边际成本递增模型

1、30第三章邊際成本遞增模型根據經濟學理論，邊際成本通常隨投入增加而遞增，線性成本是比較強的設 定，也使我們得到連結強度不是1就是0的結果。但就現實社會而言，連結強度 有強弱之分，這促使我們去思考線性成本假設的妥適性。因此，我們將在本章分 析當邊際成本呈遞增現象的情況:直覺來說，當邊際成本隨投入增加而遞增，則 經濟個體當然較不會有誘因將強度增加到1。所以我們以下將焦點轉移至較符合 經濟現實的遞增成本模型:3對稱均衡與線性成本模型一樣，以下我們先求解町、 第二階段求解：$；、5；邊際成本遞增模型只影響預期報酬函數的成本部分'因爲預期報酬函數效益 及成本部分是分開的。我們定義新的預期報酬函數

2、 "如下，同樣令M ， V/*並求對稱均衡：v, = 1 _ A (1 - Q -)m -伙_mcs：-心(3.1.1)%分別對、几求一階條件如下（3.1.2）（3.1.3）a-a电）心-2mcsn = 0 mp.（1-a电）叶1 = lines. dsik ” N NiJ"八 N N,J些=£0、（1 - Q 电）1 -2Ccs . = 0 => 00、（1 - G 鱼）1 兰=26C5. dsik 匕、N N,k匕、N Nik由於預期報酬函數只是將成本改成二次式，所以(3.1.2)和(3.1.3)的經濟意含匕$ 的 卜標 c 代表 convex cost

3、as 代表 symmetric aeUvori與(227)及(2.2.8)類似不再贅述(3.1.2)和(3.1.3)是多次方程式'我們無法從中求得©和s：的解析解，不過仍可從一階條件比較出$；、£的大小。Lenmia 3.1：若$；、$:均爲內部解 * 則$； >$；或者s； <s；=>加 > e。 proof我們用反證來完成這個證明。已知則在7女的情況下若5； <5；且(3.13)成立，則可明穎看出(3.1.2)不會成立，所以耳>$；從另一個角度看，已知A >伙之下，可發現若S： < S：而7 s e將互相矛盾的。Q

4、.E.D.從Lemma 3和Lemina 2可知邊際成本遞增和線性成本這方面保有相同 的性質。主要是因爲即使邊際成本遞增，對內和對外連結的邊際成本結構和線性 成本類似:對內投入一軍位強度和對外投入-單位強度所要花的邊際成本一樣。 成本結構沒有被扭曲，這個性質也不會被扭曲。雖然我們無法求得解析解，但卻可以藉由牛頓逼近法求得町和$：的實數數 値解，並分析比較靜態，以下我們將逐一說明數值解的性質。爲了幫助我們了解數値解的性質，我們令a=0.8、切=0.3、2=0.295、 c=0.0019、N=10 > n=10、m=6將舟的邊際效益函數和邊際成本函數以爲橫 軸，分別用電腦畫出如下：其中正斜率

5、直線爲邊際成本線、負斜率曲線爲邊際效益線由(3.1.2)可知邊際效 益在夠大且(m-l)奇數的時候是負値，此時$；只有一實數解，若(m-1)是偶數， 則邊際效益永遠是正値，而且此時邊際效益線會呈現convex的形狀，因此s；可能 會有2個實數解，若2個實數解都大於1則令其爲1，若一個介於0,1、一個大於1， 則取介於0,1的解，由圖町明顯看出取介於0,1的解達到的效益比s；=l (此時邊 際成本大於邊際效益)的效益高。以上述的參數爲例，解値分別爲：$： =0.4735213148、s* =98.28198482+61.593459481、s* =-21.35825165+62.77248276

6、1、5* =-21.35825165-62.772482761、$： =98.28198482-61.593459481可明顯看出有1個實數解、4個複數解，而s； =0.4735213148。了解$；、：如何決定後，我們自然地想知道外生參數變動對几；、$；的影響。 以下分別分析各外生變數變動對町、$；的影響。ds*Lenuna 3.2：若$；爲內部解，則说0。pi oof:仔細觀察邊際效益函數町發現若介於(0.1严(內部鞘，邊際效益將隨m增加而減少'所以4也將隨m增加而變小。以上述參數爲例，誤m由6增加到11， 用圖型表示如下:dsu耳=0相営於m=0，所以不管m爲多少，邊際效益値亂等

7、於m=0之下的値，所以益“其中水平直線爲線性成本函數的邊際成本、正斜率直線爲遞增成本函數的邊際成 本、二條負斜率曲線分別是m=6和in= 11之邊際效益線。m增加到11，邊際效 益線向下移，和邊際成本的交點向左移，所以町隨m增加而變小。 Q.E.D.將（3.1.2）等式左右2邊的m消去，此時（3.1.2）可解釋爲只增加1個對內連結 強度的邊際效益等於邊際成本*n）變動只影響邊際效益而與邊際成本無關，我們 已由Lemma 2.5知m增加使邊際效益減少，所以當成本爲遞增，這個情況還是 一樣，不過在遞增成本下，5,減少會帶動邊際成本減少，所以一般來說，爲 了達到均衡，九需要減小的幅度較線性成本/J4

8、比較上AM 1Lemma 3.3若町爲內部解，則n/g若夠小（議（才尸很接近1）則密no。 daproof:遞增成本和線性成本不同的地方只有成本部分，效益部分是完全一樣的。而我們17 豐S 二几（1一2护）心刃1 + （加一l）ln（l_a善），MR® 表示沁*NN的邊際效益函數 > 若 、宀<°，代表二條邊際效益線的差距隠增加而減少，貝J我們口J推dmdSq論成本遞增F为減少的幅度必小於線性成本的情況。但我們無法知道1 + （加-1）5（1-2工）N的正負，所以也無法確定也的符號。dinosHds sNc 已經由Lemma 2.2矩 若气爲內部解則=>

9、- <0,a若夠小（譲（）w_1ds 很接近1）則->0 o也就是說若沦0.5，此時。增加邊際效益減少 > 而邊際 daOs：, 成本不變，所以l-dWan 子W0在邊際成本遞增下仍成立。Q.E.D.da我們利用下圖來解說。變動的影響。下圖利用上述參數但"由0.8減少到02 0.4 0 5 0.9 11 20 TO220020.74。0 JJUI Q-00)1比較線性成本、邊際成本遞增均衡的變動可知線性成本之下略大幅增加到1（角解），而遞增成本約只增加至0.6，原因在於遞增成本下，邊際成本隨增加而增加，所以一般來說，在遞增成本之下，5；需要增加的幅度大於線性成本所需

10、要的幅度"Lemma 3.4若诈內部解件心 齐也夠大（讓（蕩戶很接 近1）則李50。Lemma 3.4證明邏輯與Lenwia 3.2及Lewwia 3.3 樣，不再贅述。我們將$由03 增加到0.34，以下圖比較線性成本和邊際成本遞增均衡變動之差異。35CJ.002O.OJ960.CD1Sy 0.031860.CD1&OOT75O(D170.1 02 0.3 04 0.6 0.6由上圖我們還是可以得到線性成本之S；增力帀畐度較遞增成本增力口幅度大的結論。Lenuna 3.5若时爲內部解，則舟° <0。36#以下仍利用模擬圖來進行不同成本函數的比較靜態分析。集$

11、由0.295減少至0.25可得下圖#Lemina 2.4說明兽“，所以在遞增成本之下，b、由0.295減少至0.25，我ob.們預期町將增加'但是幅度會有差異。由上可知線性成本下s：j增加幅度遠大#於遞增成本增加的幅度。第一階段求解：加接下來我們利用和2.2節一樣的方法，令a=0.7z b产04, /?2=0.36z c=0.001, N=1O, n= 0,10，可知v(m*(n*),w*)=v(8,10)= 0.7809114265 » 而s； (8,10)=0.90M437024、s； (8,10)=0.893809682 (appendix 3.1a)« 這個

12、結果說明切、2的差距夠大下，經濟個體會偏好較多、較強的同群體連結，較少、較弱的不 同群體連結 而由於成本夠小，所以強度均接近1。爲了和線性成本模型比較，我們讓a=0.8、b产0.3、®=0.25、c=0.0022、N=8、n=8，再做一次模擬得到s； （&8）=0.5199228807、q： （&8）=0、匕;（加”（心,心=(8,8)=0.8955948747 (appendix 3.1b)。將上述結果和Q（亦（）,心=以（5,6）=0.8913884559, »； = »；=1比較，我們發現遞增成本之下，個人會傾向較多連結、較弱強度的模式，這主

13、要是因爲成本 爲二次式，再加上強度均介於0,1，所以相同強度下，線性成本的費用大於遞增 成本，因此遞增成本會趨於維持較多、較弱連結方式（Proposition 3.1）。我們可推得以（8,8）匕：（5、6）”；（5,6），第二個不等式是因爲在遞增成本下， 可以選擇策q；均等於1（即線性成本下的情況的最適選擇），但是巧；（5,6）的$；工1， 所以必達到更高效益。Proposition 3丄若N严N、V;，則經濟個體會偏好較多連結、較弱強度的模式。 proof:假設經濟個體有總強度S分配在某一群體的連結上，若能證明ST （%、S-Sij）-（$"、%、S）T（»、片、.、S冶

14、、%-%-%）淨效益持續增加， 則可知道經濟個體偏好較多連結、較弱強度模式。就效益面來看，首先比較S和（5,. ' S-5. ） F總效益的大小：A （1 _ & 春）_ £ （1 _ a秸）（1 一 a J） = （亓）%（$ - sy） （31 4） 也就是說，S T （ %、S- %）效益面會減少。接下來比較（、S- % ）- （气、Sjp、S- 5.Sjp ） 效益面的變化：S-S S-$5.S S- S.A （1-镭）（1_0十）_人（1-時）（1-啡）（1-0严）（3.1.5）所以（3.1.5）可化簡爲：(3.1.6)（眷）乜（$-环）同理，連結數從m-1

15、增加到m個，效益變化爲：yA Q-a诂）（1 -Q专）（1 -a 爲°）（亓）-臨G-环一臨）（3.1.7）接下來看成本面，首先比較ST（%、S-气）成本的變化：由於成本爲2次式，所以我們有以下不等式：(3.1.8)38#(3.1.9)接著比較（列、S-$“）、（Sy ' %、S）下的成本大小:cs j + c(s- s J - C略 + csj + c(s -气-sip)z令X=s»，由（3.1.8）可知ex1 >c（x-slp）2 + csjp 即（3.1.8）（消去c珀），所以（3.1.9）口J*改寫爲2c$q（sf f，），因此當逹結數由m-1增加到m

16、，成本減少2%將效益、成本變化分別列出後，我們可比較淨效益變化。st（$“、s-气）淨 效益變化爲 2c Sy （s-S.J （s - Sjj） = S.J （s- ）2c- （） » 所以只要 c 不要太 小，淨效益爲正°同理（、S6）T（阳、几、$_% 一一臨） 淨效益變化爲 2c （s-S.J - sip ）- （1 - -） （）2 s.p（S - S.J -Sip） = sip （s- 5f>. - sip） 2c-（1虫勿 A2'淨效益仍爲正。最後，m-1個連結變成m個連結的淨效益變化 N N如下：2c sim （s-嘉 Sip .几,）（1 -

17、Q 专）（1 - Q 肓）（1 - 0 U ）（令）2 sim（5 -S.- 几）=sim （s-Sq % 九）2c（1 - a秸）（1 - a#）. （1 - a ；卩）（等）,淨效益還是正。所以我們可以說經濟個體偏好多逹結數、低強度模式。Q.E.D.連結數增加、平均強度變弱，使發生問題而無法解決的機率增加，但成本卻 減少，由上述定理可知，在C夠大的情況下，成本的減少將大於問題無法解決機 率的增加，所以若每軍位強度的成本夠大，經濟個醴不會偏好交少數朋友，而每 個朋友都投入很高的強度，相反地，經濟個體會偏好多交朋友，而強度投入較低另外，即使經濟個體喜歓多朋友、低強度模式，但我們有限制每個人有潛

18、在可連結的數量，所以連結數不會無止盡地增加。Proposition 3.1同時也顯示只要N不是太小則每個人的群聚係:不會太40#小，而整個社會網路的直徑不會太大。我們同樣可以利用模擬方法求得到外生變數變動對加”、r、h、v；.：的影響°接下來以a=0.8、b产0.3、久=0.25、c=0.0022、N=8、u=0,8爲比較基準進行下面比較靜態分析。一、a變動對內生變:的影響:a=0.8=>a=0.7(appendix 3.1c)直覺可知。由0.8減少至0.7將使減少。由於我們無法求得最適 連結數的解析解，所以a減少比較讒我們困惑的部分是強度及連結的分配。a減少導致對內及對外連結

19、的邊際效益均增加，就對內連結方面，町能強度 增加或7”增加，但N=8，所以加“不能再增加，所以較有可能的情況是略、$；、 广均增加;而加“減少。實際上此例":;W”川)刁：；(7,8)、s； (7,8)=0.6837462546、 4(7,8)=0.6711647727。a減少使受到同群體、不同群體鄰居幫助的機率都增加，應該要同時增加同 群體、不同群體的連結或強.度，但目前的連結數已達極限，所以爲了增加不同群 體連結數，只好減少同群體連結數，並增加同群體強度來彌補同群體連結數減少。線性成本之下，減少導致广增加，但遞增成本之下，广卻減少，這是由 於成本函數若爲遞增型態則強度解値大部分是

20、內部解'所以s：有足夠的增加空間 來因應邊際效益增加，所以厂不用跟著增加，再者此時广由0增加到1帶來的 邊際效益夠大，所以均衡時厂減少而广增加。二、5變動對內生變的影響：=0.3=>0.28(appendix 3. Id)此例加"=6、川=8 s；(6、8)= 0.5276033621、s；(6$)= 0.5210123158。0.3<1-0.25-0.3，所以人減少使對內連結、強度的效益變小;對外連結、強度效益變大而 a=0.8，加"=8、n* =8、5*(8,8)=0.5199228807、$；(8,8尸0，所以勺減少將導致广增加、加'減少;

21、而$；增加或減少則需視加"減少的幅度才能決定，就此例而言，町 增加。當2種問題發生的機率變接近，則在對內及對外連結數、強度上的分配會趨 於接近，而由於強度愈人，成本增加愈快，所以若同群體較常發生的問題的機率 減少夠多，此時在對外連結方面，每個人會偏好較多連結數、較低強度的配置， 但是發生同群體較常發生的問題的機率仍然較大'因此對內連結方面並不會減少 太多，因此最適選擇爲對外連結數增加2個、對外強度增加到0 5?1012158(若 只增加1個對外連結，則強度會接近1，是較不划算的配置)，對內連結數則減少 2個而對內強度才冲畐增加以彌補對內連結數減少。三、2變動對內生變數的形響汝

22、二025二>2=027G)ppeiKto 3.1e)此例加”=6、n*=8、5* (6,8)= 0.5232955743、5； (6,8)= 0.5160176593。$增加 導致對外連結效益增加、對內連結效益減少，所以广應該增加(£也一定增加， 因爲原本強度等於0)、广應該減少;s；則視F減少白铀畐度而決定，就此例而言， s；增加°不同群體較常發生的問題的機率增加讓2種問題發生的機率變接近 ' 再者， 同群醴鄰居只能幫忙解決同群體較常發生的問題，因此不同群體較常發生的問題 的機率增加會導致原配置在同群體的連結、強度分配-些到不同群體鄰居上”， 而同群體較常發

23、生的問題的發生機率並沒有減少，還是大於不同群體較常發生的 問題的發生機率'所以同群體連結數、強度的配置仍然都大於不同群體的鄰居， 而且以"幅增加同群體連結強度的方式來彌補同群醴連結數的減少。比較線性成本和遞增成本可以發現，當切、Q變動對連結數變動方向的影響類似，但遞增成本模型則多了強度上的變化，這是較符台經濟直覺的結果。3.2非對稱均衡了解對稱解的性質後，接下來我們討論個人可以自由選擇連結數、強度，也 就是非對稱均衡的情況。首先，定義非對稱的預期報酬函數匕9如下：Vca " - 01口（1-。十）- “2口（1 - 2 严）-工 CS；j -工 CS；Jem,N j

24、*c（t.N k爬叫ZProposition 3.2: Np = Nq>2> s*= $： Pp,qw “;同理 N=N, n 2 => $： = f 。所以當每個人擁有相同潛在可連結數，即g = N厂N=NQ2，此時 對稱均衡是較有效率之均衡型態。proof:證明之前*我們要先知道若Np = Nq = N,=N$=，叫、Vr,5e. *此 時每個人最多只有一個連結，也必定是對內的連結（因爲A >亿），而且每人的連 結強度也一定相同，所以必是對稱解。因此以下只針對耳,=儿» 2 n $："：，18 b、變動前後所擁有的總強度及總成本很接近。19 V（u 的 卜標 c 代表 convex, cost,a 代表 asymmetric network。gq e mt做證明，N= N, > 2 => $； = 5*耳町以相同道理推得。分別對及求一階條件如下 盂”耶j科立亠%=°_ _S Cf(321)(322)(321)(322)l-a=>1-a7q町_ N凡% N»q(323)宵叫Z科可沁=0令Np = Nq =N *可進一步寫爲Sjq- Sip = (siq - sip)(si(l + sip) *即1要最大化效益必N須滿足5-+/=-或。已知a<l且內部解