《非线方程求根》ppt课件

1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第4章 非线性方程求根 非线性科学是当今科学开展的一个重要研讨方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。通常非线性方程的根的情况非常复杂：21)2sin(yyx无穷组解1041122aaaaayxaxy无解一个解两个解四个解数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS所以，只在某个区域内可以解存在独一，而

2、且经常很简单的方式得不到准确解：因此，通常我们用迭代法解非线性方程看迭代法之前，先看看一种简单直观的方法原理：原理：0)(.,.,0)()(xftsxbfaf0)cos(xex数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS4.1对分法对分法abx1x2ab什么时候停顿？11xxkk 2)(xf 或或x*数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSWhile(|a-b|eps) x=(a+

3、b)/2 f(x) 假设(|f(x)|eps) x为解 假设f(x)*f(b)0 修正区间为x,b 假设f(a)*f(x)0 修正区间为a,xEnd while每次减少一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，运用条件限制较大算法 2xx*不能保证 x 的精度数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS4.2 迭代法迭代法f (x) = 0 x = g (x)等价变换等价变换f (x) 的根的根g (x) 的不动点的不动点思思绪绪从一个初值从一个初值 x0 x0 出发，计算出发，

4、计算 x1 = g(x0), x2 = x1 = g(x0), x2 = g(x1), , xk+1 = g(xk), g(x1), , xk+1 = g(xk), 假设假设 收敛，即存在收敛，即存在 x x* * 使得使得 ，且，且 g g 延续，那么由延续，那么由 可知可知 x x* * = g(x = g(x* * ) )，即，即x x* * 是是 g g 的不动点，也就是的不动点，也就是f f 的根。的根。 0kkx*limxxkk kkkkxgx limlim1数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT O

5、F MATHEMATICS迭代法的根本步骤如下：1、给出方程的部分等价方式)(0)(xxxf2、取适宜的初值，产生迭代序列)(,10iixxx3、求极限nnxx lim*易知，该值为方程的根一定收敛吗？数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSxyy = xx*y=g(x)x0p0 x1p1 xyy = xx*y=g(x)x0p0 x1p1数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS

6、,),(baxx假设满足：1、,)(baxbxa2、)(x可导，且存在正数L1，使得对恣意的x，有Lx )( 那么有：1、存在独一的点*)(*,xxx2、bax,0迭代收敛，且有误差估计011*xxLLxxkk定理定理数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS存在独一性做辅助函数)()(xxx，那么有0)(, 0)(ba所以，存在点*)(*0*)(.,.*,xxxtsx假设*)*(*xx，那么有：*)*)( *)*(*)(*xxLxxxxxx又，1L*xx ,0bax 那么*)( *)(

7、)(*1xxxxxxkkk*011xxLxxLxxkkk所以，恣意的初值都收敛证明：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差估计01111)()(xxLxxLxxxxkkkkkkkkkpkpkkpkxxxxxx11011xxLLkpk0101111xxLLxxLLLkpk由p的恣意性，令011*xxLLxxkkp证毕数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS构造满足定理条件的

8、等价方式普通难于做到。要构造收敛迭代格式有两个要素：1、等价方式2、初值选取下面我们开场引见假设干种迭代法的构造方法数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS4.3 Newton迭代法迭代法将f(x)在初值处作Taylor展开200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf取线性部分作为f(x)的近似，有：0)( )(000 xxxfxf假设0)( 0 xf，那么有)( )(000 xfxfxx记为1x类似，我们可以得到)( )(1112xfxfxxxyx*x0数 学

9、系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS这样不断下去，我们可以得到迭代序列)( )(1kkkkxfxfxxNewton迭代的等价方程为：)( )()(0)(xfxfxxxxf所以2)( )( )()( )()( xfxfxfxfxfxx假设f(x)在a处为单根，那么0)( , 0)( , 0)(aafaf所以，迭代格式收敛数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS收敛速度收敛速度)( 2

10、)()( )()()(21nnnnnaxaaxaxax)( 2)()( 2)(22aaxaxnnn函数在a处作Taylor展开假设a为p重根，取迭代格式为：)( )(1kkkkxfxfpxx即Meenn21Newton迭代收敛速度快，格式简单，运用广泛数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5. 解 Newton迭代格式为, 2 , 1 , 0,111kxexxexeexxxkxkkxkxxkkkkkkkk

11、xk(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSx*x0 x0 x0数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTM

12、ENT OF MATHEMATICS4.4 弦截法弦截法将Newton迭代中的导数，用差商替代，有格式)()()(111kkkkkkkxfxfxxxfxx是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢Meenn618. 11x0 x1切线切线 割线割线 数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS定义定义设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点 x*。设 ek = xk x*，假设，那么称该迭代为p 阶收敛，其中 C 称为渐进误差常数。0|lim1 Ceepkkk数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS4.4 非线性方程组的非线性方程组的Newton迭代法迭代法)()(