高中数学论文集导数在三次函数中的应用

1、导数在三次函数中的应用新课程的高考增加了导数的内容， 随着课改的不断深入， 导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。 三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体， 三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法， 近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体， 通过研究其图象性质， 从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。 本人结合教学实践， 就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。一、关于三次函数的切线问题函数 yf ( x) 在 点 x0 处 的 导数 的 几何 意义 ，就 是曲 线 yf (

2、x) 在点P( x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率。也就是说，曲线yf ( x) 在点 P(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ，相应的，切线的方程为yy0f ' ( x0 )( xx0 )例 1：已知曲线 S : yx33x 21，过原点作 S 的切线，求切线方程。误解： y'3x 26x ，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率ky' / x 00 ，所以所求的切线方程为y0分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线 S 上，所以本题应该先设切点， 再求斜率，最后

3、求出切线方程。正解：设切点为 (x0 , x033x021) ，则切线的斜率 k3x026x0所以切线方程为：y(3321)(326x0)(x x0)x0x0x0因为原点在切线上，得到 (x01)2(2x01)0所以 x0 1或 x012所以所求的切线方程为y3x或 y15 x4例 2：已知曲线 S : yx33x2 ，求过原点 O（ 0， 0）的切线方程。误解： y'3x 26x ，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率ky' / x 00 ，所以所求的切线方程为y0分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念： “点 O 处的切线” 与“过点 O的切线”。

4、“点 O处切线的斜率” 等于该点的导数值，而“过点 O 的切线”则仅表明，切线是经过点 O 的，但直线未必在点 O 处与曲线相切，“过点 O的切线的斜率不一定是该点的导数值，所以本题也应该先设切点，在求斜率，最后求出切线方程。正解：设切点为 (x0 , x033x02 ) ，则切线的斜率 k3x026x0所以切线方程为：y(332 )(326x0)(x x0)x0x0x0因为原点在切线上，得到 x02 (2x03)0所以 x0 0 或 x032所以所求的切线方程为 y 0或 y9 x4二、关于三次函数的单调性问题设三 次函 数 f ( x) 的导函 数 f '(x)ax2bxc(a 0

5、, a,b,c 为常数） ，b24ac 。若0 ，则当 a0时， f ' ( x)0 ， f ( x) 在 R 上为单调递增函数； 当 a0时， f ' (x) 0 ，f ( x) 在 R 上为单调递减函数。若0 ，则当 a0时， f ' ( x)0 ， f ( x) 在 R 上为单调递增函数； 当 a0时， f ' (x) 0 ， f ( x) 在 R 上为单调递减函数。若0 ，设 f ' ( x)0 的两根分别为 x1 和 x2，x1x2 ，则当 a 0 时， f ' ( x)在 (, x1 ) ， ( x2 ,) 上为正，在 ( x1 ,

6、x2 ) 上为负，所以 f ( x) 在 (, x1 ) ，( x2 ,) 上为单调递增函数，在( x1 , x2 ) 上为单调递减函数。当 a0 时，f ' ( x) 在 (x1, x2 ) 上为正，在 (, x1 ) ， ( x2 ,) 上为负，所以在 ( x1 , x2 ) 上为单调递增函数，在 (, x1 ) ， ( x2 ,) 上为单调递减函数。例 3：已知函数f (x) mx3mx23x在 R上是增函数，求实数的取值范围。m解： f ' ( x)3mx22mx31）当 m=0时， f ' ( x)3 0 ， f ( x) 在 R 上是增函数。2）当m 0时，

7、f '( x)0的42364(9)mmm m 当 m<0时， f ' ( x) 开口向下且0，说明存在区间使 f ' ( x)0 ，所以 m<0时， f ( x) 在 R 上不是增函数； 当 0m9 时， f ' (x) 开口向上且0 ，则 f ' (x)0 ，所以 0m9时 f (x) 在 R 上是增函数； 当 m=9时， f '( x) 开口向上且0 ，则 f ' ( x)0 ，所以 m=9时， f (x)在 R上是增函数； 当 m>9时， f ' ( x) 开口向上且0 ，说明存在区间使f ' (

8、x)0 ，所以 m>9时， f ( x) 在 R 上不是增函数。综上可得，所求的实数 m的取值范围为 0,9例 4：已知 f ( x)ax在（-1 ，）内单调递减，求实数 a 的取值范围。x1误解： f '( x)a1) 2( x由已知， f ' ( x)a0 在（-1 ，）上恒成立，所以 a 0( x 1)2分析：错误的原因在于未验证f ' ( x) 是否恒为0。 f (x) 在区间 D 上单调递增（或递减）的充要条件是f ' (x)0 （或f ' (x) 0) 且在任一子区间上不恒为 0。而当 a=0 时， f' ( x) =0 在（

9、-1 ，）上恒成立，此时 f (x) =0不是单调递减函数，所以实数a <0。三、关于三次函数的极值和最值问题设三次函数f (x) 的导函数 f '( x)ax2bxc(a,b,c 为常数），b 24ac ，讨论当 a0 时三次函数在闭区间S, T 上的最值问题（ a0 请读者自行证明）（ 1）当0 时， f ' ( x)0 ， f ( x) 在 R 上为单调递增函数，所以f (x) 没有极值点，在区间端点 S 处达到最小， T 处达到最大。（ 2）当0 时，设 f ' (x)0 的两根分别为x1 和 x2 ， x1x2 ，则 x1 是 f ( x) 的极大值点，

10、 x2 是 f (x) 的极小值点。最值讨论如下：当 Tx1 或 Sx2 时， f ( x) 在 S ，T 上单调递增，在区间端点S 处达到最小， T 处达到最大。当 Sx1Tx2 时，f ( x) 在 x1 处达到最大，最小值通过比较f ( S) 和 f (T )加以确定。当 x1STx2 时， f ( x) 在 S ，T 上单调递减，在区间端点T 处达到最小， S 处达到最大。当 x1Sx2T 时， f (x) 在 x2 处达到最小，最大值通过比较f (S) 和f (T ) 加以确定。当 Sx1x2T 时，通过比较 f ( x1 ) 和 f (T ) 可以确定最大值， 通过比较f ( x2

11、 ) 和 f (S) 可以确定最小值。例 5：设函数 yf ( x)x(xa)( xb)( a,bR)（ 1） 若 ab, ab0 ，过两点（ 0，0）、（ a,0) 的中点作与 x 轴垂直的直线，此直线与函数yf ( x) 的图象交于点P(x0 , f ( x0 ) ，求证：函数y f ( x) 在点 P 处的切线过点（ b,0 ）；（ 2） 若 a b(a0) ，且当 x 0, a1 时 f (x)2a 2 恒成立，求实数 a 的取值范围。解：（ 1）由已知 P( a , a2(ba)242y'3x2(2a2b) xab所以，所求的切线斜率为 3( a ) 2(2a 2b) aab

12、a 2224切线方程为 ya2(ba )a 2(xa )4242令 y 0 ，解得 x b所以函数 yf ( x) 在点 P 处的切线过点（ b,0 ）（2）因为 a b所以 yf (x)x( xa) 2y' 3x 24axa 23( xa)( xa )3, a ) 上单调递增，在 ( a , a) 上当 a0时，函数 yf (x) 在 (33单调递减，在 (a,) 上单调递增此时， x0, a1即 x 0, a1所以，由题意有f ( a ) 2a24 a 32a23即 27f (a 1) 2a2a 1 2a 2解得 1a27 或 a122结合 a0，所以1a272当 a0时，函数 y

13、f (x)在 ( a ,) 上单调递增3此时， x0, a1即 x0, a1所以，由题意有f (1a)2a2即 (1a)(1aa2 )2a 2整理得： 4a36a2510a因为 a0，所以上述方程无解27综上可得，所求实数a 的取值范围为 (1,)例 6：已知函数 f ( x)x 3ax2bxa 2 在 x1处有极值为 10，求 a,b 的值。误解：f'( )3x22ax b0x由题意f ' (1)0即32ab0f (1)101 aba 210解得a4或 a3b11b3分析：可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零，其充要条件是这点两侧的导数异号。因此，此题在求出a, b 的值后，还需要检验两侧导数的符号。当a4 时，f'()3x2811 (311)(x1)，当 31时，b11xxxx11f ' ( x) 0 ；当 x1时， f &