高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用

1、高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用高考要求函数的连续性是新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中， 必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系重难点归纳1 深刻理解函数 f(x)在 x0 处连续的概念等式 lim f(x)= f(x0)的涵义是x x0(1)f(x0)在 x=x0 处有定义，即f(x0)存在；(2) lim f(x)存在，这里隐含着 f(x)在点 x=x0 附近有定义；x x0(3)f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值，即 lim f(x)= f(x0)函数 f(x)在 x0 处

2、连续，x x0反映在图像上是f(x)的图像在点x=x0 处是不间断的2 函数 f(x)在点 x0 不连续，就是 f(x) 的图像在点 x=x0 处是间断的其情形(1)limf(x)存在； f(x0)存在，但 lim f(x) f(x0);xx0xx0(2)limf(x)存在，但 f(x0)不存在(3) lim f(x)不存在xx0x x03由连续函数的定义， 可以得到计算函数极限的一种方法如果函数 f ( x) 在其定义区间内是连续的， 点 x0 是定义区间内的一点，那么求 xx0 时函数 f ( x) 的极限，只要求出 f ( x)在点 x0 处的函数值 f ( x0) 就可以了，即 lim

3、f ( x)= f ( x0)x x0典型题例示范讲解x24例 1 已知函数 f(x)=,x2(1)求 f(x)的定义域，并作出函数的图像；(2)求 f(x)的不连续点 x0;(3)对 f(x)补充定义，使其是 R 上的连续函数命题意图函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法知识依托本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像错解分析第 (3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解应明确知道第 (3)问是求的分数函数解析式技巧与方法对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答解

4、(1)当 x+2 0 时，有 x 2因此，函数的定义域是( , 2) ( 2,+)2当 x 2 时， f(x)= x4=x2,x2其图像如上图(2)由定义域知，函数f(x)的不连续点是x0= 2(3)因为当 x 2 时， f(x)=x 2,所以 limf ( x)lim( x 2) = 4x2x2x242)因此，将 f(x)的表达式改写为 f(x)= x( x24( x2)则函数 f(x)在 R 上是连续函数例2求证方程 x=asinx+b(a0,b 0)至少有一个正根，且它不大于a+b命题意图要判定方程 f(x)=0 是否有实根即判定对应的连续函数y=f(x)的图像是否与x 轴有交点，因此根

5、据连续函数的性质，只要找到图像上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在 x 轴下方即可本题主要考查这种解题方法知识依托解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正错解分析因为本题为超越方程， 因而考生最易想到画图像观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明设 f(x)=asinx+b x,则 f(0)= b 0,f( a+b)=a· sin(a+b)+b (a+b)=a sin(a+b) 1 0,又 f(x) 在(0,a+b内是连续函数， 所以存在一个 x0 (0,a+b，使 f(x0)=0, 即 x0 是方程 f( x)=0的根，也就是方程x=a·

6、; sinx+b 的根因此，方程x=asinx+b 至少存在一个正根，且它不大于a+b3( x1)例 3已知函数 f( x)=x( x 1)( 1x1)log 2 ( x1)(1x5)(1)讨论 f(x)在点 x= 1,0,1 处的连续性；(2)求 f( x)的连续区间解(1)lim f(x)=3,lim f(x)= 1,所以 lim f(x)不存在，x1x 1x1所以 f(x)在 x= 1 处不连续，但 lim f(x)= f( 1)= 1, limf(x) f( 1),x1x 1所以 f(x)在 x= 1 处右连续，左不连续limf(x)=3= f(1),lim f( x)不存在，所以 l

7、im f(x)不存在，x 1x1x 1所以 f(x)在 x=1 不连续，但左连续，右不连续又 lim f(x)= f(0)=0, 所以 f(x)在 x=0 处连续x0(2)f(x)中，区间 ( , 1), 1,1,(1,5上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点 x=± 1 外，再也无不连续点，所以 f ( x) 的连续区间是 ( , 1), 1,1 和 (1,5学生巩固练习1x1 在点 x=0 处连续，则f(0) 等于 ()1 若 f(x)= 3 1x1A32C 1D 02B3x0x12设 f(x)=1x1则 f(x) 的连续区间为 ()211x2A(0， 2)B(0， 1

8、)C(0， 1)(1， 2)D (1， 2)3x2ln( 2x )lim=_x 14arctan x11xx0 处处连续，则a 的值为 _4若 f(x)=xabxx012 x1( x0)5已知函数 f(x)=12 x11( x0)(1) f(x)在 x=0 处是否连续？说明理由；(2)讨论 f(x)在闭区间 1,0和 0,1上的连续性11x ( x 0)6 已知 f(x)=xabx( x0)(1)求 f( x);(2)求常数 a 的值，使 f(x)在区间 ( ,+ )内处处连续7 求证任何一个实系数一元三次方程 a0x3+a1x2+a2x+a3=0( a0,a1,a2,a3 R,a0 0) 至

9、少有一个实数根x( x1)8 求函数 f( x)=1 ) ( x的不连续点和连续区间log 2 ( x1)2参考答案1 解析( 1x 1)( 1 x 1) 3 (1 x) 23 1 x1f ( x)x 1) 3 (1 x) 2 3 1 x1 3 x 1(11(3 1 x) 23 1 x11x 1f (0)1113112答案A2解析limf (x)lim 11x 1x1limf ( x)limx 1, limf ( x)11 f (1)x 1x 1x12即 f(x) 在 x=1 点不连续，显知 f(x)在 (0,1)和 (1,2) 连续答案 C3 解析利用函数的连续性，即limf ( x) f

10、(x0 ) ,x x0limx2sin( 2 x)12sin( 21)14 arctan14 arctan1x 1答案14.解析 : limf ( x)11x11limxlim2x 0x 0x 0 11 xlimf (x) lim (abx)0,1ax0x02答案12110)5解f(x)=1( x2 x11( x0)(1)limf(x)= 1,lim f(x)=1,所以 lim f(x)不存在，x01x0x0故 f(x) 在 x=0 处不连续(2)f(x)在 ( ,+ )上除 x=0 外，再无间断点，由 (1)知 f(x)在 x=0 处右连续，所以 f(x)在 1，0上是不连续函数，在0,1上是连续函数1x1( x0)6 解 (1) f( x)=xabx( x0)(2)要使 f(x)在 ( ,+ )内处处连续，只要f( x)在 x=0 连续，limf( x)=11x= limx11limxx(11lim2x 0x0x 0x ) x 0 1 1 xlimf( x)= lim(a+bx)=a,x 0x 0因为要 f(x)在 x=0 处连续，只要 limf(x)= lim f(x)=lim1f(x)=f(0),所以 a=x 0x0x 027 证明设 f(x)= a0x3+a1x2