数学建模论文关于嫦娥三号软着陆设计与控制的数学模型

1、.关于嫦娥三号软着陆设计与控制的数学模型摘 要本文就嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略进行讨论，经过合理假设，严密的理论推导，科学的求解，得到较为理想的结果，从而解决问题。首先，通过三维立体坐标系，和平面坐标系构建出地球，卫星，月球的模型。然后建立微分方程模型，对模型进行了合理的理论证明和推导，运用万有引力的数学算法中牛顿定律和借助AutoCAD软件制图，从中月球与嫦娥三号的相互作用关系及近月点，远月点位置和再点上的速度。对于问题二，首先分析嫦娥三号在着陆是受到的力F及推力的方向角度。通过这两个因素来决定最优的着陆轨道，可以根据所建立的二次反推变轨数学模型来分析嫦娥三号的着陆轨道，通过试探验证可

2、将推力方向角用的三阶多项式表示，然后运用数学工具计算即可得到在不同的反向推力F和保证飞行器安全着陆的前提下，嫦娥三号着陆过程需要的时间，根据测定着陆时间的长短就可确定出燃料消耗量，然后通过进一步的对比找出最优的推力和推力方向角，就可确定着陆最佳着陆轨道。对于问题三，首先要考虑影响嫦娥三号的因素，运用误差分析与敏感性分析找到解决办法，制定出合理的策略，会应用到在本文最后分析模型的优缺点，给出模型的若干推广关键词：牛顿定律 二次反推变轨 误差分析 敏感性分析1问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部

3、的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（附件1）。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（附件2），要求满

4、足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。附件3、4中给出我们关于月球表面的数字高程图，通过图像的分析出月球表面的地貌地形，准确判定是否是最合适的着陆地点，从而减少误差，准确定位。问题一，确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。问题二，确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。问题三，对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。2问题分析本题要求对嫦娥三号软着陆准备轨道近月点和远月点的位置加以确定并求出相应的速度大小以及方向。从题意中可以看出，针对第一个问题，我们可以采用纯物理方式进行计算。嫦娥三号在远月点时所受到的力

5、分别为月球引力，火箭推动力，已知嫦娥三号的质量，月球质量，嫦娥三号距月球的距离，由开普勒第三定律便可以求出嫦娥三号在远月点的速度大小，近月点同理。对月球探测器进行实时测控，3 符号约定为近月点速度为远月点速度为在 平面内的横向月心角为下降轨道平面内的纵向月心角推力仰角re和rs是月心到地心和月心到日心的矢径为着陆器矢径为着陆器的赤经月球半径远月点高度近月点高度4.模型的假设及简单说明1、不考虑空间飞行器上各点因燃料消耗而产生的位移； 2、在对卫星和空间飞行器进行轨道估计时，认为作用于其上的所有外力都通过其质心；3、卫星和空间飞行器的运动是在真空中进行的； 4、卫星只受重力影响，空间飞行器除自身

6、推力外只受重力影响； 5、卫星的观测图片及数据精准；6、5 问题1模型的建立与求解5.1模型建立附件1中从多方面反应了嫦娥三号如何实现软着陆在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约15公里、远月点高度约100公里的椭圆轨道上继续飞行。嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零嫦娥三号在反推火箭的作用下继续慢慢下降，直到离月面4米高。原始数据求出远近两点速度远近两点的距月距离，粗略算出，并估算出范围计算出远近两点的经纬（X,Y, Z）精准坐标开普勒定律

7、万有引力定律多模型求解以虹湖湾为O点5.2 理论分析与算法步骤 图一 图二以虹湾区一边界点为o点建立空间直角坐标系如图一已知图二纬度等于40075.04km/360°=111.31955km，经度变化1度，则东西方向距离变化 85.567km着陆点为19.51W,44.12N，我们可实际估出O点的经纬度356/111.31955=3.198度落点p,的 垂直Y轴为44.12*111.31955=4911.42km 垂直X轴为19.51*85.56700=1669.41km9.8*1/6=(-)V=1700m/s同理在最后3000m是速度为57m/sH=150000-3000=*9.8

8、=424.26s 1.求出远月点与近月点速度与方向。远地点：近地点：远地点运行速度大小：近地点运行速度大小：根据能量守恒定律，联立方程组可得：远月点=1.621近月点=1.675由此可知，嫦娥三号探测器在近月点、远月点的速度分别为1.675、1.621.5 问题二模型的建立与求解5.1模型建立月球软着陆轨道优化与制导系统优化研究与分析纵观历次月球软着陆任务，可以将其分为两大类：1. 从近地轨道上发射一颗探测器直接命中月球。前苏联的第一次成功的软着陆使命Luna-9 采用就是这种方式。2. 先将探测器发射至环月轨道上，然后再由环月轨道上进行软着陆。由于第二种方式不需要大推力火箭的支持，且较第一种

9、方式容易实现，因此目前大多数的软着陆任务采取的都是第二种方式。 月球软着陆过程是从绕月椭圆的近月点高度一般为15 km下降到月面的过程。月球软着陆过程分为六个阶段其中有（1）着陆准备轨道（2）主减速段（3）快速调整段4）粗避障段（5）精避障段（6）缓速下降阶段, 动力下降段是由15 km高度下降到2.4 km高度的过程，在这一阶段内，探测器的速度由椭圆轨道速度降低至57 m/s左右。接近段是由2.4 km高度下降到30 m高度的过程，这一阶段着陆点可以重新设计。此阶段一直持续到着陆点的上方，并且着陆器的姿态在这一阶段由水平姿态调整为垂直姿态。终端下降段是由30 m高度下降到月面的过程，这一起始

10、高度在时间上具有避险功能。5.2对轨迹的研究与探讨(1) 标称最优轨迹极大值原理对着陆段的最优推力程序进行了研究，在此情形下最优燃料消耗问题等价于最小时间下降问题。轨道由最大推力弧段和零推力弧段组成，并得到了一些特殊情形的切换函数。月球软着陆动力学是一个非线性方程，在不做任何假设的情况下即使得到了最优推力程序也很难求解最优轨迹的解析形式。因此，很多学者对标称轨迹的数值解进行了研究。求解数值最优轨迹有两种方法： 间接法和直接法。间接法需要求解两点边值问题，其主要难点是协状态的初值的估计问题, 且收敛半径可能很小。成有明确意义的物理变量的猜测问题，利用打靶法求解了最优软着陆轨道。(2) 闭环控制策

11、略得到了开环的标称轨迹以后，就需要设计出相应的闭环制导和控制策略。由此衍生出了两大类制导律: 标称轨道制导方法和显式制导方法。 标称轨道制导法这种闭环策略是设计轨道的控制律去跟踪开环的最优标称轨迹。针对动力学中的非线性干扰， 显式制导法制导律可以分为三小类： 标称轨道制导律、显式制导律和重力转弯制导律。这三种制导律各有优缺点。一般说来，标称轨道制导律能够保证燃料消耗是最优的或者次优，显式制导律则在对初始条件误差的鲁棒性上更好些，重力转弯制导律则能够保证探测器以垂直的姿态着陆。对于载人登月来说，标称轨道的设计将航天员的安全放第一位，因此燃料消耗未必是最优或者次优的。目前，着陆的自主导航方法可以分

12、为两种: 图像导航和惯性导航（1）.图像导航图像导航是利用导航相机对月面成像，经过图像处理实时估计探测器的位置和姿态信息它是光学导航的一种。图像导航的精度高，自主性强，也是探测小天体的主要导航方法， 由于需要进行复杂的图像处理，对光学导航系统软硬件要求很高。（2）.惯性导航着累积误差不能消除且初始导航误差也不能被消除的缺陷，因此需要利用外部利用光学导航敏感器的测量信息对惯导的累积误差进行了修正。5.3一般情况下软着陆飞行动力建模1.低轨月球探测器有10种摄动源的摄动量级和不同需求下的摄动模型,其中对于一般的轨道分析,只需考虑月球的非球形引力摄动以及地球和太阳的引力摄动。于是,一般情况下月球软着

13、陆动力学模型的矢量式可写为公式： - (1)(1) 右边第1项F为推进系统的主动制动力；(2) 第2项为月球的中心引力； (3) 第3项为月球的非球形引力摄动；(4) 第4项和第5项分别为地球和太阳的引力摄动；(5) m,e, s分别为月心、地心和日心引力常数； (6) e = r re, s= r rs；(7) re和rs是月心到地心和月心到日心的矢径。这里需要注意的是，对于月球软着陆,由于其距离月面很近且着陆区域范围较小,因此,月球表面的质量集中问题就显得更为突出,考察摄动影响时应重点考虑着陆区域附近的质量集中问题. 为方便软着陆过程各阶段的制导律设计以及下降轨迹各参数的分析,需要根据每个

14、阶段的不同情况将模型建立在合适的参考坐标系下. 2制动段飞行动力学建模与制导律设计着陆器距离月面相对较高,且着陆器走过的月面距离比较长,将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差.因此,制动段有必要将月球视为球体来建立均匀球体下的三维软着陆模型.制动段推进系统采用常值推力方式, 通过姿态控制来完成制动力方向的改变.5.4 均匀球体三维动力学模型首先定义几个坐标系: 1)参考惯性坐标系OXrYrZr原点O位于月球中心, Zr 轴由月心指向初始软着陆点, Xr 轴位于环月轨道平面内且指向前进方向, Yr轴与Xr，Zr构成直角坐标系. 该坐标系仅用于软着陆下降轨迹和制导律设计中; 2)下降轨道参考坐标系

15、oxoyozo.原点o位于着陆器质心, zo轴由月心指向着陆器质心为正, xo轴位于当地水平面内且指向着陆器前进方向, yo轴与xo和zo轴构成直角坐标系; 3)着陆器体坐标系oxbybzb. 原点o位于着陆器质心, xb轴在制动推力矢量延长线上,沿推力方向为正, yb, zb轴分别根据着陆器上仪器设备的安装而定,并与xb 轴构成直角坐标系. 坐标系示意图及着陆器位置与推力矢量关系如图2所示图2给出了上面各坐标系的示意和着陆器在坐标系中的位置,图2(b)给出了F在下降轨道参考标系中的位置. 其中, 为在XrYr 平面内的横向月心角; 为下降轨道平面内的纵向月心角; 推力F与坐标系oxoyozo

16、之间的2个推力方向角分别为推力方位角和推力仰角, 他们定义为: 推力方位角绕正zo轴旋转为正, 推力仰角绕负yo轴旋转为正. 分别用 U, V, W表示着陆器下降速度在坐标系 （2）(2)式表示的制动段动力学模型也是软着陆全过程的动力学仿真模型。2.2 月心惯性系下软着陆动力学模型为了同环月运动的参考系一致, 同时便于对软着陆下降窗口进行分析, 需要将着陆器的运动表示在月心赤道惯性坐标系下. 首先给出月心赤道惯性系OXYZ的定义: 原点O位于月球中心,XY平面在月球赤道平面内, 其中,X轴指向J2000平春分点在月球赤道上的投影,Z轴指向月球北极, Y轴与X和Z轴构成直角坐标系.要考察着陆器在

17、月心赤道惯性坐标系下的运动规律,需要得到月心赤道惯性系与月心惯性参考系之间的变换关系.以降轨着陆为例,两坐标系的关系如图3所示.由月心赤道惯性系变换到月心惯性参考系，需经过四次旋转：。由此可以得出他们之间的坐标变换矩阵为： ， （3）其中为环月停泊轨道的升交点赤经；旋转角可利用图中的球面三角形,求得： （4）其中为着陆点赤经，事先给定；为着陆器经过的月心角，可通过仿真得出。于是。月心赤道惯性系下的位置可表示为 （5）其中，月心惯性参考系下的位置表示由 2.3 初始下降位置确定首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化.这里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论: 软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内

18、. 月心赤道惯性系下的着陆器位置可表示如下月心赤道惯性系下的着陆器位置可表示如下：其中，为着陆器矢经；为着陆器的赤经；着陆器的赤纬等于90- （A）由(A)式可得出赤经和赤经的变化量：。于是，由下式可得软着陆初始下降点的经纬度和，如下其中，和由上式给出；为软着陆过程所需时间。2.4 制动段次优解析制导律设计对于(2)式表示的非线性动力学模型, 通常是给定初值进行迭代,从而求得协状态变量或中间变量, 最终获得最优控制，该方法不利于在探测器上实现自主控制.利用当前状态进行推力角控制量的单步优化,即在剩余时间间隔0, ts内进行局部优化。这样一来, 最优控制控制量 即可通过每一步的优化计算不断更新.

19、(8) 式中, 下标f表示终端条件, 下标b表示制动段; r, U, V表示当前时刻的下降参数; ar表示当前时刻的径向加速度; aF为当前时刻的水平推力加速度. 该制导方法得到的解析形式的推力角制导指令可通过简单计算实时得到,且对初始位置和速度偏差的影响不敏感.因此, 该方法也无法对初始偏差造成的着陆误差进行修正.在该制导方法的基础上增加了前馈项以用于消除初始位置和速度偏差3 接近段飞行动力学建模与制导律设计3.1 平面月球二维动力学模型该段中,着陆器距离月面较近,下降时间很短, 且由于着陆器接近垂直下降, 因而经过的月面距离很短.此段可将月球视为平面来建立月球平面直角坐标系. 所示的月球平面直角坐标系, 原点O为下降轨道上制动发动机点火点在月球表面的投影, XoYo为下