圆形磁场中地几个典型问题

1、出1圆形磁场中的几个典型问题许多冋学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错.常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”.对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.一、最值问题的解题关键一一抓弦长1 .求最长时间的问题例1真空中半径为 R=3 xi0-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度vo=10 6m / s从磁场边界上直径ab 一端a点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=10 8C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速 度

2、的方向应如何？（以 vo与Oa的夹角 表示）最长运动时间多长?小结：本题涉及的是一个动态问题， 即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化， 使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长 为圆形磁场直径时，偏转角最大.S 32 .求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为 m ,电量为q,以平行于 Ox轴的速度v从y轴上的a点射人如图3所示第一象限的区域. 为 了使该质点能从 x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可 在适当的地方加一个垂直于 xoy平面、磁感应强度为 B的匀强

3、磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计.小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁 场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长.二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的

4、半径与圆轨迹A甲X X半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入 射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速 度方向平行，如乙图所示。例3如图5所示，x轴正方向水平向右， y轴正方向竖直向 上.在半径为 R的圆形区域内加一与 xoy平面垂直的匀强磁场. 在 坐标原点 0处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量 m、电何量q ( q > 0)且初速为vo的带电粒子，不计重力.调节坐标原点0处的带电微粒发射装置，使其在 xoy平面内不断地以相

5、同速率vo沿不同方向将这种带电微粒射入x轴上方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出，则带电微粒的速度必须满足什么条件?罔7y轴左侧（图中未画出），小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半 径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运 动规律求解问题.三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程例4如图7所示，在xoy平面内x>0区域中，有一半圆 形匀强磁场区域，圆心为0 ,半径为 R =0.10m ，磁感应强度大 小为B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里.有一线状粒子源放在并不断沿平行于 x轴正方向释放出电荷量为q=+1.6 X10-19C ,初速度

6、vo = 1.6 X106m /s的粒子，粒子的质量为m =1.0 X10- 26kg，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从y轴任意位置（0, y）入射的粒子离开磁场时的坐标.点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用， 能较好的提高学 生思维.四、周期性问题的解题关键一一寻找圆心角1 .粒子周期性运动的问题例5如图9所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B .现有一质量为 m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从A 点沿aA方向

7、射出.求:(1 )若方向向外的磁场范围足够大，离子自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，最后又返回 A点，求返回 A点的最短时间及对应的速度.(2 )若向外的磁场是有界的，分布在以0点为圆心、半径为 R和2R的两半圆环之 间的区域，上述粒子仍从 A点沿QA方向射出且粒子仍能返回 A点，求其返回 A点的 最短时间.2 磁场发生周期性变化例6如图12所示，在地面上方 的真空室内，两块正对的平行金属板水 平放置.在两板之间有一匀强电场，场 强按如图13所示规律变化(沿 y轴 方向为正方向)在两板正中间有一圆形匀强磁场区域，磁感应强度按图14所示规律变化，如果建立电荷量 q =9.0 X10-6CB/

8、X 10 >團U所以要充分利用圆的对如图12所示的坐标系，在 t=0时刻有一质量 m=9.0 X10-9kg的带正电的小球，以 vo=1m / s的初速度沿 y轴方向从 点射入，分析小球在磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的 运动时间及离开时的位置坐标.小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆, 称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性.五、磁场问题的规律前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四 个共同点.（1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动.（2 ）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学

9、规律列方程求解.（3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量.（4 ）解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系；三是确定半径和周期， 构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题.【同步练习】1如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为 q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒 子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B 对

10、着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D .只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2.如图所示，长方形 abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m , 0、e分别是ad、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆 弧和以0为圆心0d为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂 直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）磁感应强度 B= 0.25T。一 群不计重力、质量m=3 xio-7kg、电荷量q=+2 X10-3C的带正 电粒子以速度 v=5 X102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人

11、磁场区域，则下列判断正确的是（）A 从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C 从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点團j3、一质量为带电量为的粒子以速度从0点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸处穿过面，粒子飞出磁场区后，从轴，速度方向与轴正向夹角为 30 °，如图1 所示（粒子重力 忽略不计）。试求：（ 1 ）圆形磁场区的最小面积；点八、（ 2）粒子从 O 点进入磁场区到达 所经历的时间；3）点的坐标。4、在xoy平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相

12、同速率一个垂直于沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能轴向平行于正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。5 如图所示，在坐标系 xoy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为 O1(a，0 )，圆内分 布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线 x=2a 的左侧区域内，有一沿 x轴负方向的匀强电场，场强大小为E, 质量为 m、电荷量为+ q (q>0 )的粒子以速度 v从0点垂直于磁场方向射入， 当入射速度方向沿 x轴方向时，粒子恰好从Oi点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：(1) 磁感应强度 B 的大小；文

13、档(2) 粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；(3) 若将电场方向变为沿 y轴负方向，电场强度大小不变， 粒子以速度v从0点垂直于磁场方向、并与 x轴正方向夹角9=30 0射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的1-2(EFF*/¥1oC1%/i i1 J11总时间t。6 .如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2lo到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电 场，其中x轴上方的电场方向沿 y轴负方向，x轴下 方的电场方向沿 y轴正方向。在电场左边界从 A (-2lo, - lo)点到C (- 2lo, 0)点区域内，连续分布着电量为 +q、质量为m的粒子。从某时

14、 刻起，A点到C点间的粒子依次连续以相同速度vo沿x轴正方向射入电场。从 A点射入的粒子恰好从y轴上的A (o ,- lo)点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒 子的重力及它们间的相互作用。(1 )求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度 E的大小。(2 )求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？(3)为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线 x=2 lo上的某点为圆心的圆 形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy平面向里的匀强磁场，使得沿 x轴正方向射出电场的 粒子经磁场偏转后，都能通过x=2 lo与圆形磁场边界的一个交点。则磁

15、场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度 B是多大?7 .如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度 Bi=1 T,方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C;第四象限中，由y轴、抛物线FG( y10x2 x 0.025，单位：m)和直线DH ( y x 0.425,单位：m )构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5 N/C的匀强电场；以及直线 DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5 T。现有大量质量m=1 X10-6 kg (重力不计)，电量大小为 q=2 X10-4 C, 速率均为20m/s

16、的带负电的粒子从 A处垂直磁场进入 第一象限，速度方向与 y轴夹角在0至180 0之间。(1 )求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；(2 )试证明这些粒子经过 x轴时速度方向均与 x轴垂直；(3)通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。8 .如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 Oi在x轴上，00i距离等于半圆磁场的半径，磁 感应强度大小为 Bi。虚线MN平行x轴且与半圆相切于 P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。Bi，B2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子， 以相同的速率沿不同方向从原点 0射入

17、第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为 m，电荷量为q (粒子重力不计)。求:(1 )粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。(2)若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从 y轴出电场时的坐标。(3)试证明：题中所有从原点 0进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。9 .如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内,存在着两个边长为 L的正方形匀强电场区域I、 n和两个直径为 L的圆形磁场区域川、w。电场 的场强大小均为 E,区域I的场强方向沿 x轴正 方向，其下边界在 x轴上，右边界刚好与区域n 的边界相切；区域n的场强方向

18、沿y轴正方向，其上边界在 x轴上，左边界刚好与刚好与区域w的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为坐标为(0,)、磁场方向垂直于 xOy平面向里。两个质量均为 m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为(-L，- )、( -L，)的两点。2224在x轴的正半轴(坐标原点除外)放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：(1 )粒子离开电场I时的速度大小。(2 )粒子M击中感光板的位置坐标。(3)粒子N在磁场中运动的时间。10 . 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度 ，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度

19、为B的圆形匀强磁场区域， 磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后， 从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为 30 °，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60 ° 角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示，粒子的重力不计，试求：(1) 圆形匀强磁场区域的最小面积；(2) c点到b点的距离。11 如图甲所示 质量m=8.0 xio-25kg，电荷量q=1.6 X1O-15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于 30。的范围内，粒子射入时1| 0的速度方向不同，但大小均为vo=2.O xi07m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏 MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(n=3.14