定积分的应用

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六1第五节第五节 定积分的应用定积分的应用 第五章第五章 二、体积二、体积 一、平面图形的面积一、平面图形的面积 三、思考与练习三、思考与练习返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六2一、一、 平面图形的面积平面图形的面积返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六3返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六4返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六5( )d( )d ( )( )dbbbaaasf xxg xxf xg xx返回返回上页上页下页下页目录目录202

2、1年11月13日星期六6|( )( )|dbasf xg xx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六7故所求的面积为故所求的面积为d.axxxxx1201332021333返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六8dyayyyyy242432242141826返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六9280222 d2(4) daxxxxx2833222024 22 214332xxxx18.返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六10解解 如图所示，如图所示，因为椭圆图形关于两个坐标轴因为椭圆图形关于两个坐标轴

3、都是对称的，所以整个椭圆面都是对称的，所以整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的积应为位于第一象限内面积的4倍倍.即即( )dasy xx04d.abbasaxxabaa2220444返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六11二、二、定积分的元素法定积分的元素法1. 什么问题可以用定积分解决什么问题可以用定积分解决 ?表示为niiixfu10)(lim1) 所求量 u 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) u 对区间 a , b 具有可加性可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(

4、lim定积分定义一个整体量 ;返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六12第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfud)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等近似值精确值2. 如何应用定积分解决问题如何应用定积分解决问题 ?返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六13一、平面图形的面积一、平面图形的面积( )( ) dbaf xg

5、xax( )( ) ddcyyay返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六14xoy112yxyxxdxxda返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六15返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六16abxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyadd所围图形的面积 . 有axya0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式dxx例例3 求椭圆返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11

6、月13日星期六17,0)(, ,)(c设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2a所求曲边扇形的面积为d)(212a 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六18xoya2221( )d2a 222214cosd2a 21 42 2a2.a返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六19设所给立体垂直于x 轴的截面面积为a(x), ,)(baxa在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxavd)(d因此所求立体体积为xxavbad)(xabxxxd( )a x上连

7、续,2. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六20轴旋转一周围成的立体体积时,轴绕xbxaxfy)()(特别 , 当考虑连续曲线段xoy( )yf xab有2)(xfxdbav当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcvxoy)(yxcdyx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六21ayxb12222byax所围图形绕 x 轴轴旋转而转而成的椭球体的体积.（注意：课本例（注意：课本例6是是“绕绕 y 轴旋转轴旋转”）解解: 方法方法1 利用直角

8、坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性利用对称性)3222312xxaab0a234aboav02xy d2x例例5 计算由椭圆返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六22tbytaxsincos则xyvad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六23并与底面交成 角,222ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴轴 的截

9、面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xrxa)(rxrrxxrv022dtan)(2123231tan2xxr0rtan323r利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .orxyx例例6 一平面经过半径为r 的圆柱体的底圆中心 ,返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六24orxy此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?( , )x y)(ya提示提示:tan2yx22tan2yryvr0tan2yyryd22思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?这就是课本中给出的解法！这就是课本中给出的解法！返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日

10、星期六25abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxa因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaav02x233axx的体积.（补充题）（补充题）例例7 计算由曲面返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六26内容小结内容小结1. 掌握定积分的掌握定积分的元素法元素法，并会应用，并会应用 元素法元素法来解决一来解决一些几何和物理方面的问题。些几何和物理方面的问题。2. 定积

11、分几何学上的应用定积分几何学上的应用（1）平面图形面积（）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程直角坐标系、极坐标和参数方程）（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体旋转体） 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13日星期六27课外练习课外练习习题习题55思考练习思考练习1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 a 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yad 312xy032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分弧线段部分直线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年11月13