基于MATLAB的概率统计数值实验ppt课件

1、基于基于MATLAB的概率统计数值实验的概率统计数值实验二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布主讲教师：董庆宽主讲教师：董庆宽 副教授副教授研讨方向：密码学与信息平安研讨方向：密码学与信息平安电子邮件：电子邮件：个人主页：个人主页：/qkdong/ /qkdong/ 内容引见内容引见二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布1. MATLAB中概率分布函数中概率分布函数2. 二项分布实验二项分布实验3. 泊松分布实验泊松分布实验4. 二项分布与泊松分布关系实验二项分布与泊松分

2、布关系实验5. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验6. 随机变量的均值与方差随机变量的均值与方差7. 逆累积分布函数实验逆累积分布函数实验8. 中心极限定理实验中心极限定理实验1. MATLAB中概率分布函数中概率分布函数MATLAB为常见自然概率分布提供了以下5类函数概率密度函数pdf，求随机变量X在x点处的概率密度值累积分布函数cdf，求随机变量X在x点处的分布函数值逆累积分布函数inv，求随机变量X在概率点处的分布函数反函数值均值与方差计算函数stat，求给定分布的随机变量X的数学期望E(X)和方差var(X)随机数生成函数rnd，模拟生成指定分布的样本数据(调用格式：x=分布

3、rnd(分布参数)，如x=normrnd(0,1) xfy xduufxXPxF 1 Fx1. MATLAB中概率分布函数中概率分布函数常见的分布类型名如下分布类型分布类型MATLABMATLAB名称名称分布类型分布类型MATLABMATLAB名称名称1. MATLAB中概率分布函数中概率分布函数详细函数的命名规那么是：详细函数的命名规那么是：函数名分布类型称号函数名分布类型称号+函数类型称号函数类型称号(pdf、cdf、inv、stat、rnd)例如，例如，normpdf、normcdf、norminv、normstat和和normrnd分别是正态分布的概率密度、累积分布、逆累积分别是正态分

4、布的概率密度、累积分布、逆累积分布、数字特征和随机数生成函数。分布、数字特征和随机数生成函数。关于这关于这5类函数的语法，请详见有关书籍类函数的语法，请详见有关书籍 快捷的学习可借助快捷的学习可借助MATLAB的系统协助，经过指令的系统协助，经过指令doc获获得详细函数的详细信息，语法是得详细函数的详细信息，语法是 doc 2. 二项分布实验二项分布实验知Yb(20, 0.3)求Y分布率的值，并划出图形在Matlab中输入以下命令：binopdf(10,20,0.2)x=0:1:20; y=binopdf(x,20,0.2)plot(x,y,r.)结果：结果：ans = 0.0020y =0.

5、0115 0.0576 0.9 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000051015200.02. 二项分布实验二项分布实验知知Yb(20, 0.3)求求Y分布函数的值，画出函数图像分布函数的值，画出函数图像在在Matlab中输入以下命令：中输入以下命令：binocdf(10,20,0.2)x=0:1:20; y=binocdf(x,20,0.2)ezplot(bin

6、ocdf(t,20,0.3),0,20)结果：结果：ans = 0.9994y = 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00002. 二项分布实验二项分布实验2. 二项分布实验二项分布实验到某效力机构办事总是要排队等待的。设等待时间T是服从指数分布的随机变量(单位：分钟)，概率密度为设某人一个月内要到此办事10次，假设等待时间超越15分钟，他就离去。

7、求： (1)恰好有两次离去的概率； (2)最多有两次离去的概率； (3)至少有两次离去的概率； (4)离去的次数占多数的概率。 00010110ttetft2. 二项分布实验二项分布实验解 首先求任一次离去的概率，依题意设10次中离去的次数为X，那么Xb(10, p) p=1-expcdf(15,10) %任一次离去的概率 p1=binopdf(2,10,p) %恰有两次离去的概率 q=binopdf(0:2,10,p);p2=sum(q) %最多有两次离去的概率 q=binopdf(0:1,10,p);p3=1-sum(q) %最少有两次离去的概率 q=binopdf(0:5,10,p);p

8、4=1-sum(q) %离去的次数占多数的概率p = 0.2231p1 = 0.2972p2 = 0.6073p3 = 0.6899p4 = 0.0112tedttfTPpt3. 泊松分布实验泊松分布实验假设交换台每小时接到的呼叫次数假设交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数服从参数=3的泊松的泊松分布，求分布，求(1) 每小时恰有每小时恰有4次呼叫的概率次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超越一小时内呼叫不超越5次的概率次的概率(3) 画出分布律图像画出分布律图像344! 43! 4)4()1( eeXP 50350!3)()5()2(kkkekkXPXP在在Matl

9、ab中输入以下命令：中输入以下命令：(1)p1= poisspdf(4,3)(2)p2= poisscdf(5,3)(3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y)3. 泊松分布实验泊松分布实验4. 二项分布与泊松分布关系实验二项分布与泊松分布关系实验二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系例例7：Xb(200,0.02)，Y 服从参数为服从参数为4的泊松的泊松分布，划出分布率图像分布，划出分布率图像x=0:20;y1=binopdf(x,200,0.02);y2=poisspdf(x,4);plot(x,y1,r.,x,y2,b.)4. 二项分布与泊松分布关

10、系实验二项分布与泊松分布关系实验泊松定理 (用泊松分布来逼近二项分布的定理) 设0是一个常数，n是恣意正整数，设npn，那么对于恣意固定的非负整数k，有例9 某种艰苦疾病的医疗险种，每份每年需交保险费100元，假设在这一年中，投保人得了这种疾病，那么每份可以得到索赔额10000元，假设该地域这种疾病的患病率为0.0002，现该险种共有10000份保单，问：(1)保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于80万元的概率是多少?!)1 (limkeppknkknnknn解 设 表示这一年中发生索赔的份数，依题意， 的统计规律可用二项分布 来描画。由二项分布与泊松分布的近似计算关系有 近似服

11、从参数为2的泊松分布。 当索赔份数超越100份时，那么保险公司发生亏本，亏本的概率为 当索赔份数不超越20份时，那么保险公司获利就不少于80万元，其概率为XX0002. 0 ,10000 BX100!1npeknpppCnpkknkknX100021!211001100kkekXPXPp19022!220kkekXPp p=poisspdf(0:19,2);%计算出计算出20个泊松分布概率值个泊松分布概率值 或或 p=binopdf(0:19,10000,0.0002); %按二项分布按二项分布计算计算 p2=sum(p) %求出保险公司获利不少于求出保险公司获利不少于80万元的概率万元的概率

12、 p2 = 1.0000 p=poisspdf(0:100,2);%计算计算101个泊松分布概率值个泊松分布概率值或或 p=binopdf(0:100,10000,0.0002); %按二项分布计按二项分布计算算 p1=1-sum(p) %求出保险公司亏本的概率求出保险公司亏本的概率 p1 = 0.0000 5. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验离散均匀分布的概率密度函数和累积分布函数离散均匀分布的概率密度函数和累积分布函数 unidpdf(X,N) unidcdf(X,N)随机变量随机变量X在在1到到N上的上的N各自然数之间等能够取值各自然数之间等能够取值在在Matlab中输入以

13、下命令：中输入以下命令：x=1:1:10; y=unidpdf(x,10)结果：结果：y = 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000在在Matlab中输入以下命令：中输入以下命令：x=0:1:10; y=unidcdf(x,10)结果：结果：y = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.00005. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验延续均匀分布延续均匀分布密度函数：密度函数：f=unifp

14、df(x,a,b)分布函数：分布函数：f=unifcdf(x,a,b)例例: 画出均匀分布画出均匀分布U(2,5)的概率密度函数和分布函的概率密度函数和分布函数的图形数的图形.在在Matlab中输入以下命令：中输入以下命令：x=0:0.01:7; y=unifpdf(x,2,5); z=unifcdf(x,2,5);plot(x,y,x,z)5. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验(2) 指数分布指数分布密度函数：密度函数：f=exppdf(x,)分布函数：分布函数：F=expcdf(x,)例例: 画出指数分布画出指数分布E(1)的概率密度函数和分布函数的概率密度函数和分布函数的图形

15、的图形. 求求P(0X5) P(0X20).在在Matlab中输入以下命令：中输入以下命令：x=0:0.1:5; y=exppdf(x,2); z=expcdf(x,2);plot(x,y,x,z)result1=expcdf(5,2)-expcdf(0,2)result2=expcdf(20,2)-expcdf(0,2)结果：结果：result1 = 0.91791500610 result2 = 0.999954600070245. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验(3) 正态分布正态分布密度函数：密度函数：f=normpdf(x,)分布函数：分布函数：F=normcdf(x,

16、)例例: 画出正态分布画出正态分布N(1,4)的概率密度函数和分布函数的图的概率密度函数和分布函数的图形形. 求求P(1X clearmu1=2.5;mu2=3;sigma1=0.5;sigma2=0.6;x=(mu2-4*sigma2):0.01:(mu2+4*sigma2);y1=normpdf(x,mu1,sigma1); %调查均值的影响调查均值的影响y2=normpdf(x,mu2,sigma1);y3=normpdf(x,mu1,sigma1); %调查方差的影响调查方差的影响y4=normpdf(x,mu1,sigma2);subplot(1,2,1) %调查结果的可视化调查结果

17、的可视化plot(x,y1,-g,x,y2,-b)xlabel(fontsize1212,1=2 )legend(1,2)subplot(1,2,2)plot(x,y3,-g,x,y4,-b)xlabel(fontsize121=2,12 )legend(1,2)024600.70.812,1=2 12024600.70.81=2,12 125. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验计算正态分布的累积概率值例，设XN(4,32), P3X3调用函数normcdf(x,)前往函数值解： p1=normcdf(6,4,

18、3)-normcdf(3,4,3)p1 = 0.3781 p2=1-normcdf(3,4,3)p2 = 0.6306 xdttfxF例 正态分布参数和对变量x取值规律的约束3准那么。解： clear,clf %规范正态分布密度曲线下的面积X=linspace(-5,5,100); Y=normpdf(X,0,1);yy=normpdf(-3,-2,-1,0,1,2,3,0,1);plot(X,Y,k-,0,0,0,yy(4),c-.)hold onplot(-2,-2,0,yy(2),m:,2,2,0,yy(6),m:,-2,-0.5,yy(6),yy(6),m:,0.5,2,yy(6),y

19、y(6),m:)plot(-1,-1,0,yy(3),g:,1,1,0,yy(5),g:,-1,-0.5,yy(5), yy(5),g:,0.5,1,yy(5),yy(5),g:)plot(-3,-3,0,yy(1),b:,3,3,0,yy(7),b:,-3,-0.5,yy(7), yy(7),b:,0.5,3,yy(7),yy(7),b:)hold offtext(-0.5,yy(6)+0.005,fontsize1495.44%)text(-0.5,yy(5)+0.005,fontsize1468.26%)text(-0.5,yy(7)+0.005,fontsize1499.74%)tex

20、t(-3.2,-0.03,fontsize10-3)text(-2.2,-0.03,fontsize10-2)text(-1.2,-0.03,fontsize10-)text(-0.05,-0.03,fontsize10)text(0.8,-0.03,fontsize10+)text(1.8,-0.03,fontsize10+2)text(2.8,-0.03,fontsize10+3)5. 5. 延续型随机变量分布实验延续型随机变量分布实验-5-4-3-2-101234500.050.495.44%68.26%99.74%-3-2-+2+36. 随机变

21、量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差对于恣意的分布，可用对于恣意的分布，可用Matlab中的函数和运算编程实现中的函数和运算编程实现对于给定的分布，只需给出分布的参数，即可调用对于给定的分布，只需给出分布的参数，即可调用stat族族函数，得出数学期望和方差，调用格式函数，得出数学期望和方差，调用格式E,D=分布分布+stat(参数参数)例：求二项分布参数例：求二项分布参数n=100，p=0.2的数学期望和方差：的数学期望和方差：解：解：n=100; p=0.2; E,D=binostat(n,p);结果显示：结果显示：E= 20 D= 16例例 绘制正态分布的密度函数、分布函数曲线，并求

22、均值绘制正态分布的密度函数、分布函数曲线，并求均值与方差与方差解： clearmu=2.5;sigma=0.6;x=(mu-4*sigma):0.005:(mu+4*sigma);y=normpdf(x,mu,sigma);f=normcdf(x,mu,sigma);plot(x,y,-g,x,f,:b)M,V=normstat(mu,sigma)legend(pdf,cdf,-1)6. 随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差M=2.5000V=0.360000.511.522.533.544.5501 pdfcdf 从图中可以看

23、出，正态密度曲线是关于从图中可以看出，正态密度曲线是关于x对称的钟形曲线对称的钟形曲线(两侧在两侧在处各有一个拐点处各有一个拐点)，正态累积分布曲线当正态累积分布曲线当x时时F(x)0.5。7. 逆累积分布函数逆累积分布函数逆累积分布函数就是前往给定概率条件下的自变逆累积分布函数就是前往给定概率条件下的自变量的临界值，实践上是分布函数的逆函数。量的临界值，实践上是分布函数的逆函数。icdf(Inverse Cumulative Distribution Function)即：在分布函数即：在分布函数F(x)=p中知中知p求其相对应的求其相对应的x的值的值调用：在分布函数名后加调用：在分布函数名

24、后加inv如如:X=norminv(p,mu,sgm)也有也有2)X=icdf(name,p,A1,A2,A3),其中其中name为为相应的函数名，如相应的函数名，如normal;p为给定的概率值；为给定的概率值；A1,A2,A3为相应的参数为相应的参数例、计算规范正态分布例、计算规范正态分布N(0,1)概率值概率值0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，所对应的，所对应的x的值的值命令：命令：y=0.1:0.2:0.9；x=norminv(y,0,1)结果：结果：x=-1.2816 -0.5244 0 0.5244 1.2816检验：检验：y1=normcdf(x,0,1);y1=0.100

25、0 0.3000 0.5000 0.7000 0.90007. 逆累积分布函数逆累积分布函数例、计算二项分布例、计算二项分布b(10,0.5)概率值概率值0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，所对应的，所对应的x的值的值命令：命令：p=0.1:0.2:0.9;x=binoinv(p,10,0.5)结果：结果：x=3 4 5 6 7检验：检验：y1=binocdf(x,10,0.5);结果：结果：y1=0.1719 0.3770 0.6230 0.8281 0.94537. 逆累积分布函数逆累积分布函数7. 逆累积分布函数逆累积分布函数 在离散分布情形下，在离散分布情形下，icdf 前往使前往

26、使cdf(x)p的第一个值的第一个值x上例中，对上例中，对p=0.1，对应，对应cdf(x)0.1的第一个值为的第一个值为3，故前，故前往值为往值为3B(10,0.5)的分布函数图像的分布函数图像命令：命令：x=0.1,0.05,0.025;y=chi2inv(1-x,8)结果：结果：y=13.3616 15.5073 17.5345定义：上定义：上 分位点：设随机变量分位点：设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：F(x),假照实数假照实数 满足满足P(X )= ,那么称那么称 为上为上 分位点分位点xxx例例14、计算自在度为、计算自在度为8的卡方分布的上的卡方分布的上 分位点，分位点，

27、其中其中=0.1，0.05，0.0257.逆累积分布函数逆累积分布函数-上上分位点分位点例 规范正态分布分位数的概念图示。解解 %分位数表示图规范正态分布，分位数表示图规范正态分布，=0.05clear,clfdata=normrnd(0,1,300,1);xalpha1=norminv(0.05,0,1);xalpha2=norminv(0.95,0,1);xalpha3=norminv(0.025,0,1);xalpha4=norminv(0.975,0,1);subplot(3,1,1)capaplot(data,-inf,xalpha1);axis(-3,3,0,0.45)subplo

28、t(3,1,2)capaplot(data,xalpha2,inf);axis(-3,3,0,0.45)subplot(3,1,3)capaplot(data,-inf,xalpha3);axis(-3,3,0,0.45)hold oncapaplot(data,xalpha4,inf);axis(-3,3,0,0.45)hold offxalpha1 xalpha2 xalpha3 xalpha4-3-2-1012300.20.4Probability Between Limits = 0.063571-3-2-1012300.20.4Probability Between Limits =

29、 0.058995-3-2-1012300.20.4Probability Between Limits = 0.031504xalpha1 = -1.6449xalpha2 = 1.6449xalpha3 = -1.9600 xalpha4 = 1.96008. 中心极限定理中心极限定理例例1利用随机数样本验证中心极限定理利用随机数样本验证中心极限定理独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态分独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态分布，经过产生容量为布，经过产生容量为n的的poiss分布和分布和exp分布的样分布的样本，研讨其和的渐近分布。本，研讨其和的渐近分布。 算法如下：算法如下：

30、 产生容量为产生容量为n的独立同分布的随机数样本，得的独立同分布的随机数样本，得其均值和规范差；其均值和规范差； 将随机数样本和规范化；将随机数样本和规范化； 反复、；反复、； 验证所得规范化的随机数样本和能否服从规范验证所得规范化的随机数样本和能否服从规范正态分布正态分布 clearn=2000;means=0;s=0;y=;lamda=4;a=lamda;for i=1:n r=poissrnd(a,n,1);%可换成可换成r=exprnd(a,n,1)； means=mean(r);%计算样本均值计算样本均值 s=std(r);%计算样本规范差计算样本规范差 y(i)=sqrt(n).*

31、(means-a)./sqrt(s);endnormplot(y);%分布的正态性检验分布的正态性检验title(poiss分布，中心极限定理分布，中心极限定理)8. 中心极限定理中心极限定理-5-4-3-2-10123450.0010.0030.010.020.000.750.900.950.980.990.9970.999DataProbabilitypoiss分 布 ， 中 心 极 限 定 理-6-4-2024680.0010.0030.010.020.000.750.900.950.980.990.9970.999DataProbabil

32、ityexp分 布 ， 中 心 极 限 定 理8. 中心极限定理中心极限定理棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理的运用拉普拉斯定理的运用Galton钉板模型和二项分布钉板模型和二项分布Galton钉板实验是由英国生物统计学家和人类学家钉板实验是由英国生物统计学家和人类学家Galton设计的。故而得名。设计的。故而得名。经过模拟经过模拟Calton钉板实验，察看和领会二项分布概率分布钉板实验，察看和领会二项分布概率分布列的意义、笼统地了解列的意义、笼统地了解De Moivre -Laplace中心极限定理。中心极限定理。Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8W

33、,XX(15,0.5)b,YY(15,0.5)b sign()/ 2WXYXY8. 中心极限定理中心极限定理W取值从取值从-8到到8落下的位置为落下的位置为15层中向右的次数层中向右的次数减向左的次数减向左的次数Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8151kkX) 51 , 0 (N) , (2nnN1, 1,kX(1,2,15)k kk151, 0 1522nn8. 中心极限定理中心极限定理模拟模拟Galton钉板实验的步骤：钉板实验的步骤： (1) 确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵标存储在两个矩阵X

34、和和Y中。中。 (2) 在在Galton钉板实验中，小球每碰到钉钉板实验中，小球每碰到钉子下落时都具有两种能够性，设向右的概子下落时都具有两种能够性，设向右的概率为率为p，向左的概率为，向左的概率为q1-p，这里，这里p=0.5，表示向左向右的时机是一样的。表示向左向右的时机是一样的。8. 中心极限定理中心极限定理8. 中心极限定理中心极限定理模拟过程如下：首先产生一均匀随机数模拟过程如下：首先产生一均匀随机数u，这只需调用随，这只需调用随机数发生器指令机数发生器指令rand(m,n)。rand(m,n)指令：用来产生指令：用来产生mn个个(0,1)区间中的随机数，区间中的随机数，并将这些随机

35、数存于一个并将这些随机数存于一个mn矩阵中，每次调用矩阵中，每次调用rand(m,n)的结果都会不同。假设想坚持结果一致，可与的结果都会不同。假设想坚持结果一致，可与rand(seed,s)配合运用，这里配合运用，这里s是一个正整数，例如是一个正整数，例如 rand(seed,1),u=rand(1,6)u = 0.5129 0.4605 0.3504 0.0950 0.4337 0.7092而且再次运转该指令时结果坚持不变。除非重设种子而且再次运转该指令时结果坚持不变。除非重设种子seed的值，如的值，如 rand(seed,2),u=rand(1,6)u = 0.0258 0.9210 0

36、.7008 0.1901 0.8673 0.4185这样结果才会产生变化。这样结果才会产生变化。8. 中心极限定理中心极限定理将0,1区间分成两段，区间0,p)和p,1。假设随机数u属于0,p)，让小球向右落下；假设u属于p,1 ，让小球向左落下。将这一过程反复n次，并用直线衔接小球落下时所经过的点，这样就模拟了小球从顶端随机地落人某一格子的过程。 (3) 模拟小球堆积的外形。输入扔球次数m(例如m50、100、500等等)，计算落在第i个格子的小球数在总球数m中所占的比例，这样当模拟终了时，就得到了频率用频率反映小球的堆积外形nimmfii, 1 , 0,(4)用如下动画指令制造动画：用如下动画指令制造动画： movien(n)：创建动画矩阵；制造动画矩：创建动画矩阵；制造动画矩阵数据；阵数据； Getframe：拷贝动画矩阵；：拷贝动画矩阵； movie(Mat, m)：播放动画矩阵：播放动画矩阵m次。次。 M文件如下：文件如下：8. 中心极限定理中心极限定理解： clear,clf,m=100;n=5;y0=2;%设置