高中理科数学空间向量方法总结(家教专用)

1、优秀学习资料欢迎下载平面法向量与立体几何引言 ：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法 ,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。 开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道 12 分的立体几何题将会变得更加轻松。2、平面法向量的求法方法一( 内积法) : 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,

2、 y,1) 或 n(x,1, z)，或 n(1,y, z) ，在平面内任找两个不共线的向量a,b。由 n，得n a0 且n b0，由此得到关于x, y 的方程组，解此方程组即可得到n 。二、平面法向量的应用1、 求空间角(1) 、求线面角：如图4-1，设 n 是平面的法向量， AB是平面的一条斜线，A，则 AB与平面所成的角为：如图 41中 :n , ABarccosn AB.22n AB| n |AB| cosn , AB|sin如图 41中 :n , ABarccosnAB| n | | AB |22| n |AB|例 3、 在例 2 中，求直线 AA1 与平面 ACD 1 所成的角。解析

3、：由例 2 知，n(1,1,1)，AA1(0,0,1) ，AA1n13 ，即csinar3sinAA1n333(2) 、求面面角 :设向量 m ， n 分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：m, narccosm n（图 5-1）;m, nm n(图 5-2)arccos| m | | n | m | | n |BmnnBnnCm CAA图 4-1图 4-2图 5-1图 5-2优秀学习资料欢迎下载两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 5-1中，m的方向对平面而言向外， n 的方向对平面而言向内；在图 5-2 中， m 的方向对平面而言向内， n

4、的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。例 4、 在例 2 中，求二面角 D1ACD 的大小。解：由例 2 知，平面 ACD1 的法向量是 n1 (1,1,1)，平面 DAC 的法向量是 n2(0,0,1) ，设二面角 D1ACD 的大小为，则Bbn1n2(1,1,1) (0,0,1)3 ，得arccos3nacosn233。n132、 求空间距离图 6（ 1）、异面直线之间距离 :A方法指导 ：如图 6, 作直线 a、b 的方向向量 a 、 b ，求 a、b 的

5、法向量 n ，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量；B在直线 a、b 上各取一点 A、B，作向量 AB ；nAO求向量 AB 在 n 上的射影 d，则异面直线 a、b 间的距离为图 7| AB n |, 其中 n a, n b, A a, B bd| n |（ 2）、点到平面的距离:方法指导 ：如图 7,若点 B 为平面 外一点，点 A 为平面 内任一点，平面的法向量为n ，则点AB nAB nP 到平面 的距离公式为： dAB cosABnnAB n0AB例 5、 在例 2 中，求点 A1 到平面 ACD1 的距离。解析：由例 2 的解答知，平面ACD 1 的单位法向量 n0( 3 ,3

6、,3 ) ，333优秀学习资料欢迎下载又 AA1(0,0,1) ，设点 A1 到平面 ACD1 的距离为 d ，则d AA1n0(0,0,1) (3 ,3 ,3 )3。所以，点 A1到平面 ACD1 的距离为3 。3333nBa3（ 3）、直线与平面间的距离:方法指导 ：如图 8,直线 a 与平面之间的距离：AAB na 。 n 是平面图 8d，其中 A, B的法向量| n |（ 4）、平面与平面间的距离:n方法指导 ：如图 9,两平行平面,之间的距离：B| ABn |, B。 n 是平面、Ad，其中 A的法向量。图 9| n |m3、 证明aa（ 1）、证明线面垂直：在图10 中 , m 向

7、是平面的法向量， a 是直线 a图 10a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma ）。am（ 2）、证明线面平行：在图11 中 , m 向是平面的法向量，a 是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直图 11（ m a0）。（ 3）、证明面面垂直：在图12 中， m 是平面的法向量，nn 是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（m n0 ）m（ 4）、证明面面平行：在图13 中,m 向是平面的法向量，n 是平面mn ）。图 12的法向量，证明两平面的法向量共线（三、利用法向量解20XX年高考立体几何试题n例 6、（湖南理第 17 题）如图 14 所示，四棱锥 P-

8、ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD 60°，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD ，PA 2. （）证明：平面PBE平面 PAB;（）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.解：如图所示， 以 A 为原点， 建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是m图 13A（ 0，0，0），B（ 1，优秀学习资料欢迎下载0，0）， C(3 ,3 ,0), D(1,3 ,0), P（0， 0， 2）, E (1,3 ,0).22222（）因为 BE3,0) 平面 PAB 的一个法向量是 n0(0,1,0) ，(0,2所以 BE和n0共线 .从而 BE平面

9、 PAB .又因为 BE平面 PBE，故平面 PBE平面 PAB .()易知 PB(1,0,2), BE(0,3 ，0），2PA (0,0,2), AD( 1 ,3 ,0)22设 n1( x1 , y1, z1 ) 是平面 PBE的一个法向量，则由n1PB0,n1BE得：0x10y12z10,0 x3 y0z0.所以 y10, x12 z1 .故可取 n1(2,0,1 ).1222设 n2(x2 , y2 , z2 ) 是平面 PAD的一个法向量，则由n2PA0,n2得：AD00x20y22z2 0,1 x23 y20z20.所以 z2 0, x23y2. 故可取 n2 ( 3, 1,0).2

10、2于是， cosn1 , n2n1n22315 .n1n2525故平面和平面所成二面角（锐角）的大小是15PADPBEarccos.5点评 ：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都能解决问题例 7、（全国卷理科第 19 题 )如图 14，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中， AA12AB 4，点 ECC1C1E3ECACBEDz在上且（）证明：平面；D1C11A1 DEB 的大小A1B1（）求二面角解：以 D 为坐标原点，射线DA 为 x 轴的正半轴，EDCyA优秀学习资料欢迎下载建立如图所示直角坐标系Dxyz 依题设， B(2，2，0

11、)， C (0，2，0)， E(0，2，1)， A1(2，0，4) DE (0，2，1)，DB (2，2，0)， AC( 2，2， 4)，DA(2，0，4) 11（）因为10，10，AC DBAC DE故A1CBD，A1CDE又DBDE D，所以AC平面DBE1（）设向量n(x， y， z) 是平面 DA1E 的法向量，则n DE ， nDA1 故 2 y z 0， 2x 4z 0 令 y1，则 z2 ， x4 ，n(4，1， 2) n，AC1等于二面角 A1 DEB 的平面角， cos n，AC1n A1C14 n A1C42所以二面角 A1DEB 的大小为 arccos 14 42点评 ：

12、本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例 9（安徽卷理第18 题）如图16，在四棱锥OABCD 中，底面 ABCD 四边长为1 的菱形，ABC,OA底面 ABCD , OA2,M 为 OA的中点， N 为BC的中点4（）证明：直线MN 平面 OCD；（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。解：作 APCD 于点 P,如图 16,分别以 AB,AP,AO 所在直线为x, y, z 轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0), P(0,2 ,0), D(2 ,2 ,0), O (0,0, 2), M (0

13、, 0,1), N (12 ,2,0),22244(1) MN(12 ,2 ,1),OP(0,2 ,2), OD(2 ,2, 2)44222设平面 OCD 的法向量为 n ( x, y, z) ,则 n OP 0, n OD022z0y即2取 z2 ,解得 n(0, 4,2)zO2 x2 y 2z 022M优秀学习资料欢迎下载 MN n(12, 2, 1)(0,4,2)044MN 平面 OCD(2) 设 AB 与 MD 所成的角为, AB(1,0,0), MD(2 ,2 ,1)22c o sAB MD1, AB 与 MD 所成角的大小为ABMD2,33(3)设点B到平面OCD的交流为d ,d为

14、OB在向量n (0, 4, 2)上的投影的绝对值,则由OB(1,0,2),得dOBn2所以点B到平面OCD的距离为2n3.3点评 ：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，异面直线所成的角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何的能力。四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1) 、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （ 2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以

15、及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（ 3）、把向量的运算结果“翻译 ”成相应的几何意义。 （回到图形问题）五、总结：以上介绍了平面的法向量及其二种求法，我们教材上只介绍了用数量积（内积法）求法向量，而并没有介绍用向量积（外积法）求法向量，希望大家注意灵活应用，我们以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。空间向量与立体几何一 利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦： 1 平行与垂直是空间关系中最重要

16、的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。优秀学习资料欢迎下载2 题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接： 1 空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2 空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例 1：（ 2010·安徽高考理科·18）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， EF AB， EFFB ， AB2EF ，BFC90 ， BFFC ，

17、 H 为 BC的中点。(1) 求证： FH 平面 EDB ；(2) 求证： AC 平面 EDB ；(3) 求二面角 B DE C 的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】四边形为正方形，ABBC,又EF FB, EF / AB, AB FB,且BC FB，ABCDBAB平面 FBC,ABFH ,又BFFC,H为中点，FHBC,BC且ABBCB,FH平面 ABC.如图，以 H 为坐标原点，分别以 HB、GH、HF的方向为x轴、

18、y轴、 z轴的正方向建立坐标系，ZEFD令 BH1,则 A(1, 2,0), B(1,0,0), C ( 1,0,0), D ( 1, 2,0), E(0,1,1),F (0,0,1).G(1)H设 AC与 BD的交点为 G，连接 GE、 GH,则 G（ 0,-1,0 ）， GE (0,0,1), 又 HF (0,0,1), GE/ HFABXGE平面 EDB,HF平面 EDB,HF / 平面 EDBAC( 2,2,0),GE(0,0,1),ACGE0, ACGE(2).又ACBD,且GEBD=G， AC平面 EBD.(3)优秀学习资料欢迎下载设平面 BDE的法向量为 n1(1, y1, z1

19、 ),BE( 1,1,1),BD(2,2,0).BE n101y1z101， z10,由BD n1,即2 2 y1，得 y100n1（1， 1,0）设平面 CDE的法向量为 n2(1,y2 , z2 ),CD(0,2,0), CE(1,1,1).由CD n20y20，得 y20， z21,CE n2, 即y2z2010n2（，）1 0,-1cos n1 , n2n1n211| n1 |n2 |2 2,2n1 , n260 ,即二面角 B-DE-C为60 。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定

20、二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。二：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦： 1 线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2 在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接： 1 利用空间向量求两异面直线所成的角, 直线与平面所成的角的方法及公式为:（ 1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（ 2）线面角优秀学习资料欢迎下载设是直线 l 的方向向量，n 是平面的法向量，则2

21、运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（ 1）建立恰当的空间直角坐标。 （ 2）求出相关 点的坐标。（ 3）写出向量坐标。 （ 4）结合公式进行论证、计算。 （ 5）转化为几何结论。【方法技巧】（ 1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。（ 2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。（ 3）线面角的范围是 0° 90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。三：利用空间向量求二面角考情聚焦： 1 二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接： 求二面角最常用的办

22、法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小， 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，【高考真题探究】rrr1. （ 2010 ·广东高考理科·0）若向量 a =（ 1,1,x） ,b =(1,2,1),c =(1,1,1), 满足条件rrr(ca) (2b) =-2, 则 x =.【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算出 ca 、 2b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.【规范解答】 c a (0,0,1x) ， 2brr

23、r2(2 , 4 , 2) ，由 (ca) (2b)得 (0,0,1x) (2, 4,2)2，即 2(1x)2 ，解得 x2.【答案】 23. （ 2010 ·陕西高考理科·P ABCDABCD8）如图，在四棱锥中，底面是优秀学习资料欢迎下载矩形 PA平面 ABCD， AP=AB=2， BC= 22 ，E， F 分别是 AD, PC的中点 .（）证明： PC平面 BEF；（）求平面BEF与平面 BAP夹角的大小。【规范解答】解法一（）如图，以 A为坐标原点， AB， AD， AP 所在的直线分别为x， y， z轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2， BC=22 ，四边形

24、ABCD是矩形 . A， B， C， D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22 ,0) ， D(0， 22 ， 0) ，P(0,0,2)又 E， F 分别是 AD， PC的中点， E(0 ，2， 0),F(1， 2， 1). PC =（2， 2 2，-2） BF =（-1， 2 ，1） EF=（ 1,0,1）， PC · BF =-2+4-2=0 ， PC · EF =2+0-2=0 ， PC BF ， PC EF ， PC BF,PC EF, BFEFF, PC平面 BEF（ II）由（I）知平面 BEF的 法 向 量 n1PC(2,22,2),平面

25、BAP的法向量n2AD (0,2 2,0), n1 n2 8,设平面 BEF与平面 BAP的夹角为，则 coscos n1, n2n1n282 ,n1n24 22 2 450 ， 平面 BEF与平面 BAP的夹角为 4506. （ 2010 ·四川高考理科· 18）已知正方体ABCDA B C D 的棱长为1，点 M 是棱 AA 的中点，点O 是对角线 BD 的中点 .（）求证：OM 为异面直线AA 和 BD 的公垂线；（）求二面角MBCB 的大小；（）求三棱锥MOBC 的体积 .【命题立意 】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考

26、查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.【思路点拨 】方 法一：几何法问题（），分别证明OMAA ，OMBD即可 .问题（II）首先利用三垂线定理，作出二面角MBCB的平面角，然后通过平面角所在的优秀学习资料欢迎下载直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.问题（）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC 和OA D都在平面BCD A内，且 SOBCSOA D，故 VM OBCVM OADVO MA D ，利用三棱锥的体积公式很快求出VO MAD.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.【规范解答 】 ( 方法一 ) ：（I ）连结 AC . 取 AC 的中点 K ，则 K 为 BD 的中点，连结OK .点 M 是棱 AA 的中点， 点 O 是 BD 的中点，由 AAAK ，得 OMAA . AKBD,AKBB ， AK平面BDD B . AKBD .OM BD .又 OM 与异面直线AA 和 BD 都相交，故 OM 为异面直线 AA 和BD 的公垂线，（ II ）取 BB 的中点 N ，连结 MN ，则 MN平面BCC B ，过点过点 N作NHBC 于 H ，连结 MH ，则由三垂线定理得， BCMH . MHN 为二面