江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试题-33a35eb1c6a44e3c8a8a755c03b2bb99

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第i卷（选择题)请点击修改第i卷的文字说明第ii卷（非选择题)请点击修改第ii卷的文字说明评卷人得分一、填空题1复数其中i为虚数单位，则z的实部是_.2为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生

2、2000人,则该校学生总人数是_.3如图是一个算法流程图，若输入的值为2，则输出的值为_. .4为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位: ),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有_株树木的底部周长大于110.5已知一组数据6,7,8，的平均数是8，且，则该组数据的方差为_.6某种产品每箱装6个,其中有4个合格,2个不合格,现质检人员从中随机抽取2个进行检测,则检测出至少有一个不合格产品的概率是_.7执行如图所示的伪代码,则输出的s的值是_.8在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_.9已知命题任意，恒成立，命题方程表

3、示双曲线，若“”为真命题，则实数的取值范围为_.10在的展开式中，项的系数为_.（用数字作答）11已知双曲线的左顶点和右焦点到一条渐近线的距离之比为1:2，则该双曲线的渐近线方程为_.12一场晚会共有7个节目，要求第一个节目不能排，节目必须排在前4个，节目必须排在后3个，则有_种不同的排法（用数字作答）.13观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_（用数字作答）.14已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为_ .评卷人得分二、解答题15已知矩阵.（1）求；（2）求矩阵的特征值和特征向量.16如图，在棱长为3的正方体中，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦

4、值.17为了纪念国庆70周年,学校决定举办班级黑板报主题设计大赛,高二某班的同学将班级长米、宽米的黑板做如图所示的区域划分:取中点,连接,以为对称轴,过两点作一抛物线弧,在抛物线弧上取一点,作垂足为,作交于点.在四边形内设计主题,其余区域用于文字排版,设的长度为米.(1)求长度的表达式,并写出定义域；(2)设四边形面积为,求当为何值时, 取最大值,最大为多少平方米?18已知数列各项均为正数，.（1）若，求的值；猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，证明：当时，.19已知点，经矩阵对应的变换作用下，变为点.（1）求的值；（2）直线在对应的变换作用下变为直线，求直线的方程.20在平面直

5、角坐标系中,曲线的参数方程为 (其中为参数),以直角坐标系原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,试求直线与曲线的交点的直角坐标.21若正数满足，求的最小值.22某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名男同学,3名女同学,在这10名学生中,1班和2班各有两名同学,3班至8班各有一名同学,现从这10名同学中随机选取3名同学,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自不同班级的概率;(2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列及数学期望23已知函数，其中.（1）若，求的值；（2）若，化简：.试卷第5页，

6、总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案15【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为25000【解析】【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人，根据题意列出等式，即可求出该校学生总人数.【详解】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人，则该校学生总人数为人，故答案是：5000.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽

7、样要求每个个体被抽到的概率是相等的，属于简单题目.35【解析】【分析】直接模拟程序即可得结论.【详解】输入的值为2，不满足，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有程序框图的输出结果的求解，属于简单题目.418【解析】【分析】根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部，求出周长大于110的频率，再根据频数样本容量频率求出对应的频数.【详解】由频率分布直方图知：底部周长大于110的频率为，所以底部周长大于110的频数为（株），故答案是：18.【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的应用，在解题的过程中，注意小矩形的面积表示的是对应范围内的频率，属于简单题目.52【

8、解析】【分析】根据题意，列出关于的等量关系式，结合，求得的值，利用方差公式求得结果.【详解】一组数据的平均数是8，且，所以，化简得，又，所以的值分别为或，所以该组数据的方差为：，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的方差的问题，涉及到的知识点有方差公式，属于简单题目.6【解析】【分析】首先明确试验发生包含的事件是从6个产品中抽2个，共有种结果，满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品，共有种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，因为试验发生包含的事件是6个产品中抽取2个，共有种结果，满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品，共有种结果，

9、所以检测出至少有一个不合格产品的概率是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等可能事件的概率的求解问题，在解题的过程中，注意对试验所包含的基本事件数以及满足条件的基本事件数，以及概率公式，属于简单题目.7110【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，根据顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件的值，由于，故输出的的值为：，故答案是：.【点睛】该题考查的用伪代码表示的循环结构的程序的相关计算，考查学生的运算求解能力，属于简单题目.82【解析】【分析】画出数轴，利

10、用满足的概率，可以求出的值即可.【详解】如图所示，区间的长度是6，在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，则有，解得，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.9【解析】【分析】根据题意求出命题p，q的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化判断即可.【详解】当时，不等式即为，满足条件，若，不等式恒成立，则满足，解得，综上，即；若方程表示双曲线，则，得，即；若“”为真命题，则两个命题都为真，则，解得；故答案是：.【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有复合命题的真值，根据复合命题的真假求参数的取值范围，在解题的

11、过程中，注意对各个命题为真时对应参数的取值范围的正确求解是关键.106【解析】【分析】将题中所给的式子变形，即，可以发现展开式中项的系数为中展开式中项的系数，借助于二项展开式的通项求得结果.【详解】根据题意，可得，的展开式的通项为，所以展开式中项的系数为中展开式中项的系数，为，故答案是：6.【点睛】该题考查的是有关二项展开式中某一项的系数的问题，涉及到的知识点有二项展开式的通项，在解题的过程中，也可以将两个式子按照二项式定理展开，从而求得其系数，属于简单题目.11【解析】【分析】利用已知条件求出双曲线的左顶点和右焦点坐标，写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式以及题的条件，列出方程得到

12、的关系，然后求出双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线的左顶点，右焦点，渐近线方程为，根据题意可得，整理得，因为，所以，所以，所以其渐近线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的渐近线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，点到直线的距离，属于简单题目.121224【解析】【分析】从g排在前4个和后3个两种情况来讨论，当排在前4个时，根据题的条件，求出有种排法，当排在后三个时，根据条件，求得有种排法，再根据分类计数原理求得结果.【详解】当排在前4个时，a也排在前四个，有种选择，此时d排在后三个有种选择，其余4人，共有种排法，此时共有种排法；当排在后三个时，d也排在后三个，a也排在前四个

13、，此时共有种排法，所以共有种排法，故答案是：1224.【点睛】该题考查的是有关应用排列解决实际问题，涉及到的知识点有排列数，分类计数原理，分步计数原理，属于简单题目.132816【解析】【分析】观察数表可知，每一行的首尾两项数字的和成等比数列，由于最后一行的数字等于倒数第二行两项的和，所以只要根据规律求出第9行的两项之和即可.【详解】由题意可知最后一行为第10行，第一行首尾两项的和为11，第二行首尾两项的和为22，第三行首尾两项的和为44，则第9行首尾两项的和为，所以第十行的数字是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关归纳推理的问题，涉及到的知识点有根据题中所给的条件，归纳出对应的结论，属于简

14、单题目.14【解析】【分析】若函数恰有4个不同的零点，令，即，讨论或，由求得，结合图象进而得到答案.【详解】函数，当时，的导数为，所以在时恒成立，所以在上单调递减，可令，再令，即有，当时，只有，只有两解；当时，有两解，可得或，由和各有两解，共4解，有，解得，可得的范围是：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.15(1) (2) 特征值为，分别对应特征向量，【解析】【分析】（1）利用矩阵的乘法求得结果；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出

15、方程组求出相应的特征向量.【详解】(1) (2)矩阵的特征多项式，令得，时， ，解得，取得 时， 解得，取得 矩阵的特征值为，分别对应特征向量，【点睛】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有矩阵的乘法，矩阵的特征值与特征向量，属于简单题目.16(1) (2) 【解析】【分析】（1）分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出向量，代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案；（2）利用向量垂直，求得两个平面的法向量，利用向量所成角的余弦值进而求得二面角的余弦值.【详解】(1) 因为两两垂直，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示因

16、为棱长为 3, ，则，所以， 所以，所以异面直线 与 所成角的余弦值是. (2)平面的法向量是 设平面 的法向量是，又因为所以即令，则，所以 所以 所以二面角的余弦值是.【点睛】该题考查的是有关利用向量解决空间立体几何的问题，涉及到的知识点有用向量法求异面直线所成角的余弦值，二面角的余弦值，在解题的过程中，正确建立空间直角坐标系是解题的关键.17(1) (2) 当时，四边形面积取得最大值为【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系求出对应点的坐标，利用待定系数法求出抛物线方程，进行求解即可；（2）构造函数，求出函数的导数，利用函数最值极值和导数之间的关系求最值即可.【详解】以为坐标原点，以所在的

17、直线为轴，轴建立平面直角坐标系.所以,所以直线为 因为抛物线是以为对称轴，设抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以 因为，所以，所以 因为，所以四边形的面积 设，由，解得： t1+0-极大值所以当时，取极大值且是最大值 答：当时，四边形面积取得最大值为【点睛】该题考查的是有关函数应用的问题，涉及到的知识点有求函数的解析式，应用导数求函数的最值，属于中档题目.18(1) ； (2)见证明【解析】【分析】（1）根据递推公式，代入求值即可；观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；（2）应用数学归纳法证明.【详解】(1) 当时，即当时，当时，当时

18、，由此猜想：证明如下：当时，成立； 假设当时，猜想也成立，即,则当时，. 即当时，猜想也成立。由得，猜想成立，即.() (2) 当时，即当时，由知不等式成立。假设当时，命题也成立，即.由即当时，命题也成立。由得，原命题成立，即当时，.【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.19(1) ； (2) 【解析】【分析】（1）根据题意，结合题中的条件，利用矩阵乘法公式，列出满足条件的等量关系式，求得结果；（2）设直线上任意一点经矩阵变换为，利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，利用在直线上

19、，代入求得，进而得出直线的方程.【详解】（1）解得； （2）由（1）知：设直线上任意一点经矩阵变换为则 即直线的方程为.【点睛】该题考查的是有关点和直线经矩阵变换的问题，在解题的过程中，注意变换的规则，掌握矩阵的乘法，属于简单题目.20【解析】【分析】将曲线c的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程，联立即可求得直线与曲线c的交点的直角坐标.【详解】将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 将曲线的参数方程化为普通方程可得：，由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线的交点的直角坐标为.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线交点的平面直角坐标的求解问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向平面直