圆的综合专题

1、圆的综合专题一只野狼卧在草上勤奋地磨牙， 狐狸看到了，就对它说：天气这么好，大家在休息娱乐, 你也加入到我们队伍中吧！”野狼没有说话，继续磨牙，把它的牙齿磨得又尖又利。狐狸奇怪地问道：森林这么静，猎人和猎狗已经回家了，老虎也不在近处徘徊，又没有任何危险， 你何必那么用劲磨牙呢？”野狼停下来回答说：我磨牙并不是为了娱乐，你想想，如果有一天我被猎人或老虎追逐，到那时，我想磨牙也来不及了。”温馨提示：做事应该未雨绸缪，居安思危，这样在危险突然降临时，才不至于手忙脚乱。书到用时方恨少”，平时若不充实学问，临时抱佛脚是来不及的。机会只给那些有准备的人。 千万不要相信，临阵磨枪不快也光，那是自欺欺人。一、

2、圆1.圆的知识框架图2.在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A随之旋转所 形成的图形叫做圆。固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径，以点0为圆心的圆，记作。0,读作“圆3.在半径为R的圆上,n0的圆心角所对的弧LT的的计算公式为Rl1804点与圆的位置关系? 圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。? 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。? 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。? 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢?5. 圆的有关性质思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点

3、，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？6. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。7. |垂径定理| :垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。? 如图，P为O 0的弦BA延长线上一点，PA = AB = 2, P0 = 5,求O 0的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、 半径、弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三角形的问题。8. (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平

4、分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。(4) 圆的两条平行弦所夹的弧相等9. 圆的性质? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度a，都能与原来的图形重合。10. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角：顶点在圆心的角.11. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？

5、? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？12. 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。13思考:(1) 、同圆或等圆”的条件能否去掉？(2) 、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量也相等。14. 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是90° 90°的圆周角所对的弦是直径。1801180115. 由弧长公式可推出：n, R = 兀Rnn16. 如果扇形的半径为 R，圆心角为n0，扇形的弧长为I，那么扇形面积的计算公式为

6、：n 兀 R2 1SIR(注意：要根据已知条件选择适当的公式来求扇形面积)。360217. 如果弓形的面积是 S,弓形所在扇形的面积是S1，圆心角是n°,扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是$2,则(1)当n= 1800时，S=S1；(等于半圆)(2)当 nv 1800 时，S=S1 -S2 ；(小于半圆)(3)当 n > 1800 时，S=S1+S2 (大于半圆)18. 圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转 而成的曲面叫做面锥的侧面无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h

7、,地面半径为r,母线长为 |，贝U h2+r2= I2.19. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长I，弧长是圆锥的底面周长C = 2二r，侧面积S侧=二rl。20. 圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积(或表面积).S全=二rl 二r2例题精讲:1. 钟表的轴心到分针针端的长为 5cm,那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是 ()10 二20 二小25 二50(A) cm (B)cm (C)cm (D)cm33332. 有一张矩形纸片 ABCD其中AD=4cm 上面有一个以 AD为直径的半园，正好与对边BC相切，如图(甲)。将它沿DE折叠，是A点落在BC上,如图(乙)。

8、这时，半圆还露在外面的 部分(阴影部分)的面积是()(A) ( n - 2 3) cm? (B)( 1 n + -. 3 ) cmf2(D)D3将如右图所示的圆心角为 与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计90°的扇形纸片 AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA)，则围成的圆锥形纸帽是1 1P| | | | HA(B)I)°(第3题图) Ba(b)c则该圆锥的底面半径与母线长的比为(D)4: 14. 已知圆锥侧面展开图圆心角为90°,(A)1 : 2(B)2: 1(C)1: 45. 如图，点P在圆O外，OAL PA于A点，OP与圆周相交于点，点B与点A关于直线PO

9、对称，已知OA= 4, PA= 4 3.求(1) / POA的度数； 弦AB的长；(3) 阴影部分的面积6. 如图，梯形 ABCD中, AD/ BC, / D=90°,以 AB为直径的OO与CD相切于E,与BC相交于F,若AB=4, AD=1,则图中两阴影部分面积之和为多少 ？7. 如图， ABC内接于O O, AD丄BC于D, AE是O O的直径.若AB=6, AC=8, AE=10,求AD 的长.A(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；直 线I和O 0相交Q>d v r;(2) 相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直

10、线叫做圆的切线，公共 点叫做切点；直线 I和O 0相切"d = r ;(3) 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；直线I和O 0相离吒 d> r;3.判断直线与圆相切有哪些方法？(1) 利用切线的定义；(2) 禾U用圆心到直线的距离等于圆的半径；(3 )利用切线的判定定理。4.圆的切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线；经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。例题精讲：例1、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，AD和过C 点的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分/ DAB。分析：从条件想，CD是O O的切线，可考虑连结 CO,利用 切线的性质定理可知 0C丄CD

11、，由AD丄CD，易知 OC/ AD。如果从结论看，要证 AC平分/ DAB，须证 明/DAC = / CAB,由于/ CAB = Z ACO，所以只要证明 / DAC= / ACO 即可。例2、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径如图，用角尺的较短边紧靠O O于点A,并使较长边与O O 相切于点C,记角尺的直角顶点为 B,量得AB=8cm,BC=16cm.求O O的半径。分析：要求O O的半径，可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形，因为BC是O O的切线，所以连结OC,这样四边形 ABCO 是直角梯形，过 A点作OC的垂线，求得圆的半径。例3、如图，直线AB与O O相切于点C, AO与O

12、O交于点D,连CD。1求证：(1) ACD COD。2(2)若AC=4cm , O O的半径为3cm,求AD , CE的长。1分析：要证明 ACDCOD，需要找到一个角等于2-COD的一半，或者是/ ACD的两倍。因为直线 AB与O O 相切于点C,所以OC丄AB,因此考虑作/ COD的平分线。例4、（补充例题）已知如图，BC是与圆相切于点 求证：DC是O O的切线。B5.重心定理：三角形的三条中线交于一点， 这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

13、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。6圆与圆的位置关系两圆外切 d=R+r ；两圆内切，d=R r两圆相交， R r v dv R+r; 两圆外离：一d > R+r;两圆内含-d v R rRB , OC平行于弦CB定理即可例题精讲:【例1】如图，AC为O O的直径，B是O O外一点，AB交O O于E点，过E点作O O 的切线，交 BC于D点，DE = DC,作EF丄AC于F点，交AD于M点。(1) 求证：BC是O O的切线；(2) EM = FM。分析：(1

14、)由于AC为直径，可考虑连结 EC,构造直角三角形来解题，要证BC是O O的切线，证到/ 1 + Z 3 = 90°即可；(2)可证到EF / BC,考虑用比例线段证线段相等。证明：(1)连结 EC,v DE = CD ,/ 1 = Z 2/ DE BO O 于 E,./ 2=Z BAC/ AC 为直径，/ BAC +Z 3= 90°/ 1 + / 3 = 90°,故 BC 是O O 的切线。(2)/ 1 + Z 3= 90°,. BC丄AC、又 EF丄AC,. EF / BC EM _ AM _ MF"BD 一 AD 一 CD/ BD = C

15、D , EM = FM【例2】如图， ABC中，AB = AC , O是BC的中点， 点D。求证：AC是O O的切线。分析：由于O O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心 向AC作垂线段OE,证OE就是O O的半径即可。证明：连结OD、OA，作OE丄AC于E/ AB = AC , OB = OC , AO 是/ BAC 的平分线/ AB是O O的切线， OD丄AB又 OE丄AC,. OE= OD AC是O O的切线。【例3】如图，已知 AB是O O的直径，BC为O O的切线，切点为AD , OA = r。、(1)求证：CD是O O的切线；(2) 求AD OC的值；9(3) 若 AD + OC=

16、 r，求 CD 的长。2分析：(1)要证CD是O O的切线，由于 D在O O上，所以只须连结 OD，证OD丄DC即可；(2)求AD OC的值，一般是利用相似把 AD OC转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；(3)由9AD OC , AD + OC = -r可求出AD、OC,根据勾股 2求出CD。证明：(1)连结OD，证/ ODC = 900即可； (2)连结BD/ AB 为O O 的直径，/ ADB = 900 / OBC = 900, / ADB =/ OBC 又/ A = Z 3, ADB OBCAD ABOB =OC2二 AD OC =OB AB =2r29

17、(3)由(2)知 AD OC =2r，又知 AD + OC= r2292 AD、OC是关于x的方程x rx 2r =0的两根2r解此方程得x1, x2 =4r2/ OC > rOC= 4r CD = OC2 -OD2 二、16r2 - r2 二 J5r巩固拓展:O,【问题一】如图，以正方形 ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为CG切半圆于 E,交AD于F,交BA的延长线于 G, GA = 8。(1)求/ G的余弦值；(2)求AE的长。【问题二】如图，已知 ABC 中，AC = BC,/ CAB =:-(定值)，0 O的圆心 O在 AB上，并分别与 AC、BC相切于点P、Q。

18、(1) 求/ POQ;(2) 设D是CA延长线上的一个动点，DE与O O相切于点 M，点E在CB的延长线 上，试判断/ D0E的大小是否保持不变，并说明理由。当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功）一、选择题：1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3、正方形ABCD中，A、1 : 24、如图，过O O外一点 PB、PA上分别取一点 =（ ）abCBAE切以ECCBADACFDPEOFEB第4题图CBCDAlFABOBOAab

19、BC为直径的半圆于a b1 : 3BC与以AD为直径的O O相切于点 E, AB = 9, CD = 4BP作O O的两条切线 PA、PBDa b 交CD 1 : 4切点分别为E、F,使 AD = BE, BD = AF，连结C EA、 ab180°/ PB - A第6题图A、90°/ P1D、45° _ / P2APB = 78°，点C是O O上异于A、B的B O C 第3题图a bD、2于 F,贝U CF : FD =()D、2 : 5A、B ,连结 AB ,在 AB、DE、DF、EF，则/ EDF190° / P2二、填空题：5、已知PA

20、、PB是O O的切线，A、B是切点任一点，则/ ACB =6、如图，AB丄BC , DC丄BC则四边形ABCD的面积为_7、如图，O O为RtA ABC的内切圆，点 D、E、F为切点，若 AD = 6, BD = 4，则 ABC的面积为。8、 如图，已知 AB是O O的直径，BC是和O O相切于点 B的切线，过O O上A点的直线 AD / OC,若 OA = 2 且 AD + OC = 6,贝U CD =。第7题图第8题图第9题图2、在 Rt ABC 中，/ A = 900,点 O 在 BC 上，以E、F,若AB = a , AC = b，则O O的半径为（O为圆心的O O分别与AB、AC相切

21、于 ）9、如图，已知O O的直径为AB , BD = OB，/ CAB = 30°，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论(除OA = OB = BD夕卜)：;。10、 若圆外切等腰梯形 ABCD的面积为20，AD与BC之和为10,则圆的半径为 。 三、计算或证明题：11、如图，AB是半O O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不 与点M重合)，点Q在半O O上运动，且总保持PQ= PO,过点Q作O O的切线交BA的延 长线于点C。(1) 当/ QPA= 60°时，请你对厶QCP的形状做出猜想，并给予证明；(2) 当QP丄AB时， QCP的形状是三角形；

22、(3) 则(1) (2)得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时， QCP- -定是 三角形。第11题图12、如图，割线 ABC与O O相交于B、C两点，D为O O上一点，E为BC的中点, OE 交 BC 于 F, DE 交 AC 于 G,/ ADG =Z AGD。(1) 求证：AD是O O的切线；(2) 如果 AB = 2, AD = 4, EG = 2,求O O 的半径。EA第12题图13、如图，在 ABC中，/ ABC = 90°, O是AB上一点，以 0为圆心，0B为半径的 圆与AB交于点E,与AC切于点D , AD = 2, AE = 1,求S BCD。B第13题图14、如图，AB是半圆（圆心为 O）的直径，0D是半径，BM 切半圆于 B，0C与弦 AD平行且交BM于Co（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为X，点A到直线CD的距离为y ,试求出y与X之间的函数关系式，并