确定主应力大小和方向问题分析

1、确定主应力大小和方向问题分析基础部 秦定龙问题的提出在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经 常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题， 以便于分析结构破 坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。图一 (a) 所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b) 所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成 的斜面上发生破 坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。在图二 (a) 中，钢筋混凝土简支梁的 两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的， 而图二 (b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是

2、根据图二 (a)中梁的主应力轨迹线布置的图一(a)(b)上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大 小的计算和确定主应力方向的问题。一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算 出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。本文就怎样快速准 确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。二 主应力大小及方向的确定方法图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。假定在一对 竖向平面上的正应力为 ,切应力为 ；在一对水平面上的正应力为 y ，切应力为 y，它们的大小和方向已经求出。现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力 即主应力的大小和方向。对应力 、 和角

3、度 的正负号规定如下：正应力 (或主应力 )以拉应力为正， 压应力为负； 切应力 对单元体内的任一点以顺时针转为正， 以反时针转时为负； 角度 以从x轴的正向出发量到截面的外法成 n 是反时针转为正，是顺时针转为负。 按照上述的规定，可以判断出， 、 、 及 是正值； 是正值， 是正值， 角是负值。a)主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。下面分别讨论之1确定主应力大小和主平面位置的解析法(b)图三根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出计算平面应力状态下单元的主应力公式如下：(1)由式 (1)可以看出，有两个根。因为说明 和 都能满足公式 (1)，这就是说，处于平面应力状

4、态下的单元体上有两个主平面， 并且这两个主平面应是互相垂直的。(单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力即为主应力。 )两个主平面上的主应力大小的计算公式为应力利用公式 (1)和(2) ，在已知y和 的情况下，就可以很容易的求出两个主的大小和相应主应力的方向，并且分别作在两个互相垂直的平面上。如图中所示的单元体，只要确定了主平面 ef 的位一个主平面gf 的位置也就随之确定了。现在的问题是：在 e f平面上，究竟作用的是主应力还是主应这就需要我们认真加以研究对待了。 我两个主应力的数值和根据公式就是 与某一个主应力的夹角 )，我们还必须进一步判断出力的方向。由式(1)可以看出，小于

5、或等于 ，因此以根据公式 (2) 计个主平定两个主平哪一个主的极穷大 (当总是小于或锐角，也就究竟平面应下的(也夹角，时的情况的那y作出应力圆如图四个主应力总是偏向于 x轴的。根据实践经验和理论分析知道，较大的主应力总是偏向 和 中的较大者，较小的主应力则总是偏向于 和 中的较小者。因此，可 以归纳出确定主应力方向的规则如下：当时，是与两个主应力中代数值较大者的夹角；当时，是与两个主应力中代数值较小者的夹角；当时，主应力的方向可以从单元体上的应力情况直观判断出来。为了便于记忆，可把上述的规则通俗的叙述为： “小偏小来大偏大，夹角不 比 大”。2确定主应力大小和主平面位置的应力圆法 关于用应力圆

6、确定主应力大小和主平面位置的方法， 现以图四 (a)所示的单元体为例介绍如下：首先根据单元体上的已知应力 、(b)昕示，然后从图上量得 ， 。现证明如下：因为：合起来就是：它与由解析法求得的主应力计算公式 (2) 相同此外，主应力的方向也可以由图四 (b) 求得。因为为 与 所夹角的二倍(即 )，而由 转至 是按顺时针转向，所以 应该是负值。据此，就可以在单 元体上 ，自 的方向，按顺时针转向量一角 就得到主应力 的方向, 的方向则 与 的方向垂直，如图四 (a) 中所示主应力分析实例例：图五 (a)所示的单元体，是从某受力构件 K点处截取出来的。已知x=25Mpa ， 。试用应力圆法和解析法

7、求出该单元体的主应力大小和方向。解：(一 ) 用应力圆法求解1 作应力圆建立直角坐标系 ，按选定的比例尺， 由 和 的值定出与 x面相对应的点；再由 和 y的值定出与 y面相对应的 点，连接 直线并交 轴于点，以 C为圆心， 为半径作一圆，即为该单元体的应力圆，见图五 (b) 所示(b)2 求主应力的大小应力圆上 A和B点分别为单元体上两个主平面所对应的点， 主应力的大小按所选 用的比例尺直接从图上量取得该单元体上有一拉一压两个主应力。由于主应力是按代数值顺序排列，为拉应力的是 ，为零是 ，为压应力的是 。因此，平面应力状态下的两个主应力若为一拉一压，则主拉应力为，主压应力为（因为）。3 求主应力的方向从应力圆上量得圆心角。，且 是由反时针方向旋转而得，所以 为正。 的主平面角，即在单元体上，由x轴开始反时针方向旋转就可以得到作用的主平面的外法线 n ，从而确定 的方向及其主平面的位置；至于 的方向则必定与 的方向垂直。由两个主平面组成的单元体也 画在图五 (a)中。(二)由解析法求解将大小，方向，即代入(2)和(1)式便可求出主应力的解得： 。