大学高等数学第七章1线性方程组的求解ppt课件

1、线性方程组及其解法 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 线性方程组的解的构造线性方程组的解的构造线性方程组的求解线性方程组的求解第七章第七章向量与线性方程组向量与线性方程组 引例引例 一个方程对应一组数一个方程对应一组数1 12212,nnna xa xa xba aa b矩阵的一行对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。向量的定义向量的定义由由n个数个数12,na aa组成的有序数组组成的有序数组12(,)na aa称为一个称为一个 n 维行向量，记作维行向量，记作12(,)na aa，其中，其中称为向量

2、称为向量ia的第的第i个分量或坐标。个分量或坐标。假设将有序数组写成一列的方式，那么称向量假设将有序数组写成一列的方式，那么称向量为列向量。为列向量。12naaa实践上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。实践上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。几个概念几个概念1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量：假设向量、相等向量：假设向量 与与 是同维向量，而且对应是同维向量，而且对应 的分量相等，那么称向量的分量相等，那么称向量 与与 相等。相等。3、零向量：分量都是、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作的向量称为

3、零向量，记作O。4、负向量：称向量、负向量：称向量 为向量为向量 的负向量，记作的负向量，记作 。12,naaa12,na aa12,n 5、向量组：假设、向量组：假设n个向量个向量 是同维向量，那么称为是同维向量，那么称为 向量组向量组 12,n 向量的线性运算向量的线性运算1、向量的加减法、向量的加减法，称向量，称向量设设1212, , =,nna aab bb，那么称向量，那么称向量1122,nnab abab为向量为向量 与向量与向量 的和向的和向量，记作量，记作1122,nnab abab为向量为向量 与向量与向量 的差向量，记作的差向量，记作 。2、数乘向量、数乘向量向量的加、减、

4、数乘运算称为向量的线性运算。向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。12(,), ,na aaR设向量设向量那么称向量那么称向量12(,)naaa为数为数 与向量与向量 的数称向量，记作的数称向量，记作 向量线性运算的运算律向量线性运算的运算律1 （）交换律交换律结合律结合律分配律分配律2 （ ） （）（）(4) ()o o（3）(8) () (5) 1(6) ()()() (7) （）=例例1210 11334 设向量（ ， ， ） ， （， ， ），求 343 2104113 63 04 412 10712 ， ， ， ， ， ，解解 练习：知练习：知 ，求，求 3,5,7,9 ,1,5

5、,2,0 , 解解 4,0, 5, 9 向量的线性关系向量的线性关系解解 设设1122kk那么那么121122122512382613kkkkkkkk所以所以122线性组合的概念：设有同维向量线性组合的概念：设有同维向量 ，假设存在，假设存在一组数一组数 ，使得，使得 成立，成立，那么称向量那么称向量 可由向量组可由向量组 线性表示，或称向量线性表示，或称向量 是向量组是向量组 的线性组合。的线性组合。12,n 12,nk kk1122nnkkk12,n 12,n 例例212121（， ， ），（2，3，6）， =（5，8，13），设设判别向量判别向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示？假设

6、可以，求出线性表示？假设可以，求出表达式。表达式。12，1122nnxxx小结：小结： 可由向量组可由向量组线性表示线性表示 线性方程组线性方程组 有解有解12n， ，线性相关、线性无关的概念线性相关、线性无关的概念显然：含有零向量的向量组是线性相关的。显然：含有零向量的向量组是线性相关的。由于由于121000nOO 12n， ，12,nk kk1122nnkkko12n， ，设有向量组设有向量组 ，假设存在一组不全为零的数，假设存在一组不全为零的数 ，使得，使得 成立，那么称成立，那么称向量组向量组 线性相关，否那么，称向量组线性相关，否那么，称向量组 线性无关。即当且仅当线性无关。即当且仅

7、当 全为零时，全为零时， 才成立，那么称向量组才成立，那么称向量组 线性无关。线性无关。12n， ，1122nnkkko12n， ，12,nk kk1210 0001000 0 0n， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1证明证明例例3证明以下向量组线性无关。证明以下向量组线性无关。 1 122nnkkko设设 120 00nkkk（ ， ， ， ）（ ， ， ， ）那么那么 12 0nkkk所以所以 12n， ， ，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。12n， ， ，称向量组称向量组 为为n维向量空间的单位坐标向量组。维向量空间的单位坐标向量组。 任何一个任何一个n维向量维向量 都

8、可由向量组都可由向量组 线性表示，线性表示，12,na aa12n， ， ，12naaa12n例例4 讨论向量组讨论向量组12112 210 2151， ， ， ， ， ， ，342 0 313110 41， ， ， ， ， ， ，的线性相关性的线性相关性解解 设设112233440kkkk那么那么134124123123412342020230254030kkkkkkkkkkkkkkkkk利用矩阵的初等变换，可求得利用矩阵的初等变换，可求得12342, 1, 0kkkk 注：有无穷多组解注：有无穷多组解可见，向量组可见，向量组线性相关线性相关齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解12,

9、n 11220nnxxx练习练习 判别向量组的线性相关性判别向量组的线性相关性 1232,1, 1, 1 ,0,3, 2,0 ,2,4, 3, 1 解解 设设 1122330kkk那么有那么有 13123123132203402300kkkkkkkkkk由于由于 1231,1,1kkk 是方程组的一组非零解是方程组的一组非零解 所以所以 123, 线性相关线性相关证明证明例例5 知向量组知向量组 线性无关，证明：向量组线性无关，证明：向量组 线性无关。线性无关。123，122331，1122233310kkk设设 1311222330kkkkkk（）（）（）那么那么 123，由于由于 线性无关

10、线性无关323000kkkkkk112所以有所以有 230kkk1解得解得 122331，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。例例6 设设123, 线性无关，又线性无关，又312323，试证明，试证明123, 线性相关线性相关11232232,证明证明 设设1122330kkk那么有那么2)()(23)0kkkkkkkk 由于由于123, 线性无关线性无关所以有所以有13123123200230kkkkkkkk由于由于1021110213所以所以123,k k k不全为零不全为零所以所以123, 线性相关线性相关现实上，可取现实上，可取1232,1,1kkk 证

11、明证明 由于向量组由于向量组12m， ，线性相关线性相关所以存在一组不全为零的数所以存在一组不全为零的数mkkk,21，使得，使得02211kkkkmm那么那么0k否那么，假设否那么，假设0k那么由那么由m,21线性无关，线性无关，可推得可推得021mkkk于是向量组于是向量组12m， ，线性无关线性无关这与知矛盾，所以这与知矛盾，所以0k12m， ，定理定理 假设向量组假设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，那么向量线性相关，那么向量 可由向量组可由向量组 线性表示，而且表示方法独一。线性表示，而且表示方法独一。12m， ，12m， ，于是于是11221()mmkkkk

12、假设另有表达式假设另有表达式1122mmlll那么可得那么可得121122()()()0mmmkkklllkkk由于由于m,21线性无关，线性无关，所以所以), 2 , 1( mikklii且表示方法独一且表示方法独一所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示，线性表示，12m， ，所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。12m， ，定理定理 向量组向量组n,21线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量可由其他的向量组线性是该向量组中至少有一个向量可由其他的向量组线性表示。表示。证明证明 由于向量组由于向量组n,21线性相关线性相关所以存在不全为零的数所

13、以存在不全为零的数12,nk kk使得使得11220nnkkk无妨设无妨设10k 于是有于是有1223311()nnkkkk 反过来，假设有反过来，假设有23,n 1可由可由线性表示线性表示12233mmlll那么有那么有223310mmlll所以所以n,21线性相关线性相关例例7 设设21231,1,1 ,1,1,1 ,1,1,1,1, , 试问试问为何值时，为何值时，可由可由123, 线性表示，且表示线性表示，且表示方法独一？方法独一？解解 设设112233xxx那么那么有有12312321231111xxxxxxxxx*由于由于可由可由123, 线性表示，且表示方法独一线性表示，且表示方

14、法独一所以，方程组所以，方程组*只需独一的一组解只需独一的一组解所以有所以有1111110111解得解得03 且小结：小结：齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx只需零解只需零解12,n 线性相关线性相关向量组向量组1向量组向量组12,n 线性无关线性无关2(3) 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示12,n 线性方程组线性方程组 有解有解1122nnxxx向量组的线性相关性的几个性质定理向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关的充分必

15、要条件是对应分量成比例。、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 3、添加向量，不改动向量组的线性相关；减少向量，不改动、添加向量，不改动向量组的线性相关；减少向量，不改动 向量组的线性无关。即部分相关，那么整体相关；整体无关，向量组的线性无关。即部分相关，那么整体相关；整体无关， 那么部分无关。那么部分无关。4、添加分量，不改动向量组的线性无关；减少分量，不改动向、添加分量，不改动向量组的线性无关；减少分量，不改动向 量组的线性相关。即低维无关，那么高维无关；高维相关，量组的线性相关。即低维无关，那么高维无关；高维相关，那么那么 低维相关。低维相关。5、n+1 个个 n 维的向量构

16、成的向量组是线性相关的。维的向量构成的向量组是线性相关的。向量组的极大无关组向量组的极大无关组 假设向量组假设向量组 的部分组的部分组 满足满足1 线性无关；线性无关；2恣意添加一个向量恣意添加一个向量假设存在的话，向量组假设存在的话，向量组 线性相关。线性相关。那么称向量组那么称向量组 为向量组为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。12,n 12,riii 12,riiij j12,riii 12,riii 12,n 例如：向量组例如：向量组 1231,1,2,3 ,2,2,4,6 ,1,0,4,0123, 13, 线性相关，线性相关， 线性

17、无关。线性无关。向量组向量组 是向量组是向量组 的一个极大无关组。的一个极大无关组。13, 123, 向量组向量组 也是向量组也是向量组 的一个极大无关组。的一个极大无关组。23,123, 可见，一个向量组的极大无关组不是独一的。可见，一个向量组的极大无关组不是独一的。 向量组的秩向量组的秩 向量组向量组 的极大无关组中所含向量的个数，的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩。记作称为向量组的秩。记作12,n 12,nR 例如：向量组例如：向量组 1231,1,2,3 ,2,2,4,6 ,1,0,4,0的秩为的秩为 2 。 12,nRn 假设向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即假设向量组

18、的秩小于向量组所含向量的个数，即 ，那么向量组，那么向量组 线性相关。线性相关。12,n 矩阵矩阵A的秩的秩 = 矩阵矩阵A的行向量组的秩的行向量组的秩 = 矩阵矩阵A的列向量组的秩的列向量组的秩可利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组。可利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组。 12,nRn 假设向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即假设向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即 ，那么向量组，那么向量组 线性无关。线性无关。12,n 向量组的等价关系向量组的等价关系 假设向量组假设向量组A： 中的每一个向量可由向量中的每一个向量可由向量组组B： 线性表示，同时，向量组线性表示，同时，向

19、量组B中的每一中的每一个向量可由向量组个向量可由向量组A线性表示，那么称向量组线性表示，那么称向量组A与向量组与向量组B等价。等价。12,n 12,m 定理：等价向量组的秩相等。定理：等价向量组的秩相等。 一个向量组和它的恣意一个极大无关组是等价的。一个向量组和它的恣意一个极大无关组是等价的。 等价向量组的性质等价向量组的性质1反身性：向量组反身性：向量组A与本身等价；与本身等价；2对称性：假设向量组对称性：假设向量组A与与B等价，那么向量组等价，那么向量组B 与与A等价；等价；3传送性：假设传送性：假设A与与B等价，等价，B与与C等价，那么等价，那么A与与C等价。等价。例例1 判别以下向量组

20、的线性相关性判别以下向量组的线性相关性 12311,0,2,1 ,3,4,0, 2 ,1,4,4,0 解解 令令102134021440A102110211021340204610461144004610000 123,23RR A 由于由于123, 所以所以线性相关。线性相关。例例2 判别以下向量组的线性相关性判别以下向量组的线性相关性 12321,1,3, 4,2,0, 1,1,3,1,3, 2TTT解：令解：令113420113132A1134027902610A213123rrrr 3,R A 由于由于所以所以123,线性无关。线性无关。11340279001132rr例例3 求向量组

21、的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。余下的向量。123451,1,2,3 ,1, 1,1,1 ,1,3,3,5 ,4, 2,5,6 ,3, 1, 5, 7 解解 构成矩阵，令构成矩阵，令 1234511231111133542563157A12131415111230212021206364021232131415143rrrrrrrr12132142152111230212000020000300002于是，于是， 12345,2R 12, 是它的一个极大无关组。是它的一个极大无关组。 且且 3124125122,3,2

22、3242523rrrrrr例例4 求以下向量组的一个极大无关组求以下向量组的一个极大无关组12341201 ,01011302 ,121 1解法解法1：作矩阵：作矩阵31241rrrrr123124112010101000000101234120101011302121 1A1241312120101010010000034rr记作记作1234B1234A例例4 求以下向量组的一个极大无关组求以下向量组的一个极大无关组12341201 ,01011302 ,121 1解法解法1：. . . . . .1241312120101010010000034rr记作记作1234B所以所以123124, 与与等价，故有一样的秩。等价，故有一样的秩。由于由于123124, 是由是由经初等行变换而得，经初等行变换而得