高中数学不等式经典方法总结

1、优秀学习资料欢迎下载一 元 二次不等式：一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数x2(3a2 )x2a10轴表示）例 1、已知关于xylog2( ax2 ax 1)的不等式在 (2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围例 2关于 x 的不等式对所有实数 xR 都成立，求 a 的取值范围 .例 3、若关于 x 的不等式 x 2axa0 的解集为 (, ) ，则实数 a 的取值范围是_；若关于 x 的不等式 x 2axa3的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是_。（-4,0）,62,几个重要不等式（1）若 aR,则 | a | 0,a20（2）若 a、bR ,则a2b22ab(或 a

2、2b22 | ab |2ab) （当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么aba b . （当仅当 a=b 时取等号）一正、二定、三相等 .2(4) 若 a、 b、 cR , 则 abc3 abc （当仅当a=b=c 时取等号）3(5) 若 ab 0,则b2 （当仅当 a=b 时取等号）aab(6) a 0时，|x |ax2a2x a 或 xa;| x | ax2a2a x a（7）若 a、bR,则 | a | | b | | a b | | a | | b |常用不等式（1） a22b2a2bab121 (根据目标不等式左右的运算结构选用 )；ab优秀学习资料欢迎下载（2

3、）a、b、c R， a2b2c2abbcca （当且仅当 abc 时，取等号）；（3）若 a b 0, m0 ，则 bb m （糖水的浓度问题） 。如aam如果正数 a 、 b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是 _（答： 9,）常用不等式的放缩法 ： 11111111(n 2)nnn(n1) n 2n(n 1)n1n111nn 1(n1)利用函数的单调 n 1 nn 12nnnn 1性简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意

4、奇穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。如（ 1）解不等式 ( x 1)( x 2) 20。（答： x | x1 或 x2 ）；（2）不等式( x23 0的解集是（答： x | x 3 或 x 1）；2) x 2x_（3）设函数 f ( x) 、 g( x) 的定义域都是 R，且 f ( x) 0的解集为 x |1x 2 ， g( x) 0 的解集为，则不等式 f ( x) g ( x)0 的解集为 _（答： ( ,1) 2, ) ）；（4）要使满足关于 x 的不等式 2x29x a 0（解集非空）的每一个 x 的值至少满足不等式 x24x 3 0和

5、 x26x 8 0中的一个，则实数 a 的取值范围是 _. （答： 7, 81) ）8分式不等式的解法 ：先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式5x1（答： ( 1,1) (2,3)）；22xx3（2）关于 x 的不等式 axb 0 的解集为 (1,) ，则关于 x 的不等式 axb0 的解x2集为 _（答： ( ,1)(2, ) ）.绝对值不等式的解法 ：（1）分段讨论法（ 最后结果应取各段的并集 ）：如 x 1x 2 a 在 xR 上有解 ,则 a

6、 的取优秀学习资料欢迎下载值范围是（,3 ）（2）利用绝对值的定义；xa(a0)axa ，xa( a0)xa或xa（3）数形结合； 如解不等式 | x | x1|3 （答： (,1)(2,) ）（4）两边平方：如若不等式 | 3x2 | | 2xa |对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _。（答： 4）3含参不等式的解法 ：求解通法是 “定义域为前提， 函数增减性为基础， 分类讨论是关键”注意解完之后要写上： “综上，原不等式的解集是” 。 注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集 .如（ 1）若 log21，则 a 的取值范围是（答： a1 或

7、0 a2 ）；a_33（ 2）解不等式 ax2 x(a R) ax 1（答： a 0 时， x | x0 ； a 0 时， x | x1或 x 0 ； a 0 时， x | 1x 0 或 x 0 ）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 (,1) ，则不等式 x20 的解集为 _（答：（ 1,2）axb含绝对值不等式的性质：a、b 同号或有 0a、b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ；| ab | |

8、a | b | a | b | | ab | .如设 f (x)x2x13 ，实数 a 满足 | xa | 1 ，求证： | f (x)f ( a) |2(| a |1)不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和 “分离变量法” 转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x min 若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x maxAB优秀学习资料欢迎下载如（ 1）设实数 x, y 满足

9、 x2( y1)21，当x y c0时， c 的取值范围是（答：_21,）；（2）不等式 x4x 3a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围（答：a 1 ）；（3）若不等式2x1(21)对满足m2的所有 m 都成立，则 x 的取值范围（答：m x_（7 1 ,3 1）；22（4）若不等式 (1) n a2( 1)n 1对于任意正整数n 恒成立，则实数 a 的取值范围是n_（答： 2, 3 ) ）；2（5）若不等式 x22mx2m10 对0 x1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 （答：.m1 ）22). 能成立问题若在区间 D 上存在实数 x 使不等式若在区间 D 上存在实数

10、 x 使不等式f xA 成立 , 则等价于在区间D 上 fx maxA ；f xB 成立 , 则等价于在区间D 上的 fx minB . 如已知不等式 x4x3a 在实数集 R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围 _（答： a1 ）两个重要函数 ：| x | x 1|3函数 y=x+ 1x练习：、已若 x1，求 23x4的最小值已知 x 5 ，求函数 y=4x-2+1的最大值1x144x 52、知 x, yR 且 191 ，则 xy 的最小值是 _若 x 2y1，则 2x4y 的最小xy值是 _3、知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题：<1>若 ab0，bc ad0 ，则

11、cd0 ；<2>若 ab0， cd0 ，则 bc ad 0cdabab<3>若 bc，则 ab0 其中正确命题是（）ad 0，0ab优秀学习资料欢迎下载( x1) 241)f ( x)1( xx4.求函数的最小值 .5、求证： 11112x(1 x) 2 12x(1 x)(1 x)1(2) 342232n222327二元一次不等式组与简单线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域：直线 l: ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分：（ 1）直线 l 上的点（ x,y）的坐标满足 ax+by+c=0（ 2）直线 l 一侧的平面区域内的点（ x,y）的坐标都满足

12、 ax+by+c>0（ 3）直线 l 另一侧的平面区域内的点（ x,y）的坐标满足 ax+by+c<0所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0 , y0）,从 a0x+b0y+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。2.线性规划： 如果两个变量 x,y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为 目标函数 ，称一次不等式组为 约束条件 ，像这样的问题叫作二 元线性规划问题 。其中，满足约束条件的解 (x,y) 称为可行解，由所有可行解组成的集合称为 可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解 。3.

13、线性规划问题应用题的求解步骤： （1）先写出决策变量， 找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的可行域；（3）确定最优解例题分析：x0例 1若 A 为不等式组y0表示的平面区域，则当a 从 2 连续变化到1 时，动直线yx2x y a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ()A 3B1C7D5442xy20例 2.如果点 P 在平面区域 xy20 上，点 O 在曲线 x 2( y 2) 21 上，2 y10优秀学习资料欢迎下载那么 | PQ |的 最小值为（）(A) 3(B) 41(C) 22 1(D)2125xy30例 3、已知实数 x, y 满足 x2 y50 ，则 y2x 的最大值是 _.x 0y 01、点 P（x，y）在直线 4x + 3y = 0 上，且满足 14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是（）A. 0 ，5B. 0，10 C. 5，10 D. 5，15xy2 0，y