第九章微分方程与差分方程简介

1、calculus第九章 微分方程与差分方程简介9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程9.3 高阶常系数线性微分方程9.4 差分方程的基本概念9.5 常系数线性差分方程9.6 高阶常系数线性差分方程calculus9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定义定义1：凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程calculus二、微分方程的阶定义定义2：微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶三、微分方程的解定义定义3：如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则

2、称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微分方程的特解calculus9.2 一阶微分方程( )( )0(113).9m x dxn y dy形如的方程称为变量已分离的微分方程一、可分离变量的微分方程(9 13)( )( )m x dxn y dycc将式两边同时积分，得(9-14)其中 为任意常数，(9-14)就是(9-13)的通解表达式calculus( ) ( )(9 15)( )( )( ) ( ).02dyf x g ydxm x n y dxp x q y dy形如或(9-16)的微分方程称

3、可分离变量的微分方程(9 15)( )01( )( )g ydyf x dxg y对于式，当时，可转化为(9 16)( )0( )( )0( )( )p xm xq ydxdyp xp y对于式，当时，可转化为calculus211xdyeydx例解微分方程：22101xydye dxy当时，分离变量得解:21xdye dxy两边同时积分得arcsin()xye dxcc因此通解为：为任意常数calculus210111yyyy 当时，有，显然和是该微分方程的两个奇解22112(1)1xydydxyxy 求定例 ：解问题22011xdxydyxy此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得解：ca

4、lculus2211xdxydycxy两边同时积分2211xyc得通解(1)12yc以代入通解得：22112xy因此满足定解条件的特解为：calculus22()()0 xyx dxyx y dy求微分方程例3：的通解22221)1)0011x ydxyxdyxdxydyxy分离变量得（解：122212111ln21xdxydycxyycx两边积分calculus122211cycxce 于是得到通解为其中为人员常数00(1)( )mlogisticdxxaxdtxx tx求解人口模4：型例calculus()mmxdxadtxx x这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德解：()mmxdxa

5、dtxx x两边积分得：1lnln()mxxxatc即：( )1matxx tec整理得：calculus1cce其中为任意常数0000( )1(1)atmx txcxex将初值条件代入上式得：0()0( )1 (1)ma t tmxx txex所以特解为：calculus( )(9 11).dyxfdxy形如的一阶微分方程称为一阶齐次微分方程二、齐次微分方程齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：,yuyuxxdyduuxdxdx令则calculus( )duuxf udx代入（9-17）式得( )duf uudxx即：uxyux此为可分

6、离变量的微分方程，可求 关于 的通解将代回得到原方程的通解calculus215( )dyyydxxx求解微分例方程：2,1yuxduuxuudx令则原方程化为：解：21(9 18)duxudx即：22101ududxxu当时，分离变量得：calculusarcsinlnuxc两边积分：arcsinln()yuxyxccx再将：代入上式的原方程通解为：为任意常数1uyxyx 显然为(9-18)的解，即和均为原方程的奇解calculus111222()(9 19)2.a xb ycdyfdxa xb yc形如的微分方程可利用适当的变量代换将其化为齐次方程或可分离变量微分方程，分三种情况讨论。12

7、(1)0,(9 19)cc若则本身就是一阶齐次微分方程。calculus11120221110002221122(20,00(,)0()abcxxaba xb ycyyxya xb ycabdfdab当 ，c 不全为 且 =时，令，其中是线性方程组的解则可将(9-19)化为关于 和 的齐次微分方程calculus11122222111111120,0(),()3)abcababkza xb yabzcdzab fdxkzc当 ，c 不全为 且 =时，此时，若令常数 ，则可将(9-19)化为可分离变量的微分方程calculus27221dyxydxxy求微分方程例 ：的通解112211022ab

8、ab因为解：,2121zxydzxdxz 令将原方程化为2131zdzxz分离变量得：calculus25ln 3139zzxc两边积分得：15ln 33139zxyyxxycc将代入上式，得原方程的通解为23其中 为任意常数calculus185dyyxdxyx例求微分方程：的通解1122112011abab解：因为0021035023xyxyyxxy 线性方程组的解为的解因此令代入原方程得：ddcalculus22ln()2arctanc解此齐次微分方程得通解为：222,33ln(2)(3) 2arctan2()xyyxycxc再将代入上式，得原方程的通解为为任意常数calculus 一阶

9、线性微分方程一阶线性微分方程 （linear differential equation of first order)1 1线性方程线性方程(linear differential equation)2 2伯努利方程伯努利方程(bernoulli differential equation)三三 小结小结 思考判断题思考判断题calculus一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xq当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的. .上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的. ., 0)( xq当当一一 线性方程线性方程(linear differential equation

10、)例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的; ;非线性的非线性的. .)()(xqyxpdxdy calculus. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,ln)(lncdxxpy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey1. 1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法( (使用分离变量法使用分离变量法) )calculus常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .作变换作变换,)()()()

11、()( dxxpdxxpexpxuexuy dxxpexuy)()(2. 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xqyxpdxdy calculus),()()(xqexudxxp 积分得积分得,)()()(cdxexqxudxxp 代代入入原原方方程程得得和和将将yy calculus一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解)()()(cdxexqeydxxpdxxpdxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(calculus,1)(xxp cdxexxeydxxdxx11sin解解例例1 1

12、.sin1的通解求方程xxyxy,sin)(xxxq calculus cdxexxexxlnlnsin cxdxxsin1 .cos1cxx calculus例例2 2 如图所示如图所示，平行与平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段pq之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxpq3xy )(xfy calculus dxexceydxdx23, 6632 xxcex,

13、0|0 xy由由, 6 c得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy calculus.2的通解求方程dyeyydxxdyy解解yeyxyy2方程改写为方程改写为不是一阶线性方程不是一阶线性方程把把x看作看作y的函数，于是变为的函数，于是变为yyexydydx1calculus)()()(cdyeyqexdyypdyyp11cdyeyeedyyydyycyyeycalculus222xxe yxe yx求微分方程+2例10：的通解22xyxyxe原方程变形为方法一，公式：法解+2：2222( )2 ,( )2,(922)( 2)xxdxxdxxp xx f xxeyexee

14、dxc则代入公式中calculus222( 2)()xxexdxcexc得：22()()xyexcc所以原方程的通解为：为任意常数calculus222()xxxe yxe ye y因为+方法二，凑微2分法2xe yx所以原方程变为（） =2calculus2222()xxe y xcy excc两边积分得通解为：=即 =（） 为任意常数22xyxyxe原方程变形为方法三，常数变+易法20yxy 其相应齐次方程为： +22,xycec其通解为： 为任意常数calculus22222222( )2( )2xxxxxxxycee cexe c x exe c x ex设为非齐次方程的解，代入原方程

15、得：22( )cxc xxc即：所以22()()xyexcc故原方程的通解为为任意常数calculus9.3 高阶常系数线性微分方程0(924),ypyqyp q形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数一、二阶常系数齐次线性微分方程12112212( ),( )(924)( )( )y xyxyc y xc yxcc定理1：如果函数都是齐次方程的解，则也是方程(9-24)的解，其中 ，为任意常数calculus12112212( ),( )( , )( )( )( )( )( )( ),y xyxa by xy xyxyxy xyxa b设两个函数在区间内有定义，(1 若常数，

16、即与不成比例，则称函数，在()内线定义1：性无关。112212( )()( )( )( )( )( ),y xky xyxyxy xyxa b若(1 若 常数 ，即与（2）则称函数，在()内线性相关。calculus12112212( ),( )( , )( )( )( )( )( )( ),y xyxa by xy xyxyxy xyxa b设两个函数在区间内有定义，(1 若常数，即与不成比例，则称函数，在()内线定义1：性无关。12112212( ),( )(924)( )( )y xyxyc y xc yxcc若函数是齐次方程的两个线性无关的解，则其通解为其中 ，为定理3：任意常数cal

17、culus 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, , 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有特征方程特征方程,2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy02 qprrcalculus 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为)0( ;2121xrxrececy calculus有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr

18、 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为,12xrxey 设另一特解为特征根为特征根为)0( ;)(121xrexccy calculus有一对共轭复根有一对共轭复根,1jr,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为)0( ).sincos(21xcxceyx calculus0ypyqy求二阶齐次线通解性微分方程步骤如下：200ypyqypq(1)写出的特征方程12(2)求出特征方程的两个根 、(3)根据特征根的不同情况写出

19、通解calculus.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexccy 例例1 1calculus.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例例2 2calculus00401,2xxyyyyy +4求2：题例解初值问212402 特征方程+4特征根为解：212()xycc e故通解为：2212(22)xyccc x e00121,210 xxyycc 将条件代入以上

20、两式中得，2xye故所求特解为calculus( )(926),( )ypyqyf xp qf x形如的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中为常数，为已知函数，且不恒为零二、二阶常系数非齐次线性微分方程(926)0yyypyqyyyy若 是非齐次方程的一个特解，而是相应的齐次方程的通解，则是非齐次方程(9-26定理4：)的通解calculus1.常数变易法11220( )( )ypyqyy xc y xc y首先假定齐次方程的通解已经求出，为(x)设设)()()()()()()()(22112211xyxcxyxcxyxcxyxcy)279( 对对x求导求导)279()()()()(

21、2211xyxcxyxcy为非齐次方程为非齐次方程)(xfqyypy calculus0)()()()(2211xyxcxyxc)()()()()()()()(22112211xyxcxyxcxyxcxyxcy )()()()(2211xyxcxyxcy令令则有则有二阶导数二阶导数calculus12( )0yyyy xyypyqy将 ， ， 代入非齐次方程(9-26)式，并注意到(x)齐次方程的解,经整理得：1122( )( )( )( )cx yxcx yf x(x)2211221122( )( )( )( )( )0(929)( )( )( )( )cxcxcx y xcx ycx yx

22、cx yf x于是得到关于，的二元一次方程组(x)(x)calculus121212( )( )(929)( ),( )( ),( )(926)y xyxcx cxc x cx当，线性无关时，方程组有唯一解解出再积分，求出一组原函数便得到非齐次方程的一个特解2sin2yyyx求微分方程34：+例的通解2320320yyy相应的齐次方程为其：特征方程为解212( )xxy xc ec e齐次方程通解为212,xxyeye因此calculus212( )( )( )xxy xc x ecx e设非齐次方程的一个特解为212212( )( )02( )( )sin2xxxxcx ecx ecx ec

23、x ex由(9-29)式可得212( )(sin2)( )(sin2xxcxexcxex 解上述方程组)calculus212( )( sincos1)( )( sincos2)xxc xexxcxexx 再积分：1221sincosyxx 所以原方程的一个特解为：131010212121sincosxxyc ec exxcc 故原方程的通解为：131010其中 ，为任意常数calculus2.待定系数法01( )nnf xaaxa x(1)( )0ypyqyf xypyqy对于方程对应的齐次方程的特征根的不同情况分三种情况讨论01010,nnnqybb xb xb bb1当，即零不是特征根时

24、，可设特解为其中、为待定系数calculus0100nnqpyx bb xb x当，但，即零是特征根时，可设特解为（2、）010100,nnnqpyx bb xb xb bb当，但，即零是二重特征根时，可设特解为（）用与1类似的方法可确定3、calculus222yyyxx例5：求方程 +的通解22020yyy相应的齐次方程为其：特征解方程为212xxyc ec e故齐次方程通解为0120nnqybb xb x ，故设特解为222212102(2)(22)2yyyb xbb xbbbxx将 ，(),（ ） 代入原方程得：calculus221210212()1222bbbbbb 比较等式两边同

25、次幂的系数得：21021,12bbbyxx 1解之，得：=- ，=02故非齐次方程的一个特解为22121212xxyc ec exxcc故原方程的通解为：其中，为任意常数calculus2yyx求方程 +的例6：一个特解2012010qpyx bb xb x 因为，但，所以它的设特解为（解：）22212106232yyyb xbb xb xbx将 ，(),（ ） 代入原方程得：221103162020bbbbb比较等式两边同次幂的系数得：calculus210321,123bbbyxxx 1解之，得：= ，=23故非齐次方程的一个特解为01( )()naxnf xeaaxa x(2)201(

26、)(2)()()naxaxaxnye zypyqyf xezaza zp zazqzeaaxa x首先对未知函数作变量代换，令将其代入非齐次方程得：calculus201(2)()nnzap zapaq zaaxa x即22,pap qapaq令01(930)nnzpzqzaaxa x则上式可写为：于是原方程转化为第1种类型，根据前面的讨论，可以得出如下结论：010nnpybb xb x当，即 不是特征根时，方程(9-30)特解可设为1、01( )()axnnypyqyf xyebb xb x于是非齐次方程的特解为：calculus0100nnqpzx bb xb x当，但，即 是单特征根时，

27、方程(9-30)特解可设为（2、）01( )()axnnypyqyf xyxebb xb x于是非齐次方程的特解为：20100nnqpzxbb xb x当，但，即 是二重特征根时，方程(9-30)特解可设为（3、）201( )()axnnypyqyf xyx ebb xb x于是非齐次方程的特解为：calculus23xyyyxe例7：求方程 +3的一个特解2011320()xayxebb x 因为是特征方程的单根，所以设原方程的特解为解：1012(2)3xxyyyb xbbexe将 ，(),（ ） 代入原方程得：1012320bbb比较等式两边同次幂的系数得：calculus01232332

28、xxbbyxex e 解之，得：=-3，故非齐次方程的一个特解为(21)xyyyxe求例8方程 -2的：一个特解22011210()xayx ebb x 因为是特征方程的二重根，所以设原方程的特解为解：calculus10(62)(21)xxyyyb xb exe将 ，(),（ ） 代入原方程得：106221bb比较等式两边同次幂的系数得：10232121111()()2332xxbbyx exexx1解之，得：= ，3故非齐次方程的一个特解为calculus( )(cossin)axf xemxnx(3)(cossin)axiyeaxbx根据方程的特征，可分为以下两种情况：若不是特征根，设特解为：1)(cossin)axiyxeaxbx若是特征根，2设特解为：)