2017年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷

1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后， 用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使

2、用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1 .已知集合 A x|x 1 , B x|3x 1,则A.AI Bx|x0B.AUBRC.AU Bx|x1D.AI B2 .如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是B.-8D.43 .设有下面四个命题P1 :若复数z满足1 R ,则z R ;zP2:若复数z满足z

3、2R ,则z R ;P3：若复数 Zi,Z2 满足 ZiZ2 R ,则 Zi z2 ；P4:若复数z R ,则N R .其中的真命题为AP1, P3B. Pi, P4C. P2, P3D. P2, P44.记Sn为等差数列an的前n项和.若a4 a5 24 , S648 ,则 an的公差为A. 1B. 2C. 4D. 85 .函数f(x)在()单调递减，且为奇函数.若则满足 1f(x 2) 1的x的取值范围是A 2,2B. 1,1C.0,4D.1,36 . (1 4)(1x)6展开式中x2的系数为xA. 15B. 20C.30D.357 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形

4、和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12.该多C.14D.168 .右面程序框图是为了求出满足 3n 2n 1000的最小偶数n，那么在。和;两个空白框中，可以分别填入A.1000和B.1000和C.1000和D.1000和9 .已知曲线Cy2 、 cosx,C2:y sin(2x ),则下 3是ThV一"面结论正确的是A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移B.C.单位长度，得到曲线C2把Ci上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度，得到曲线 C2把Ci上各点的横

5、坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移花121一倍，纵坐标不变,2再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2，一1 .、D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移212个单位长度，得到曲线 C2210 .已知F为抛物线C : y 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线li,l2,直线li与C交 于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则| AB+| DE的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 1011 .设xyz为正数，且2x 3y 5z,则A.2x3y5zB. 5z2x3yC.3y5z2xD. 3y2x5z12 .几位大学生响应国家

6、的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,，其中第一项 是2°,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是 2°,21,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N 100且该数列的前N项和为2的整数哥。那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知向量 a, b 的夹角为 60°

7、 , |a|=2, |b|=1，则| a +2 b |=.x 2y 114.设x,y满足约束条件 2x y 1 ,则z 3x 2y的最小值为.x y 022x y15. 已知双曲线C:二2T 1(a 0,b 0)的右顶点为A以A为圆心，b为半径做圆A, a b圆A与双曲线 C的一条渐近线交于M N两点。若 MAN 60°,则C的离心率为16. 如图，圆形纸片的圆心为 Q半彳仝为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC勺中心为 Q D E、F为圆。上的点， DBC AEC/A 4FAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC CA AB为折痕折起 DBC E

8、C/A FAEB使得 D E、F重合，得到三棱锥。当 ABCW边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为O三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。a217. (12分) ABC勺内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 ABC勺面积为 3sin A(1)求 sin BsinC;(2)若 6cos BcosC 1,a 3 ,求 ABC勺周长.18. (12 分)如图，在四棱锥 P-ABC珅，AB/CD,且 BAP CDP 90o.(1)

9、证明：平面 PABL平面PAD(2)若 PA=PD=AB=DC APD 900,求二面角 A-PBC 的余弦值.19. (12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N( , 2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行

10、检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 161 16经计算得X x 9.97, s LL (x x)2 J( x216x2)20.212,16 i1116i 116i 1 i其中X为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16 .用样本平均数x作为 的估计值？，用样本标准差s作为 的估计值？，利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?, ? 3?)之外的数据，

11、用剩下的数据估计和(精确到0.01 ).附：若随机变量 Z服从正态分布 N( , 2),则P( 3 Z 3 ) 0.997 4 , 0.997 416 0.959 2, j0.008 0.09 .20. (12 分)22已知椭圆 C： x2 与=1 (a>b>0),四点 R (1,1 ), B (0,1 ), R (T, 3), P4 (1, a2 b22)中恰有三点在椭圆 C上.2(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 -1,证明：l过定点.21. (12 分)已知函数 f(x) ae2x (a 2)ex x(1)

12、讨论f (x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22. 选彳44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线c的参数方程为 x 3cos ' ( 0为参数)，直线l的参数方y sin ,程为x a 4t,(t为参数). y 1 t,(1)若a=-1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为 折，求a.23. 选彳45:不等式选讲(10分)已知函数 f(x)x2 ax 4, g(x) | x 1| | x 1|(1)当a 1时，求不等式f (x)

13、Rg (x)的解集；(2)若不等式f (x) ng (x)的解集包含-1, 1,求a的取值范围2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1. A2. B 3. B 4. C 5. D 6. C7. B8. D 9. D10. A 11. D 12. A二、填空题:本题共 4小题，每小题5分，共20分。13. 2,314. -515.2.316. 4715cm3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为

14、选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17. （12分）ABC勺内角A B, C的对边分别为a, b, c,已知 ABC勺面积为2a3sin A11）求 sin Bsin C;（2）若 6cosBcosC=1, a=3,求 ABC勺周长.解：（1）a3sin A1a 1由题设得一acsin B ,即一 csinB23sin A 2一 1sin A由正弦定理得1sinCsinB -snA23sin A2故sin BsinC 一 。3由题设及（1）得 cosBcosC sin Bsin C2所以B C ，故A 331 a2._由题设得 一 bcsinA ,即bc 82 3sin A1

15、2'即 cos（BC）由余弦定理得b22_2c bc 9,即（b c）故ABC的周长为3底18. （12 分）解:(1)由已知 BAP CDP 900,得 AB AP , CD PD由于AB/CD，故AB PD ,从而AB 平面PAD又AB 平面PAB ,所以平面PAB 平面PAD(2)在平面PAD内作PF AD ,垂足为F由(1)可知，AB 平面PAD，故AB PF ,可彳导PF 平面ABCDuuuuuru以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，| AB |为单由(1)及已知可得A(-22,0,0), P(0,0,2 ,1,0), C(万,1,0)uuir所以PC22 uuu(,1,

16、 ),CB22一 uur 22 uuu(、2,0,0), PA 彳,0, 3),AB(0,1,0)(x, y, z)是平面PCB的法向量，则uur n PC uuu n CB0,即02x2y 0可取n (0, 1, 2)设m (x, y, z)是平面PAB的法向量，则urn PA uur AB°，即0.2z20,可取 m (1,0,1)19.(1)贝U cos n, m所以二面角A(12分)解:n m|n|m|PB C的余弦值为233抽取的一个零件的尺寸在(3 ,3 )之内的概率为0.9974 ,从而零件的尺寸在位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz(3,3 )之外的概率为0.

17、0026，故X B(16,0.0026),因此P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.997416 0.0408X的数学期望为EX 16 0.0026 0.0416(2) (i )如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有 0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3 ,3 )之外的零件的概率只有0.0408 ,发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上 述监控生产过程的方法是合理的。(ii)由X 9.97,s 0.212,得 的估计值为？ 9.97,的估计值为？ 0.212

18、, 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(？ 3?, ? 3?)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除(？ 3 ?, ? 3?)之外的数据9.22 ,剩下数据的平均数为1 (16 9.97 9.22)1510.02因此的估计值为10.0216 2 一 一 一 2Xi 16 0.212 i 14 一一 2-16 9.971591.134剔除(？ 3 ?, ? 3?)之外的数据9.22 ,剩下数据的样本方差为 (1591.134 9.222 15 10.022) 0.008 15因此的估计值为70.008 0.0920 . (12 分)解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知 C经

19、过P3,P4两点一，1113一一又由-2 -2 2 2知，C不经过点R ,所以点F2在C上a 故C的方程为工 y2 1 (2)设直线F2A与直线F2B的斜率分别为k1,k2如果l与x轴垂直，设l : x t ,由题设知t 0 ,且|t | 2 ,可得A, B的坐标分别为 b2 a2 4b2因此1记12 a1,34b2解得1b24 t24 t2储丁八丁则 k1k24t22. 4 t2 22t2t1 ,得t 2,不符合题设0c,28km4m 42,xx224k2 14k2 1y2 1x2由题设k1k21 ,故(2k 1)xx2(m 1)(x1 x2) 0即(2 k24m 41)-4k 1(m1宗8

20、km2X 2 从而可设l : y kx m(m 1),将y kx m代入一 y 1得4, 2,、 22-(4 k 1)x 8kmx 4m 4 0由题设可知16(4k2 m2 1)设 A(x1,y1), BNyz),则 x x?而k1 k2x1kx1 m 1 kx2 m 1又2x12 kxix2 (m 1)(x1 x2)x1x2解得k,一 .，,_m 1当且仅当m 1时， 0,于是l:ymx m,2所以l过定点(2, 1)21 . (12 分)解:(1) f(x)的定义域为(),f (x) 2ae2x (a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1)(i)若a 0,则f(x) 0,所以f(x)在

21、(，)单调递减 (ii )若 a 0,则由 f (x) 0的 x In a当 x (, In a)时，f (x) 0;当 x ( In a,)时，f (x) 0所以f(x)在(，lna)单调递减，在(lna,)单调递增。(2)(i)若a 0,由(1)知，f(x)至多有一个零点(ii )若a 0,由(1)知，当x lna时，f(x)取得最小值,1f( lna) 1 lna a当a 1时，由于f( lna) 0,故f(x)只有一个零点; 1当a (1,)时，由于1 a点；_ ,1当a (0,1)时，1 - lna a又 f ( 2) ae 4 (a 2)e2 2ln a 0 ,即 f ( ln a) 0 ,