2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学(理)试题(解析版)

1、2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学(理)试题一、单选题21,已知集合 M x|x x0,N x|x1-U()A. M NB.NMC.MUNR D. M N【答案】D【解析】 解一元二次不等式求得集合 M ,由此判断出正确选项.【详解】(2由 x x x x 10解得 0x1,故 M x|0x1,由于 N x|x1,所以M N故选：D.【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于 基础题.2,若复数z满足z(1 i) 2 3i ,则z ()5.i 2因此,故选:A.根据复数的除法运算5.i .2，求得z .再根据共轲复数的概念即可求得3

2、i一一一一 2(23i )(1 i) 25i 3i(1 i)(1 i)5.-i .2本题考查了复数的除法运算,共轲复数的概念，属于基础题x3.若x,y满足约束条件 3x00 ,则z 4x 2y的最小值为(A -17B. -13D. 20z , 一一【解析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线y 2x -,由直线的24x 2 y计算即可.平移即可求得该直线在y轴截距最小时对应的最优解，代入x, y满足约束条件3x y 1 0,由此可得可行域如下图所示该可行域是, ,1-个以 A -,2 ,B(4,2) ,C37为顶点的三角形区域（包括边界）2目标函数4x 2y可化为y2x当动直线2xz

3、、，一过点27时,2z取得最小值,第27页共23页13此时zmin 故选：B.本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题4,已知m,n是两条不同的直线,是两个不重合的平面.给出下列四个命题:若 / ,m ,则m/若m/n,n，则 m/ ；若若m/ ,m其中为真命题的编号是A.B.【答案】C【解析】由面面平行的性质可判断判断线面的位置关系；在平面【详解】中，若/ ，则中，若m/n,n中，若,m直,为假命题；中，若m/ ，则可在m1，则，为真命题；综上，为真命题，故选:C【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定25.函数f x xln x的图象大致为(C.D.；对于,m

4、可能在 内；对于，由面面垂直无法内找到直线mi使得m1/m ,即可判断内任一直线与 平行,为真命题;，则m可能平行于，也可能在 内为假命题;，则m可能垂直于，也可能平行于，也可能与相交但不垂内作一直线mi使mi/m,又因为m，所以m1，又，属于基础题)【答案】D【解析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解【详解】2斛：Q f x xln x定义域为,00,f x即函数f x是奇函数，图象关于原点对12f-0,排除C;ee1x 21nx 2 0 ,解得 x ，e上单调递增，排除 A；22f x xln x xlnx称，由x 0, f x为奇函数，排除B;又当 x 0 时，f x

5、 2ln x 2,令 fLL1 1.、乂 q 1所以函数在 0,-上单调递减，在-,ee故选：D【点睛】 本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题6.已知双曲线C:2% 1 (a b20,b 0）的实轴长为4,左焦点F到C的一条渐近线的距离为3,C的方程为（C.2 x D .162 x A . 2【解析】根据实轴得到a的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ,从而得到C的方程.因为实轴长2a 4,所以a 2, F c,0 ,由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，b不妨取渐近线为 y x ,即bx ay 0 , a-b c 0 bc点F

6、c,0到渐近线的距离d jbc b, a2 b2c所以b 3,22所以C的方程为1, 49故选：C.【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题7 .执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A. -10108 . -1009C. 1009D. 1010【解析】根据程序框图，先计算出N和T的含义，再根据S N T即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.【详解】依题意：得 N 13 52019,T 0 2 462018.解法一：S NT (10) (3 2) (5 4) L(20192018)1010,故选：D.(1 2019) 1010(0 2018)

7、1010解法二：N ()1010 1010,T )1009 1010,22所以 S N T 1010 1010 1010 1009 1010 (1010 1009) 1010,故选:D.【点睛】 本题考查了程序框图的简单应用，数列求和公式的应用，属于中档题.8 .明代朱载培创造了音乐学上极为重要的等程律”.在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=。黄钟 太簇，大吕=3/黄钟2夹钟,太簇=3/黄钟 夹钟2.据此，可得正项等比数列 an中，ak()A - n kja

8、1n k an B. n ' ann k C. nJa1n k a°k 1 D. n"a1k 1 a°n k【答案】C【解析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第 2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列an中的ak可由首项a1和末项an表示.因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第 2、第3项均可由首项和末项表示,所以正项等比数列 an中的ak可由首项a1和末项an表示,n iaq,所以所以ak=a1n=a)k 1nnn kann i 二aaik 1n k k 1ann1=aian因为an故选

9、：C.求解时要先读懂题目的文本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力, 化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解29 .已知抛物线 E: x2 8y的焦点为F ,过F的直线l与E交于A, B两点，与x轴交于点C .若A为线段CF的中点，则AB ()A . 9B. 12C. 18D. 72【答案】A【解析】 解法一：根据 A为线段CF的中点，得到 A坐标，从而得到直线 AF ,与抛物线联立得到 X2,从而得到y y ,利用抛物线焦点弦公式，得到 AB的长；解法二：延长BC交准线y 2于d,过点A作AM垂直准线交准线于 M ,过点B作BN垂直准线交准线于N ,准线与y轴交于点H

10、 ,由 DMAs DNB ,得到AMBNADDB,得到BF ,再根据AFAM 3 ,得到AB的长.依题意得p 4 ,焦点F 0,2 ,如图，因为A为线段CF的中点,所以yA 1,代入抛物线方程得到 xa2V2,舍去正值,所以a 2,2,1U 2 12解法_: kAF ,02 24所以直线AF的方程为y 旦x 2, 40,242,-X1 X2421y2 4 5,44将其代入x2 8y,得x2 2j2x 16设 A Xi, y , B X2,y2 ,则 为 %y1 y2X12- X2244所以 AB y1 y2 p 5 4 9,故选：A.解法二：（几何法）延长BC交准线y2于D ,过点A作AM垂直

11、准线交准线于 M，过点B作BN垂直准线交准线于N ,准线与y轴交于点H ,FDH中原点O是线段FH的中点,所以点C是线段DF的中点.易得FH 4,AM AF AC 3, AD 3 AC 9,设 BF BN k,因为 DMAs DNB ,所以AMBN IADDB因此AB 3 6 9,故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质,求抛物线的焦点弦的长，属于中档题10.已知 a log2，e i，、ln ，则（）B.C.D. c b aa log解:因为因为b1 ln故选:分别与中间量作差法得到c,再由210g1 =- 一,最后利用作差法比较 2c 1,分别与中间量。做比较,24ln-e2In e1l

12、nJ 0, 22c的大小即可.In,ln ln2 0,InIn e、n 1 0, 2 e3log所以b本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题11.在平面直角坐标系 xOy中，直线i： kx y4k 0与曲线y,9 x2 交于 A，B两点，且uuurAOuuuABC.D. 73【解析】根据直线方程得到l过定点P 4,0 ,过圆心。作OMuuur uuuAO AB 2，得到 |AB2,再利用弦长公式，得到 k的值，从而得到答案.直线kx0,所以直线l过定点P 4,0曲线yJ91r是圆心为原点,半径 r3的上半圆.过圆心。作OMuur uuu12,即 AO AB AM I

13、I AB 51AB AB所以AB 2 ,圆心到直线l的距离d4kk21 24k k2=1AB 2jr2 d2 22,24kk2 1因为曲线y 9 x2是上半圆，结合图像可得 k 0,所以k 1.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义,根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.12.已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为3, D是BQi的中点，E是线段AiD上的动点.若三棱锥E ABC的四个顶点都在球 。的球面上，则球。表面积的取值范围A. 8 ,21B. 16，河C, 273 ,21 D. 16 ,21 21616【答案】D【解析】由题可知，三棱锥E ABC的外接球的球心

14、O在上底面等边 AB1cl的中心O1与下底面等边 ABC的中心。2的连线的线段O1O2上，设球O的半径为22222222RQEx,OQy,则 ROA02AO2O且 R OEOEOQ，易得2 c一02A J3,则R x y ,R2收 3 y，可彳导x 12 6y,代入non22R2 x2 y2中，则R2y 33,由x的范围可得y的范围，即可得到r2的范围，进如图所示，依题意可知，三棱锥E ABC的外接球的球心 0在上底面等边 AB1cl的中心。1与下底面等边 ABC的中心。2的连线的线段O1O2上连接OA、0E ,设OA OE R,OE x,OQ y；在 Rt OOE 中,OE2 O1E2 OQ

15、2得 R2 x2 y2；在 Rt AOO2 中，O2 A 23 33 ,。2 3 R,3 2由 OA2 O2A2 O2O2 得 R2 (J3)2 (3 y)2；由 R2x2y2和R2(73)2(3y)2得(内)2(3 y)2x2y2整理得x2 12 6y,所以 R2 y2 6y 12 (y 3)2 3,又因为 0 x J3 得1 y 2；321当y 2时，r2的取小值为4;当y 时，R2的取小值为 一； 24L221所以4 R2 , 4由球。的表面积S 4 R2得16 S 21 ,故选：D【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题，考查空间想象能力二、填空题，一 v 丫 -vv 一 v13 .已

16、知向量 ax,2 , b 2,1 ,且 a/b ,则 a 【答案】2、, 5【解析】根据向量共线的公式求解得 x 4,再根据模长公式求解即可.【详解】,r r _ 一_ r _由 a/b得，x 1 2 2 0，即 x 4，所以 |a|44 22 历 275.故答案为：2、, 5【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式，属于基础题型.14 .记Sn为数列 a的前n项和.若2am an 0, S5 93,则为 .【答案】31、，【解析】由题意可知，数列an是以一为公比的等比数列， 利用S5 93结合等比数列2求和公式可求出a1的值，然后利用等比数列的通项公式可求出a5的值.an 11 一一

17、.1 Q 2an 1 an0 ,一，所以，数列 an是以1为公比的等比数歹U,an22S5a1 112543111a1 93,解得 a1 48,因此，a5 al 48 3.16216故答案为：3.本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题 .15 .已知函数f x是定义在R上的奇函数，当 x 0时，f x 1 3f x ;当x 0,1 时，f x ln x 2 ,则 f 0 f e 【答案】9【解析】由f x是定义在R上的奇函数f ef e , f 00,再依题意求出f e即可得解.【详解】解：因为f x是定义在R上的奇函数，所

18、以 f e f e , f 00,又2 e 3, 0 e 2 1,所以 f e 3f e 1 9f e 2 9ln e 2 29,故 f 0 f e 9.故答案为：9【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题(0, )存在极值点，则316 .若函数f x sin( x -)(0)在(y,)单调，且在)单调,的取值范围为【解析】先通过函数f(x)在(0-)存在极值点，求出的范围，再根据在(一32求出k和 之间的不等关系，再结合已求出的的范围，得最终的范围.解：因为函数f(x)在(0,)存在极值点，所以3f (x)在(万，)单调,所以26(kN),即2解得一2k3只能取0,综上，

19、1故答案为:本题考查三角函数的单调性和极值问题,关键是要建立关于k和之间的不等关系，是中档题.三、解答题17.如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形， PA平面 ABCD , AEPD .(1)证明：AE，平面PCD;(2)若AP AB ,求二面角B PC D的余弦值.、r，-1【答案】(1)证明见解析(2)-2【解析】(1)由PA 平面ABCD及底面ABCD是正方形可证得 CD 平面PAD ,则CD AE,又由AE PD,即可求证;(2)以A为原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz,由(1)可知AEr为平面PCD的一个法向量，求得平面PBC的一

20、个法向量rm,进而利用数量积求解即可(1)证明：因为PA 平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA CD ,因为底面ABCD是正方形，所以AD CD,又PA AD A,所以CD 平面PAD,因为AE 平面PAD,所以CD AE,又因为 AE PD,CD PD D ,CD,PD 平面 PCD,所以AE ±平面PCD(2)因为PA 平面ABCD,底面ABCD为正方形，所以PA AB, PA AD, AB AD ,以A为原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 A xyz (如图所示)设 PA AB 1,则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1

21、,1,0),D(0,1,0), P(0,0,1),因为AEPD ,所以E为PD中点，所以C 1 10不，,2 2uuu所以PBuuuruur(1,0,1),PC (1,1, 1),AE由(1)得uurAE1 1 0,-,-为平面PCD的一个法向量，,2,2r设平面PBC的一个法向量为 m x, y, z ,uuuv,PB由 uuuvPCr mrm0，即0r ,一0,令 x 1,则 z 1,y0,所以 m 1,0,1 ,uur因此cosr . 一m, AEuurAEr uurm AE由图可知二面角PC D的大小为钝角，故二面角B PC-1D的余弦值为一2本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求

22、解及空间向量的坐标运算等基础知识 考查空间想象能力及运算能力218 .记Sn为数列an的前n项和.已知an 。，6Sn 3n 33n 4.(1)求an的通项公式;22(2)设bn*' 1 ,求数列 bn的前n项和Tn.anan 1【答案】（1） an 3n9n1 Tn 2n 4177【解析】（1）根据anS1, n12-2，作差可信 6anan3anan1 3an1 ,再Sn Sn 1, n 2对其因式分解，即可得到anan13 ,最后根据等差数列的通项公式计算可得（2）由（1）可得bn的通项公式,再用分组求和及裂项相消法求和解：（1）当n1时,6sl2a13ai 4 ,所以 ai1

23、（不合，舍去）2因为6Snan3an4,所以当n2时，6Sn2an3an 14,由一得6an2an3an2 Qo an 13an 1 ,所以又an0 ,所以anan 13 .因此an是首项为4,公差为3的等差数列.% 1 30.故an(2)(1)得223n 1 3n 43n1 3n3n 13n 4所以Tn2L103 3n33n 42n31033n 133n 4c 9n2n -4 3n 4本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识,考查推理论证3n 1.能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向 对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注19.

24、 ABC 中，B 60o,AB 2, ABC 的面积为 2省.(1)求 AC（2）若D为BC的中点，E,F分别为边AB,AC上的点（不包括端点），且EDF 1200,求 DEF面积的最小值.【答案】（1） 2J3;（2）6 3忑31一一、一、 一 一【解析】（1）利用 S/ABCAB BC sin B求出BC ,再利用余弦定理求 AC即可;2(2)设BDE0 ,60 ，在VBDE中，利用正弦定理表示出 DE，在VCDF中，利用正弦定理表示出DF ,再将VDEF的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.解：(1)因为 B 60o, AB 2,1所以 Svabc AB BC sin B22 -

25、3 BC2又S/ABC2J3,所以BC 4,由余弦定理得：AC222AB2 BC22AB BC22cosB 22 42 212 4 - 12,2CDF60，0 ,60在VBDE中，由正弦定理得:(2)设 BDEsinBDBEDDEsin B2即 sin 60DE正,所以2DEsin 60在VCDF中，由正弦定理得:sinCDCFDDFsinC由(1)可得 BC2 AC2 AB2, B60o,C 30 ，贝U sin 90DF丁，所以DF2cos所以SVDEFDE DF sinEDF 4sin 60cos2 3cos22sin cos2sin 2 60 屈,15 时，sin 2601,SVDEP

26、 min6 3J3,故VDEF的面积的最小值为 6 3/3 .【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题x2 y21, _ _ 320.已如椭圆E：4 1 (a b 0)的离心率为 一，点A 33, 在E上.a2 b222(1)求E的方程：1(2)斜率不为0的直线l经过点B 一,0 ，且与E交于P, Q两点，试问：是否存在 2定点C,使得 PCB QCB ?若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由22【答案】(1)土 匕 1(2)存在x轴上的定点C 8,0，使得 PCB QCB43【解析】(1)根据椭圆离心率和过的点，得到关于a, b的方程组，解得a,

27、b的值,从而得到椭圆的方程；(2)设存在定点C,对称性可知设 C m,0，根据y1y2-PCB QCB ,得到kPC kQC 0,即得- -0 ,直线l的方程为：x1mx2 m1 .x ty 2与椭圆联立，得到y1 丫2, y/2,从而得到m和t的关系式，根据对t R恒成立，从而得到 m的值.【详解】(1)因为椭圆E的离心率e-,所以3a2 4b2,2点A ,3,在椭圆上，所以与2a234b21,由解得a24, b2 3.22故E的方程为人匕 1.43(2)假设存在定点 C ,使得PCBQCB .由对称性可知，点 C必在x轴上，故可设C m,0因为PCB QCB ,所以直线PC与直线QC的倾斜

28、角互补,因此kpckQC设直线l的方程为：x tyQ X2, y2ity 2,2yi2t22i6 y2 i2ty 45 0,所以因为所以i2t2yiy2kPCkQCy1 & m整理得2tyiy2_ 2_i2t i612ti2t2 i6y2 xi45所以2t2i2t i6i所以 90t i2t - m 245NN 2Xiyimyi0,0,y2，2 ，一i44t i80_ 2_i2t i60,所以_45 i2t2y2x2 mi6，即 yi ty2_i2ti2t2 '90 i2i6y2tyi0,90ti2t即 96 i2m t 0对tR恒成立，所以8.m_ 2_i2t i60,对t

29、R恒成立,【点睛】第i29页共23页本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.2 x21 .已知函数f x x ax 1 e .（1）讨论f x的单调性；（2）若函数g xx2 1 ex mx 1在 1,有两个零点，求 m的取值范围.2【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1 , m 1e【解析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为f x x a 1 x 1 ex,再对参数a分类讨论可得;（2）依题意可得g2 xx 1 ex m,当m, 0函数在定义域上单调递增，不满足条件;当m 0时，由（1）x在 1,为增函数,因为再对mm 1三种情况讨论可得.解

30、：（1）因为ax 1 ex,所以 f x1 ex当0,x10时,2 xx 1 e- 0,当且仅当x1时,第31页共23页为增函数.当0时,1,1;由f' x 0得所以1,为增函数，在1为减函数.当a 0 时， a1,所以为增函数，在1,1为减函数.综上，当a 0时,在为增函数;当a 0时，f x在1, 为增函数，在 a 1 , 1为减函数;(2)当Q 时，f xa 1 ,为增函数，在1, a 1为减函数.因为g xx2 1mxm,0时,1,为增函数，所以1,至多一个零点.当m0时,(1)得1,为增函数.因为g0.(i )当 m 1 时，g 00时,。时,0;所以g x在 1,0为减函数

31、，在0,为增函数,min0.g x 在 1,有且只有一个零点.ii )当 m>1 时,0,xq0, m，使得g x 在 1,xq为减函数，在 xQ ,为增函数.所以 g xQg 00,又 gm m0,根据零点存在性定理，g x在xQ,m有且只有一个零点.又g x在1,xq上有且只有一个零点Q.故当m>1时，g x在 1,有两个零点.(iii)当 0 m 1 时，g 11,01,xq为减函数，在xQ,为增函数.因为xq,有且只有个零点Q,LI *右g1,有两个零点，则g1,xq有且只有一个零点.xq0,所以g 1Q即g即当m 1时g x在 1,有两个零点.第2Q页共23页一 ，一，2综上，m的取值氾围为1 一，m 1e【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、