【研究生应用数学基础】4.线性赋范空间ppt课件

1、第一章第一章 集合上的数学构造集合上的数学构造笼统空间笼统空间4.4.线性赋范空间线性赋范空间一、线性赋范空间概念与性质一、线性赋范空间概念与性质二、有限维线性赋范空间二、有限维线性赋范空间有限维线性赋范空间的根本性有限维线性赋范空间的根本性质质: :有限维线性赋范空间都是完备有限维线性赋范空间都是完备的的u一、线性赋范空间的概念和性质一、线性赋范空间的概念和性质u定义定义4.1 4.1 设设V V是数域是数域F F上的线性空间上的线性空间. .u假设假设x xV,V,对应一个非负实数对应一个非负实数,u即即V VR R是一泛函是一泛函, ,满足满足: :u(1)(1)x xV,x0;x=0V

2、,x0;x=0 x=x=. .u(2)(2)k kF,xF,xV,kx=|k|x.V,kx=|k|x.u(3)(3)x,yx,yV,x+yx+y,V,x+yx+y,u那么称那么称x(xx(xV)V)为为x x的范数的范数,V,V成为成为F F上的上的线性线性u赋范空间赋范空间. .设设V V是线性赋范空间。定义映射：是线性赋范空间。定义映射： ：V VV VR R，(x,y)=xy(x,yV)(x,y)=xy(x,yV)容易验证：容易验证：是是V V上的度量，从而上的度量，从而VV， 是度是度量量空间，因此，空间，因此，V V是度量拓扑空间。于是，是度量拓扑空间。于是，V V上有开集上有开集

3、、闭集、极限点、导集、闭包、闭集、极限点、导集、闭包、收敛、延续、完备、紧致、列紧等概念。收敛、延续、完备、紧致、列紧等概念。完备的线性赋范空间称为完备的线性赋范空间称为BanachBanach空间。空间。线性赋范空间线性赋范空间V V中序列中序列xnxn称为范数收敛于称为范数收敛于x xV,V,假设假设. 0limxxnn由于线性赋范空间由于线性赋范空间V V是线性空间，有加法和数乘是线性空间，有加法和数乘运算，故可讨论序列运算，故可讨论序列xnxn的级数及其收敛的概念。的级数及其收敛的概念。称级数称级数xxxxnnn211收敛于收敛于s sV,V,假设假设NoImage. 0limsSnn

4、这里这里nkknxS1.,11收敛如果称为绝对收敛的级数nnnnxx定理定理4.1 4.1 线性赋范空间线性赋范空间V V是完备的是完备的 V V中每个绝对收敛的级数都收敛中每个绝对收敛的级数都收敛. .证明证明: : ) )设设V V完备完备. .级数级数)1 ,.(:,11nVxxxnnnnn收敛要证绝对收敛 实践上实践上, , SnSm=xm+1+ SnSm=xm+1+xnxm+1+x+xnxm+1+xnn(nm),(nm),于是于是SnSn是是V V中中CauchyCauchy列列, ,所以所以.1收敛nnx) )任取任取V V中中CauchyCauchy列列xn,xn,那么可找到自然

5、数那么可找到自然数n1n2n1n2 , ,使使 )., 2 , 1(21knnkxxkk因此因此.11xxnnkkk1.)(1kxxnnkk收敛由假设得到.,limVxnxkk由此易知从而从而,xn,xn收敛收敛. .例例4.1 x=(x1,x2,4.1 x=(x1,x2,xn)T,xn)TRn,Rn,定义范数定义范数 ).1 (|11|ppnkpkpxx那么那么RnRn是线性赋范空间是线性赋范空间, ,而且是而且是BanachBanach空间空间. . x xCa,b,Ca,b,定义范数定义范数. | )(|maxtxbtax那么那么Ca,bCa,b是是BanachBanach空间空间. .

6、x xLpa,b,Lpa,b,定义范数定义范数).1 ()(|1|pdttxpbappx那么那么Lpa,bLpa,b是是BanachBanach空间空间. .x=(x1,x2,x=(x1,x2,xn)T,xn)Tlp(1plp(1p0.0)0.显然显然,f(,f(0)0.0)0.只需证只需证 f( f(0) 0) 0.0.由于由于0 0S,S,故故0 0不是零不是零向量向量. .从而从而, ,.100exknkk于是于是, f(, f(0)=x00)=x00 0。x xX,X,且且x x, ,那么那么x x的坐标的坐标是是RnRn中非零中非零向量。向量。所以，所以，. 0|2112nkkRn,

7、Rxxn记Rxn对应的坐标则是是S S上的向量。上的向量。故故 f( f()f()f(0)0)，即，即0)(0fRxn记记)(10fB 那么有那么有.|2112xBnkk由此推出，有限维线性空间的恣意两种范数由此推出，有限维线性空间的恣意两种范数都是等价的。都是等价的。两个线性赋范空间两个线性赋范空间X X和和Y Y称为线性同胚的，假设称为线性同胚的，假设存在线性双射存在线性双射T T：XYXY，使，使T T和和T-1T-1都是延续的。都是延续的。定理定理4.3 4.3 任何一个实数域任何一个实数域R R上的上的n n维线性维线性赋范赋范空间空间 X X都与都与n n维欧氏空间维欧氏空间RnR

8、n线性同胚，即线性同胚，即存在线性双射存在线性双射T T：X XRn,Rn,且且T T与与T1T1延续。延续。 证明：设证明：设e1,e2,e1,e2,en,en是是X X的一组基。的一组基。x xX X有有eknkkx1其中其中= =1 1，2 2，n)Tn)T为为x x的坐标。的坐标。定义映射定义映射T T：X XRn:Rn: Tx= Tx= 1 1， 2 2， ， n)Tn)TT T显然是线性的。而且显然是线性的。而且T1T1存在。实践上，存在。实践上，任给任给 = = 1 1， 2 2， ， n)T n)T Rn,Rn,于是于是Xyeknkk1由于向量坐标的独一性，所以由于向量坐标的独

9、一性，所以对应的对应的y y是唯是唯一的，而且一的，而且=Ty=Ty，从而，从而，T1T1存在。存在。 最后证明最后证明T T和和T1T1的延续性。由上面的定的延续性。由上面的定理，理，存在正数存在正数A A和和B B，使，使yxByxAnkkk2112|从而从而RRTyTxnnyxBnkkk2112|由此推出由此推出T T的延续性。又由于的延续性。又由于yxTT11RAAnnkkk1|12112由此推出由此推出T1T1的延续性。的延续性。定理定理4.4 4.4 恣意的有限维线性赋范空间必为恣意的有限维线性赋范空间必为BanachBanach空间空间; ;无限维线性赋范空间的有限维子无限维线性

10、赋范空间的有限维子空间必为闭子空间空间必为闭子空间. .证明证明: : 设设X X是是n n维线性赋范空间维线性赋范空间,e1,e2,e1,e2,en,en是是X X的一组基的一组基. .又设又设xnxn为为X X的任一的任一CauchyCauchy列列. .由上面的定理由上面的定理, ,存在线性同胚存在线性同胚T:XT:XRn,Rn,使使 Txn=Pn Txn=PnRn, T1Pn=xn(n=1,2,Rn, T1Pn=xn(n=1,2,) )容易证明容易证明:Pn:Pn是是RnRn中中CauchyCauchy列列. .实践上实践上, ,由由T T延续延续, ,0,0,存在存在0,0,当当xyxy时有时有 TxTy TxTyNm,nN时时, ,有有 xnxm xnxm于是于是 TxnTxm TxnTxm, ,即即 PnPm PnPm. .因此因此,Pn,Pn是是RnRn中中CauchyCauchy列列, ,由由RnRn的完备性的完备性, ,有有RPnnnPlim再由再由T1T1的延续性的延续性, ,.11limlimXxPTPTxnnnn从而从而X X完备完备.