 a是严的二倍角等;(2 )公式逆用：主要形式有si n2asin2a2sin a, cos a, cos2 cos a2sin a.2小 2ta n a .-a sin a cos2 a,2 tan 2 a.1 tan a【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点:(1 )对“二倍角”应该有广义的理解，女口： 4a是2a的二倍角，a是亍【变式训练】同步练习、求下列各式的

8、值(1) cos20° cos40° cos60° cos80° ; (cosn8.n,n.sin )(cos sin 88 8. ntan8.2冗tan -8(题型二)给值求值例 1、已知 sin(n x) 1 ,x (0,十,求一cos2x 的值.454cos(n x)【点拨】求匸x的范围 求cos(n x)的值利用cos2x sin(n 2x)求值，442nnnnn nn而 sin(2x) 2sin( x)cos(x)；cos(x) sin (x) sin( x).2444244【解析】：X©n，.4.n4nx (0,),42.6J5依题

9、意，nsin (4x)1 . ,n-cos(54x) 1sin2 (4x)又 cos2x冗冗冗12 64.6sin(22x)2sin(x)cos(x)442 -5525cos£ x)sinn2< nx) sin( fx) ?4.6.原式二单口155【题后感悟】(1 )从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题 途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的 角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题 设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)当遇到n x这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将4冗冗冗条件与结论沟通.

10、cos2xsin(2 2x) 2sinq x)cos(4 x).类似这样的变换还有:cos2xsin( f 2x)sin 2xcos(n 2x)x),2si n2(n x),4sin 2x2x)例2、已知叫2x) 3，x1 2cos2(n x)4sin2x(0,),求4si n( x)42sin2(n x)的值.1等等.【解析】sin 2x2x)1 2sin2( x) 1 2 (-)243冗x (Q?依题意，si n(nx)4n 9_5 2 n/.cos( x) . 1 sin ( x)44而 sin(n x)4sin2x)°。吩 x) 3原式15（题型三）化简例、化简下列各式: c

11、os100 (1、3tan1O0).22 cos 0 1cos70° 1 cos40022tan(0)sin (0)44【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式【解析】（1）原式二 0"0“ v3sin10、 cos10 (1丁)_cos10° sin20° ? . 2 cos 200cos100、2、3sin100 sin 40°2【解析】（2）原式=cos2 0n2sin( 4?cos2(40)cos2 0 cos2 0.1.sin(n 2 0)cos202_ 1.a、2(cos100、3sin100)2 2(尹s1°0 Tsin1

12、76;0)sin 40°sin4O02 2(sin30°cos100 cos300 sin10°)2、2sin4O0 0 0 2* 2. si n40sin 40提示：1、1 cos4002 cos2 200 ;2、还可以将1变为cos600,将3变为sin 60°,因此，分子变为cos500. 2【题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后 分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三 角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕.【变

13、式训练】化简:仃)3ta n120 3 sin 120(4cos2 1202)1 sin a cos a1 sin a cos a1 sin a cos a1 sin a cos a【解析】原式二 3si n1203cos12°2 si n120 (2cos21201)“3 si n120 3cos1202sin120 cos120 cos24°2 3(sin12020cos12 )sin 240 cos2404 3(sin30°sin120 cos30° cos120)sin 48°4204-3Sin048°40sin 48sin

14、482sin aa cos2 a2sin -aa2sin cos-2 cos2 -法-: 原式=2222 22法丿工J亠 aa小， aaa2si ncos2 cos2 一2sin cos2s in22222 22. aa.2 a2 asincos-sin -cos -2222 2a. a. aasinacossinsin 一 cos-2222法二：原式二（1sin acos a)2(1 sina cos 02 22(1 sin a 2 cos a(1 sin a cos a (1 sin a cos a)(1 sin a coS a4(1 sin a22 sin o(1sin a)sin a四

15、、万能公式（正、余弦的二倍角与正切的单角的关系）2 sin acos acos2 a sin22sin acos a2tan a .小2,即 si n2atan a11 tan2 a小2,即cos2 a1 tan a.2 2sin a cos a 12 . 2 cos a Sin a a _22sin a cos a2ta n atan2 a1 tan2 a1 tan2 a说明：这两个公式叫做“万能公式”，在是否记忆上不做硬性要求,但记住了 S2 a C2a与T2a之间的关系，就会使解题过程更简捷.五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系， 所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯

16、通,要有目的地活用公式.主要形式有:、1 sin 2 a sin2 a cos2 a. . 22sin acos a (sin a cos a ,sin、 sin2a 2sin acos acos asin 2 a2 cos asin 2 a2sin a、C0S2 acos 2a2 cos2 a 1,cos 2a12sin2 a,21cos 2 acosa221cos 2 asina2 . 2 cos a sin a2六、错例分析例、解不等式sin x cosx 10. 2【错解】vsinx cosx 1,两边平方，得(sin x cosx) 1, 二1 2sinxcosx 1, /.sin2x 0,/2k n 2x 2k n n(k Z),因此，kn x kn n(k Z). 即原不等式的解集为(kn,kn才),其中k Z.【正解】Tsinx cosx 1,两边平方，得sin