山东大学管理学院线性代数42相似矩阵

1、一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念 定义定义4.24.2 设设A A、B B都是都是n n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P P，使得使得 P P1 1APAPB B我们称我们称A A与与B B相似。记为相似。记为“A AB B”；P P称为称为A A与与B B相似的变换矩阵。相似的变换矩阵。显然，相似矩阵有如下简单性质：显然，相似矩阵有如下简单性质：（）A AA A （只需取（只需取P PI I）（）如如A AB B，则必有，则必有B BA A证明：因为证明：因为A AB B，所以存在可逆矩阵，所以存在可逆矩阵P P，有，有 P P1 1APAPB B所以所以 A AP

2、BPPBP1 1 即即 A A(P(P1 1) )1 1 B(P B(P1 1) )即是即是 B BA A （）如如A AB B，B BC C，则必有，则必有A AC C。证明证明: : 因为因为A AB, BB, BC C，所以存在可逆矩阵，所以存在可逆矩阵P P1 1、P P2 2 P P1 11 1APAP1 1B B，P P2 21 1BPBP2 2C C所以有所以有 P P2 21 1（P P1 11 1APAP1 1）P P2 2C C即有即有 （P P1 1P P2 2）1 1A A（P P1 1P P2 2）C C所以所以 A AC C 二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质 n

3、 n阶矩阵阶矩阵A A与与B B如果相似，则它们会有许多共同之处。如果相似，则它们会有许多共同之处。 性质性质1 1. .如如A AB B，则，则A A与与B B有相同的特征值。有相同的特征值。 证明：证明：A AB B，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAPB B 所以所以 |I|IB|B|I|IP P1 1AP |AP | | P| P1 1（IIA A）P|P| | P| P1 1|I|IA | P|A | P| |I|IA |A | 即即A A与与B B的特征方程相同的特征方程相同, , A A与与B B有相同的特征值。有相同的特征值。 性质性质2 2. .如如

4、A AB B，则，则A A与与B B的秩相同。的秩相同。证明：证明：A AB B，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAPB (1)B (1)由于由于P P可逆，可设可逆，可设 P PT T1 1T T2 2T Ts s (T (Ti i为初等矩阵为初等矩阵) )代人（代人（1 1）得）得 （T T1 1T T2 2T Ts s）1 1A A（T T1 1T T2 2T Ts s）B B T Ts s-1-1T Ts-1s-1-1-1T T2 2 1 1T T1 1-1-1A A（T T1 1T T2 2T Ts s）B B即即A A经过经过2s2s次初等变换可变成次初等

5、变换可变成B B，所以必有，所以必有 秩秩A A秩秩B B 性质性质3 3. .如如A AB B，则，则AABB证明：证明：A AB B，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAPB B所以有所以有 BBP P1 1APAP| P| P1 1|A| |P|A| |P|A| |A| 性质性质4 4. .如如A AB B，则，则A A与与B B的奇异性相同（利用性质的奇异性相同（利用性质3 3可得此结可得此结论）论）例例1. 1. 已知三阶矩阵已知三阶矩阵A A与与B B相似，相似，A A的特征值为的特征值为1 1、2 2、3 3，求矩，求矩阵阵B B2 22B2B的特征值。的

6、特征值。解：解：A A与与B B相似，则相似，则B B的特征值也为的特征值也为 1 1、2 2、3 3由上节例由上节例3 3知知 B B2 2 - 2B - 2B 的特征值为的特征值为 1 1、0 0、3 3。 例例2.2.设设n n阶矩阵阶矩阵A A与与B B相似，证明相似，证明A A2 2-A-A与与B B2 2-B-B相似。相似。证明：证明：A A与与B B相似。则存在可逆矩阵相似。则存在可逆矩阵P P，有，有 P P-1-1APAPB B所以所以 B B2 2(P(P-1-1AP)(PAP)(P-1-1AP)AP)P P-1-1A A2 2P P可得可得 P P1 1 (A(A2 2

7、A ) P A ) PP P1 1A A2 2P PP P1 1APAPB B2 2B B因此可得因此可得 A A2 2 A A 与与 B B2 2 B B 相似。相似。一一. .判定定理判定定理.n.n阶矩阵阶矩阵A A与对角矩阵相似的充分必要条件是与对角矩阵相似的充分必要条件是A A有有n n个线性无关的特征向量。（记个线性无关的特征向量。（记P P为为A A的特征向量组成的矩的特征向量组成的矩阵，对角矩阵阵，对角矩阵是由是由P P的列对应的特征值组成的对角矩阵，的列对应的特征值组成的对角矩阵，则有则有P P1 1APAP，即，即A A）. .证明：（证明：（i i）必要性必要性如果如果A

8、 A与对角矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵相似，则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAP 可得可得 APAPP P 设设 P P(X(X1 1X X2 2X Xn n) ) 其中其中,X,Xi i为为P P的第的第i i列列, ,由于由于P P可逆，显然可逆，显然X X1 1X X2 2X Xn n线性无关。线性无关。 下证下证X Xi i为特征向量为特征向量n21再设又又 AP = A (XAP = A (X1 1X X2 2X Xn n) = ) = （AXAX1 1 AX AX2 2 AXAXn n）由由AP = PAP = P得：（得：（AXAX1 1 AX AX2 2 AXA

9、Xn n）= =（1 1X X1 1 2 2X X2 2 n nX Xn n）进而可得：进而可得：AXAXi i = = i iX Xi i ( i = 1,2, ( i = 1,2, , n), n)所以所以X X1 1X X2 2X Xn n是是A A的的n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 12121122,nnnnPXXXXXX (ii)(ii)充分性充分性设设A A有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量X X1 1X X2 2X Xn n，它们依次对应的，它们依次对应的特征值分别为特征值分别为1 12 2n n，则有则有AXAXi ii iX Xi i 令令

10、 P P (X(X1 1X X2 2X Xn n) ) n21则可得则可得 AP = A (XAP = A (X1 1X X2 2X Xn n) = ) = （AXAX1 1 AX AX2 2 AXAXn n） PP（1 1X X1 1 2 2X X2 2 n nX Xn n） APAPPP P P1 1APAP 即是即是 A A 证毕证毕. .可以得到求与可以得到求与A A相似的相似的对角矩阵对角矩阵，以及相似，以及相似变换矩阵变换矩阵 P P 的的步骤：步骤： 第一步：由第一步：由IIAA0 0求出特征值。求出特征值。 第二步：对于每个第二步：对于每个，解方程组，解方程组(I(IA)XA)

11、X0 0求出基础求出基础解系，最后得到解系，最后得到n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量X X1 1X X2 2X Xn n。n21n21 )x,x,(xP必有必有 P P 1 1AP = AP = 第三步：得到第三步：得到例例.矩阵矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵P及对角矩阵及对角矩阵，使，使P1AP。解解:460350361A2460350(1) (2)0361IA因此特征值因此特征值112-2当当1时方程组（时方程组（IA）X0为为121212360360360 xxxxxx其基础解系为其基础解系为:12020 ,110 12121236603303630 xxxxxxx其基础解系为其

12、基础解系为:3111当当2时，方程组（时，方程组（A）X0为为211101110120P有有P1AP0)4()2(3121301122AI因此特征值因此特征值1224当当2时方程组时方程组(IA)X0为为020000321321321xxxxxxxxx例例:矩阵矩阵312130112A判定定理判定定理2 2.n.n阶矩阵阶矩阵A A与对角矩阵相似的充要条件是对于每与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个一个n ni i重特征值重特征值i i有有n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。（即（即（i iI IA A）X X0 0的基础解系有的基础解系有n ni i个）个） 其基础解系为其基础

13、解系为:1111v所以矩阵所以矩阵A不与对角矩阵相似不与对角矩阵相似.例例.已知已知 能对角化能对角化,求求An(n 1).14022011xA解解:先求先求A的特征方程的特征方程2)2)(1)(1 (14022011)det(xIA) 1)(1 ()(1 () 22)(1 (22由此可见由此可见A A有三个特征值有三个特征值, , 1 1=0, =0, 2 2= =3 3=1. =1. 因为因为A A能够对角能够对角化化, , 必须对应于重根必须对应于重根2 2= =3 3=1=1有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量, , 对于特征值对于特征值= 1= 1时（时（A A）Y Y0

14、 0为为040202212121xyyyyyy对其系数矩阵作行初等变换对其系数矩阵作行初等变换,0000200120200000122) 1(04012012323121xrrxrrrrx可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系,就必须就必须有两个自由变量有两个自由变量,y3已经是一个自由变量已经是一个自由变量,因此需要因此需要y2也是自由变也是自由变量量,这就要求上面矩阵的第二行全为零这就要求上面矩阵的第二行全为零,即即x+2=0,得得x=-2124022011A此时此时0000100011ATT这时候这时候, , A A能对角化能对角

15、化, , 所以存在方阵所以存在方阵 T T 使使 上式两边同时左乘上式两边同时左乘T 及右乘及右乘T-1可得可得1TTA000010001000010001nn又124022011)(111ATTTTTTAnnn设有矩阵设有矩阵.300120011A问矩阵问矩阵A是否可对角化是否可对角化,若能若能,试求可逆试求可逆矩阵矩阵P 和对角矩阵和对角矩阵 ,使使P-1AP= .使使P-1AP= 成立的成立的 P、 是否唯一，是否唯一，举例说明举例说明.300120011A|E|),3)(2)(1(矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为,0)(xEA当当11时时,解方程组解方程组, 0200110010

16、321xxx即即所以所以A的三个特征值分别为的三个特征值分别为:.321321,解之得基础解系为解之得基础解系为,0011p所以所以1p是对应于是对应于11的特征向量的特征向量.,0200110010321xxx,0)2(xEA当当22时时,解方程组解方程组, 0100100011321xxx即即解之得基础解系为解之得基础解系为,0112p所以所以2p是对应于是对应于22的特征向量的特征向量.,0100100011321 xxx,0)3(xEA当当33时时,解方程组解方程组,0000110012321xxx即即,2213p所以所以3p是对应于是对应于33的特征向量的特征向量.,00001100

17、12321xxx解之得基础解系为解之得基础解系为200210111)(321,p,ppP因为因为221011001321p,p,p线性无关线性无关即三阶矩阵即三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量,所以所以令令则则.2/1001102/1111P矩阵矩阵A 可对角化可对角化.此时此时,321且有且有P-1AP= .使使P-1AP = 成立的成立的P、 不唯一不唯一.如如若取若取020120111)(231,p,ppP则则.1102/1002/1111P此时此时,231亦有亦有P-1AP= .判定下列矩阵是否相似于对角矩阵判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,100010211(1

18、)A若相似若相似,则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵P,使使P-1AP是对角矩阵是对角矩阵.314020112)2(A,1321矩阵矩阵A是个对角线上的元素相同的上是个对角线上的元素相同的上三角矩阵三角矩阵,注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征值都是其对角线上的元素值都是其对角线上的元素,所以此题所以此题A 的特征值为的特征值为使使A=P-1 P,但是但是 P-1 P = P-1EP = E就应有就应有A = E,这显然不对这显然不对,所以说所以说A不相似于对不相似于对则则A 不相似于对角矩阵不相似于对角矩阵,因为如果因为如果A相似于对角相似于对角矩阵矩阵 ,则则

19、 就是单位矩阵就是单位矩阵,且应有可逆矩阵且应有可逆矩阵P,角矩阵角矩阵.先求特征值，先求特征值，A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为的特征值为,21321,再求特征向量再求特征向量,)2)(1(2314020112A|E|当当11时，解方程组时，解方程组,0)(xEA即即0414030111321xxx得对应于得对应于11的特征向量为的特征向量为,1011p当当232时，解方程组时，解方程组,0)2(xEA即即0114000114321xxx得对应于得对应于232的特征向量为的特征向量为,40104121p,p令令,401040111)(321pppP则则P 可逆，且有可逆，且有.22

20、11APP因为因为3阶矩阵阶矩阵A找到了找到了3个线性无关的特个线性无关的特征向量，所以方阵征向量，所以方阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵.设设0011100yxA相似于对角矩阵相似于对角矩阵,求求x与与y应满足的条件应满足的条件.先求特征值先求特征值,A的特征多项式为的特征多项式为01110yxE|A所以所以A 的特征值为的特征值为,11321,A 相似于对角矩阵的充分必要条件是相似于对角矩阵的充分必要条件是,A有三个有三个, ) 1() 1(2线性无关的特征向量线性无关的特征向量,1010101yxEA行变换行变换00000101yx所以所以x、y应满足的条件为应满足的条件为:特征向量特征

21、向量.的秩为的秩为1,下面把矩阵下面把矩阵化为行最简形化为行最简形.EA 1.)( EAREA .yx01应能找到两个线性无关的应能找到两个线性无关的即即A的二重特征值的二重特征值这时就要求矩阵这时就要求矩阵即即设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为,321321对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为,p,p,p931421111321求求A和和A100.因因3阶方阵阶方阵A的三个特征值互不相的三个特征值互不相,3211APP则则A=P P-1.等等,所以所以A可对角化可对角化,即存在可逆方阵即存在可逆方阵P,使使令令941321111)(321,p,ppP则则21231143212531

22、/P且且P-1AP= 所以所以21231143212533219413211111/PPA6116100010因为因为A = P P-1，所以所以A100=P 100P-1,2123114321253321941321111100100100/A.2/322/ 12/322/ 532332/322/ 12/322/ 532332/322/ 12/322/ 53233102102103104102102101101102103101101100100101102100100二二. .约当标准形简介约当标准形简介 1.1.约当块约当块: :约当块的特点是主对角线都为约当块的特点是主对角线都为,次对角线都为