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文档简介

1、教学建议1教材分析(1 )知识结构(2)重点、难点分析重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证明.难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生容易混淆.2、教学建议本节内容需要三个课时. 第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2 .第2课时介绍切割线定理及其推论,做例 3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.(1) 教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;(2) 在教学中,引

2、导学生观察一一猜想一一证明一一应用”等学习,教师组织下,以学生 为主体开展教学活动.第1课时:相交弦定理教学目标:1. 理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算;2. 学会作两条已知线段的比例中项;3. 通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精 神;4. 通过推论的推导,向学生渗透由一般到特殊的思想方法.教学重点:正确理解相交弦定理及其推论.教学难点:在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证明中发生 错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程, 了解是哪两个三角形相似, 从而就可以 用对应边成比例的结

3、论直接写出定理.教学活动设计(一) 设置学习情境1、图形变换:(利用电脑使 AB与CD弦变动) 引导学生观察图形,发现规律:/A=Z D,/C=Z B. 进一步得出: APCDPB . 如果将图形做些变换,去掉AC和BD,图中线段 PA, PB, PC, PO之间的关系会发生变化吗?为什么?组织学生观察,并回答.2、证明:已知:弦 AB和CD交于O O内一点P.求证:PA-PB = PC-PD .(A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)(证明略)(二)定理及推论1、 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.结合图形让学生用 数学语言表达相交

4、弦定理:在O O中;弦AB , CD相交于点P,那么PA-PB =PC-PD.2、从一般到特殊,发现结论.对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互相垂直如图,AB是直径,并且AB丄CD于P.提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?指出:PC2= PA-PB.请学生用文字语言将这一结论叙述出来,如果叙述不完全、不准确教师纠正,并板书.推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.3、 深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点C向直径AB 作垂线,垂足是 P,则PC2= PA-PB .若再连结AC , BC,则在图中又出现了

5、射影定理的基本图形,于是有:PC2= PA-PB ; AC2= AP-AB ; CB2= BP-AB(三)应用、反思例1已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为 32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.例2已知:线段a, b.求作:线段c,使c2= ab.分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.作法:口述作法.反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.练习1如图,

6、AP = 2厘米,PB= 2 . 5厘米,CP= 1厘米,求CD .变式练习:若AP = 2厘米,PB= 2 . 5厘米,CP, DP的长度皆为整数. 那么CD的长度是 多 少?将条件隐化,增加难度,提高学生学习兴趣练习2如图,CD是O O的直径,AB丄CD,垂足为P, AP = 4厘米,PD= 2厘米.求PO的 长.练习3 如图:在O O中,P是弦AB上一点,0P丄PC, PC交O O于C. 求证:PC2= PA-PB引导学生分析:由AP-PB,联想到相交弦定理,于是想到延长 CP交O O于D,于是有PC-PD =PA-PB .又根据条件 OP丄PC.易 证得PC= PD问题得证.(四)小结

7、知识:相交弦定理及其推论;能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;思想方法:学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程 )的思想方法.(五)作业教材 P132中 9, 10; P134中 B 组4(1).第2课时切割线定理教学目标:1掌握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证明;2. 掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性 质的能力3. 能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.教学重点:理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.教学难点:定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.教学活

8、动设计(一)提出问题1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P,那么该点到割线与圆交点的四条线段 PA, PB, PC, PD的长之间有什么关系?(如图1)当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA, PB, PT之间又有什么关系?2、 猜想:引导学生猜想出图中三条线段PT, PA, PB间的关系为PT=PAPB .3、证明:让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证明猜想.分析:要证PT2=PA PB , 可以证明,为此可证以 PA PT为边的三角形与以 PT , BP为边 的三角形

9、相似,于是考虑作辅助线 TP, PB.(图3) 容易证明/ PTA= / B又/ P= / P,因此 BPTTPA,于是问题可证.4、引导学生用语言表达上述结论.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项.(二)切割线定理的推论1再提出问题:当 PB、PD为两条割线时,线段 PA, PB, PC, PD之间有什么关系?观察图4,提出猜想:PA-PB=PC PD.2、组织学生用多种方法证明:方法一:要证 PA-PB=PC PD,可证此可证以 PA, PC为边的三角形和以 PD, PB为边的三 角形相似,所以考虑作辅助线AC , BD ,容易证明/

10、PAC= / D , / P=Z P ,因此 PACPDB .(如图 4)方法二:要证,还可考虑证明以PA, PD为边的三角形和以 PC、PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线 AD、CB .容易证明/ B= / D,又/ P= / P. 因此 PADPCB .(如图 5)方法三:引导学生再次观察图 2,立即会发现.PT2=PAPB,同时pt2=pcpd,于是可以得 出 PA-PB=PC PD. PA-PB=PC PD推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等.(也叫做割线定理)(三)初步应用例1 已知:如图6, O O的割线PAB交O O于点A和B, P

11、A=6厘米,AB=8厘米,PO=10.9 厘米,求O O的半径.分析:由于PO既不是O O的切线也不是割线,故须将 PO延长交O O于D,构成了圆的一 条割线,而0D又恰好是O O的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.(解略)教师示范解题.例2 已知如图7,线段AB和O 0交于点C, D, AC = BD, AE , BF分别切O 0于点E, F,求证:AE = BF .分析:要证明的两条线段 AE , BF均与O 0相切,且从 A、B两点出发引的割线 ACD和 BDC在同一直线上,且 AC = BD , AD = BC .因此它们的积相等,问题得证.学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如AE2= AC-CD和BF2= BD-DC 巩固练习:P128练习1、2题(四)小结知识:切割线定理及推论;能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;方法:在证明切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注意很好地掌握.(五)作业 教材P132中,11、12题.探究活动最佳射门位置国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足蛎趴?.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置 (精确到I

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