高中数学必修2《直线的倾斜角和斜率》教案

1、直线的倾斜角和斜率教材：选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修2一、教学目标1、知识目标（ 1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，主动构建理解直线的倾斜角和斜率的概念 ；（ 2）初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（ 3）掌握直线的倾斜角与斜率的关系，会求直线的倾斜角和斜率。2、能力目标（ 1）引导学生观察发现、类比，猜想和实验探索，培养学生的分析、抽象、 归 纳能力及创新能力和实践能力；（ 2）突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的发散性思维能力。3、思想目标通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的

2、揭示， 进一步提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力 , 使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生的数形结合思想和综合运用知识解决问题的能力。4、美育目标帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想， 在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，使学生体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、 勇于创新的精神。二、教学重点与难点重点： 1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念以及它们的相互关系；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、使学生经历几何问题代数化的过程， 初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。难点：

3、 1、倾斜角概念的形成，对斜率概念的理解。2、用代数方法推导斜率的过程；3、直线的斜率与其倾斜角之间的关系。三、教学方法与手段教学方法：观察发现、启发引导、探索实验。教学手段： “启发探究式”教学法；计算机辅助教学与引导法相结合； 坚持协同创新原则。四、教学过程教学教学过程设计意图环节创设问题情境， 激发了学生的创新意识， 营造了创情问题情境 1、如何确定一条直线的位新思维的氛围。景置？通过这四个问题， 打开了设问题情境 2、用一个很小的等腰直角学生的原有认知结构， 为置 ,三角板，能不能画出一个很大的正方知识的创新做好了准备；引形的对角线？怎么画？同时也让学生领会到， 直入问题情境 3、第二

4、个问题对你解决第线的倾斜角这一概念的课一个问题有什么启示？产生是为了研究直线， 从题通过讨论探究得出： 两点可以确定一而明确新课题研究的必条直线。要性，触发学生积极思维活动的展开。引出新问题： 一点能确定一条直线的位置吗？为什么？探 索 研学生动手操作：在直角坐标系中，画创设这个问题情境， 为学究 影 响出过点 P 的直线，并观察所画出的直生创新思维的展开提供直 线 位线有哪些不同。了空间。置 的 因通过分析得出结论： 过一点 P 的直线素有无数条，它们是都经过点 P 的直线束，并且它们的倾斜程度不同。问题 用什么样的几何量来刻画直线的方向？应该如何定义？引在平面直角坐标系中，当直线 l 与

5、x引导学生用“角”来刻画出轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正方向，进而引入倾斜角的概向与直线 l向上方向之间所成的角 概念。念，叫做直线 l的倾斜角。直注意：当直线和 x 轴平行或重合时，和学生一起完成定义， 定线我们规定直线的倾斜角为 0 ；倾斜角义要完备，准确，简洁。的是 90o 的直线没有斜率 .倾直线倾斜角的几何意义刻画直斜线相对 x 轴的倾斜程度。角直线倾斜角的取值范围是：0180；问题：在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量呢？倾斜角不是 90o 的直线，它的倾斜角分析得出用直线的倾斜引入的正切叫做这条直线的斜率。角的正切来表示直线的直线直线的斜率用 k 表示即 k=tan 倾

6、斜程度，从而自然地引倾斜注：倾斜角是 90o 没有斜率 ; 倾斜角不入斜率的概念与其表示。程度是 90o 的直线都有斜率。的描为了让学生更具体地理解斜率， 随机通过例子，学生对概念的述的出几个已知斜率求倾斜角， 已知倾抽象转化为具体， 使学生斜率斜角求斜率的题目。的发散性思维能力得以注意：当倾斜角为直角时 , 斜率 k提高，课程目标得以实不存在；直线的斜率可取一切实数。现。我们常用斜率来表示倾斜角不等于直线90o 的直线相对于 x 轴的倾斜程度。而倾斜根据正切函数的单调性， 倾斜角不同通过对直线的倾斜角和角与的直线，其斜率不同。由此引入直线斜率关系的讨论， 学生更斜率倾斜角 与斜率 k 的关系

7、： 为锐角进一步地了解直线的倾的关时，k>0； 越大，直线斜率越大；斜角，同时培养了学生分系为钝角时， k<0； 越大，直线斜率越类讨论的思想。大； =0°时， k=0 ； =90°时， k不存在。动手练习：（1）已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率： 120 °； 135 °（2）下列哪些说法是正确的（）让学生动手练习， 进A 、任一条直线都有倾斜角，也都有一步了解直线倾斜角与斜率斜率的关系。 通过习题的练B、直线的倾斜角越大，斜率也越大及时强化，进一步提高学习C 、平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 生运用数学解决问题的或能力，同时突出了教

8、学重D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜点，达到难点的突破。率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F 、直线斜率的范围是R问题情境：在坐标平面内，已知两点 P1 （ x1.y 1 ）,P 2 (x 2,y 2), 那么直线 P1P2就是确定的。那么当P1P2 的倾斜角不是 90o 时，这条直线的斜率也是确定探的。如何研究用两点的坐标来表示线究直线 P1P2 的斜率？直经过两点 P1 ( x1 , y1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 的直线线斜y2y1 . （x1x2率的斜率公式： k）的x2x1另学生可能会对所建立的关系产生疑一问：此公式是否具有一般性？如果P1表和 P 的顺序

9、不同，结果还一样吗？2示下面由学生动手推导其他情况。 最后用学生会发现，不管是哪种情况，都满两足以上式子。点公式的特点 :的(1) 与两点的顺序无关 ;坐(2) 公式表明， 直线对于 x 轴的倾斜标度，可以通过直线上任意两点的坐标表来表示，而不需要求出直线的倾斜示角;(3) 使用限制：当 x1=x2 时，公式不适用，此时直线与 x 轴垂直。教师通过建立坐标系， 把两点的坐标、 倾斜角与斜率联系起来，并通过探索、推导得出直线的斜率与两点坐标的关系。通过让学生自己动手探究其他情况， 并相互讨论结果，从而让学生更快地接受新知识， 并培养了学生的动手能力、 积极探究的精神，同时增强了学生的自信心。例

10、1 如下图，已知 A(3， 2) ，B(-4 ， 例 1 是对斜率公式的运用 1) ，C（0，-1 ），求直线 AB，BC，CA 及直线斜率与倾斜角关的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 系的一个简单的应用。 通锐角还是钝角。过问题的解决， 使学生得y出两点的斜率公式、 直线的斜率与倾斜角这三者A之间的关系同时提高了B学生分析、比较、概括、化归的数学能力。OxC分析：已知两点坐标， 而且 x1 x 2，例由斜率公式代入即可求得k 的值；题而当 ktan0 时，倾斜角是钝角；分而当 ktan0 时，倾斜角是锐角；析而当 ktan0 时，倾斜角是 0°。例 2在平面直角坐标系中，画出经例 2

11、 的目的要求学生画过原点且斜率分别为 1，-1 ， 2 和-3图，目的是加强数形结的直线。合。分析：要画出经过原点的直线 a，只要再找出 a 上的另个一点 M.而 M的坐标可以根据直线 a 的斜率确定； 或者k = tan=1 是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点， x 轴的正半轴为角的一边，在 x 轴的上方作 45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可。动笔练习： 1、求经过下列两点直线练习的第一题是针对全的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是体学生，目的是了解学生钝角：对所学知识的掌握情况。（1）C（18,8 ），D（ 4,-4 ）；（2）P（0,0 ）， 第二题是面对部分学有练Q（ -1,3 ）。余地的学生， 目的是调动习2、已知两点 M(2， 3) 、 N(3， 学生学习的积极性， 满足 2) ，直线 L 过点 P(1，1) 且与线段 MN 不同层次学生的学习需相交，求直线L 的斜率 k 的取值范要。设计以上二道题目的围？在于尊重学生的学习差异，让不同的学生在教学中得到不同的发展。引导学生回顾本节课所学内容、探索过程以及所归1、直线的倾斜角定义及其范围；用的方法与结论， 掌握数纳2、直线的斜率定义及公式；学知识，体会数学思想。小3、斜率 k 与倾斜角 之间的关系；通过学生对