概率1-5ppt课件

1、概率论概率论 第五节第五节 事件的独立性事件的独立性有限个事件的独立性有限个事件的独立性两个事件的独立性两个事件的独立性事件独立的性质事件独立的性质小结小结1;.概率论概率论 2显然显然 P(B|A)=P(B)这就是说这就是说,已知事件已知事件A发生发生,并不影响事件并不影响事件B发生的概率发生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性A=第一次掷出第一次掷出6点点， B=第二次掷出第二次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 概率论概率论 3(),.,AB532盒盒中中有有 个个球球绿绿 红红 每

2、每次次取取出出一一个个 有有放放回回地地取取两两次次记记第第一一次次抽抽取取 取取到到绿绿球球 第第二二次次抽抽取取 取取到到绿绿球球 则有则有),()(BPABP .发生的可能性大小发生的可能性大小的发生并不影响的发生并不影响它表示它表示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 概率论概率论 4若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B相互独立，简称相互独立，简称A、B独立独立.1. 两事件独立的定义两事件独立的定义 注注 AB（2 2）事事件件、独独立立的的充充要要条条件件为为 |,0P B AP BP A或或 （1 1）显显然然 与与

3、 和和任任何何事事件件独独立立； | ,0P A BP AP B ， 3( )0( )0 P AP BABAB当当、时时，事事件件、独独立立与与事事件件、互互斥斥不不能能同同时时成成立立。概率论概率论 5如图的两个事件是互斥的，它们相互独立吗？如图的两个事件是互斥的，它们相互独立吗？ AB即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即概率论概率

4、论 6设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)概率论概率论 7两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABAB,21)(,21)( BPAP若若AB).()(

5、)(BPAPABP 则则例如例如由此可见由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥两事件相互独立，但两事件不互斥.二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系概率论概率论 8AB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件互斥但不独立两事件互斥但不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAP 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.概率论概率论 9证明证明.独独立立与与先先证证BA,)( BAABBAABA且且因因为为),()()(BAPABPAP 所所以

6、以). ()()(ABPAPBAP 即即,.A BAB AB AB若若相相互互独独立立 则则下下列列各各对对事事件件与与与与 ， 与与也也分分别别相相互互独独立立定定理理1 1又因为又因为 A、B 相互独立相互独立, 所以有所以有),()()(BPAPABP )()()()(BPAPAPBAP 因因而而)(1)(BPAP ).()(BPAP . 相互独立相互独立与与从而从而BA()( ) ( ),P ABP A P B 概率论概率论 10 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“

7、乙命中乙命中”的概率，故认为的概率，故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 概率论概率论 111 0.2 0.3 , 例例加加工工某某一一零零件件需需经经过过两两道道工工序序，设设第第一一，二二道道工工序序的的次次品品率率分分别别是是和和假假定定各各道道工工序序是是互互不不影影响响的的，求求加加工工出出来来的的零零件件的的次次品品率率。 解解 iAi设设零零件件在在第第 道道工工序序为为次

8、次品品(1,2)i A 零零件件为为次次品品( )P A 则则12()P AA1212()()()P AP AP A A1212()()() ()P AP AP A P A0.20.30.2 0.30.44概率论概率论 12或或者者10.8 0.70.44 . 12()P AA121()P AA 121()P A A 121() ()P A P A 概率论概率论 132 0.8 0.9 , 例例有有甲甲、乙乙两两批批种种子子，出出苗苗率率分分别别为为和和 , 求求取一粒取一粒现从这两批种子中各任现从这两批种子中各任 ; 1 两两粒粒种种子子都都出出苗苗的的概概率率 ; 2出苗的概率出苗的概率恰

9、好有一粒种子恰好有一粒种子 . 3概概率率至至少少有有一一粒粒种种子子出出苗苗的的 解解 子出苗子出苗由甲批中取出的一粒种由甲批中取出的一粒种设设 A 子出苗子出苗由乙批中取出的一粒种由乙批中取出的一粒种 B AB则则事事件件、相相互互独独立立 。 : 表表示示为为恰恰好好有有一一粒粒出出苗苗 , ABAB : 表表示示为为至至少少有有一一粒粒种种子子出出苗苗 . AB 事事件件“两两粒粒种种子子都都出出苗苗”可可表表示示为为 ： , AB概率论概率论 14 ABP 1 BPAP ; 0.720.90.8 2 P ABAB BAPBAP BPAPBPAP . 0.260.10.80.90.2

10、3 P AB ABPBPAP BPAPBPAP 0.90.80.90.8 . 0.98 P AB或或者者1P AB BAP 1 BPAP 1 . 0.98 概率论概率论 15 P AB或或者者P ABABABP ABP ABAB . 0.980.260.72 概率论概率论 16 定义定义 , 如如果果满满足足等等式式为为三三事事件件、设设CBA CPBPBCPCPAPACPBPAPABP . ABC则则称称三三事事件件、 、为为立立的的事事件件两两两两独独 , 等式等式两两独立时两两独立时、当事件当事件CBA CPBPAPABCP . 不不一一定定成成立立二、有限个事件的独立性二、有限个事件的

11、独立性概率论概率论 17 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,则称事件则称事件A、B、C相互独立相互独立.概率论概率论 18 定义定义 , , , 21如如果果对对于于任任意意个个事事件件为为设设nAAAn 1 , 1 21有有等等式式和和任任意意的的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121 . , , 21为相互独立的事件为相互独立的事件则称则称nAAA请注意多个事件两两独立与相互独立的

12、区别与联系请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n (n 2)个事件个事件?注 定义中含有2321nnnnnCCCn个等式个等式. . : 可可以以推推广广到到任任意意有有限限多多个个事事件件的的情情形形概率论概率论 19伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例例例3 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色其第一面染成红色，第二面染成白色第二面染成白色 ， 第三面染成黑色第三面染成黑色，而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A ， B，C 分别分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出

13、现红、白、黑颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红、由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，白、黑分别出现两面， 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()( ACPBCPABP概率论概率论 20故有故有因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 概率论概率论 21.)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事

14、件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn 三、事件独立性的性质三、事件独立性的性质nn nA AA12(2),2 2. .如如果果个个事事件件相相互互独独立立，(1)mmn则则将将其其中中任任意意个个事事件件改改成成相相应应的的对对立立事事件件m则则形形成成的的个个事事件件仍仍然然相相互互独独立立。概率论概率论 22nA AA12,若若事事件件相相互互独独立立，则则11)1()nniiiiPAP A （12121()nnP AAAP AAA 因因为为12121()1() ()()nnP A AAP A P AP A由此可得：由此可得：nniiiiPAP A

15、 11)()（， 概率论概率论 23 例例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解解记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1 , 2 , 3已知已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 P AAAP AAA1231231 )()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 0534332541概率论概率论 24例例4 设步枪

16、击中飞机的概率为设步枪击中飞机的概率为 0.004, 现用现用n支支步枪同时独立向飞机射击一次步枪同时独立向飞机射击一次. 求飞机被击落求飞机被击落的概率的概率.若要以不小于若要以不小于0.99的概率击中飞机，至少的概率击中飞机，至少需要多少支步枪？需要多少支步枪？解解 ,1,2,iAiin设设第第支支步步枪枪击击中中飞飞机机 B =击落飞机击落飞机, 12,nBAAA则则12( )()nP BP AAA121() ()()nP A P AP A (.)n 110 004( .)n10 996概率论概率论 25( ).P B 0 99要要使使( .).n10 9960 99须须有有( .).n

17、0 9960 01即即lg .lg .n 0 0111500 996解解得得1150故故当当步步枪枪数数超超过过支支时时，飞飞机机被被击击中中的的概概率率不不小小于于0 0. .9 99 9. .概率论概率论 26. . )4, 3, 2, 1(, )(4, 3, 2, 14,.)()(试求系统的可靠性试求系统的可靠性个元件的可靠性为个元件的可靠性为设第设第称为串并联系统称为串并联系统联结联结按先串联再并联的方式按先串联再并联的方式工作的元件工作的元件个独立个独立设有设有如图所示如图所示的可靠性的可靠性或系统或系统元件元件能正常工作的概率称为能正常工作的概率称为或系统或系统一个元件一个元件 i

18、pii1234 解解, (, , , )iAii 1 2 3 4设设= = 第第 个个元元件件正正常常工工作作 例例5 .A 系系统统正正常常工工作作 概率论概率论 27.4321AAAAA 则则有有:,得得系系统统的的可可靠靠性性由由事事件件的的独独立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 概率论概率论 28,(),.p p 61 2甲甲、乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球比比赛赛 每每局局甲甲胜胜的的概概率率为为问问对对甲甲而而言言 采采用用三三局局二二胜胜制制有有利利 还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有利利 设设各各局局胜胜负负相相互互独独立立例例解解,甲最终获胜甲最终获胜采用三局二胜制采用三局二胜制:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”,“乙甲甲乙甲甲”,“甲乙甲甲乙甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:获胜的概率为获胜的概率为于是