圆锥曲线常用结论

1、标准文档1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.圆锥曲线常用结论(自己选择) 椭 圆点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 2若Po(Xo,yo)在椭圆 笃 再=1上，则过Po的椭圆的切线方程是 暂辔 =1.a ba bX2y2若Po(Xo,yo)在椭圆2 =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点a b弦P1P2的直线方程是習嚳"a2b2

2、2 2X y椭圆2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为F1, F2，点P为椭圆上任意一点a by-F1PF2二，则椭圆的焦点角形的面积为S.PPF2二b2tan.2 2椭圆一2 '与=1 (a > b > 0)的焦半径公式：a b| MF1 |=a 飞心MF?卜a -e«( R(-c,0) , F2(c,0) M (x°, y。).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A为

3、椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M, A2P和AQ交于点 N贝U MFLNF.2AB是椭圆kOM kAB x y22 =1的不平行于对称轴的弦，M(X°,y°)为AB的中点，b2a b2 )ab2Xo20a yo2若Po(Xo, yo)在椭令 % = 1内，则被Po所平分的中点弦的方程a b 2Xox yoy _ X。yob2a2b22a22若Po(xo, yo)在椭圆X y22=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程a b2y x°xyoy2 = Z £b a b二、双曲线点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PFF2在点P处的内角

4、，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.2xa1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.实用文案以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)若Po(x°, yo)在双曲线2 2X y =1 (a>0,b >0)是xoxyo y胡a2b2若Po(Xo, yo)在双曲线2一 .2ab22Xy上，则过Po的双曲线的切线方程2 2 =1 (a > 0,b > 0) a b外，则过Po作双曲线的两条切2 2双曲线爲一爲=1a2 b2点FfF2

5、二,(a>0,b >o)的焦半径公式：(F-cQ),F2(c,0)2 2AB是双曲线二丄a的中点，贝U KomK ABb2Xo若P°(X0, y°)在双曲线方程是弩一迪a2b212a yo2 X2y2 ab22)2yo2b2.,即 K AB二 b2Xo_20a yo=1 (a>0,b >0)内，则被 Po所平分的中点弦的线切点为P1、Pa,则切点弦P1P2的直线方程是 弩一智 =1.a b(a>0,b >o)的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意则双曲线的焦点角形的面积为S -f1pf b2cot-.2 2 双曲线笃亠-1a2

6、b2当 M (xo, yo)在右支上时，| MF1 I二 exo a , | MF2 exo - a .当 M (xo, yo)在左支上时，| MF11 - -exo a , | MF21 - -ex()- a设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，则MFL NF.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点 M A2P和AQ交于点 N,贝U MFL NF.2 =1 (a> 0,b >0)的不平行于对称轴的弦，M(Xo, yo)为AB

7、b标准文档13.2 2Xy若P0( x0 , y0)在双曲线2 -1ab(a>0,b >0)内，则过 Po的弦中点的轨迹方1.2.3.4.程是笃a2 2 _ 2 b a b椭圆与双曲线的对偶性质椭(会推导的经典结论) 圆2X椭圆二 2 =1 ( a> b > o)的两个顶点为 A(-a,0), A2(a,0)，与y轴平行的直a b线交椭圆于Pi、P2时A1P1与AP交点的轨迹方程是2 22 2a b过椭圆a线交椭圆于当=1 (a > 0, b > 0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直 bb2XB,C两点，则直线BC有定向且kBC°

8、 (常数).2a y。若P为椭圆2=1 (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点，a b任 a - cot PPF1F，,PF2R =，贝Utan cot2 22 2X y设椭圆2 =1 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上a b任意一点，在 PF1F2 中，记 FFF2 = ： , PF1F F1F2 ，则有sin ：c=e sin，亠 sina2 2X y5.若椭圆二 2 =1 (a> b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0a bvew .2 -1时，可在椭圆上求一点P,使得PR

9、是P到对应准线距离d与PF>的比例中项.2 26. P为椭圆 令=1 (a> b> 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，a b则2|AF2|PA| |PF12a IAF1I,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成7.椭圆(X -X°)22a.(y -y。)2b2-1与直线 Ax B C=0有公共点的充要条件是2 2 2 2 2A a B b - (Ax0 By0 C).实用文案8.x2 y已知椭圆 r 牙=(a > b> 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_OQ. b12|OQ|a2b2-2 r2 .a b114a2b2二

10、 r -2 ； ( 2) |0P| 2+|OQ|2 的最大值为 r2 ； (3) S-opqa ba b的最小值是9.10.11.12.MN的垂直平分线交线与x轴相交于点2设P点是椭圆x2a记.EPF? - vx轴于P,则= e| MN |2=1 ( a >b > 0) ,A、B、是椭圆上的两点， 线段AB的垂直平分2 . 2 2 . 2a ba bP(x0,0),贝Vx° :a2待1 ( a > b>0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点2 b2L<则円汗即川%.八 PRF22 2与( a > b > 0 )的长轴两端点，P是椭圆上

11、的一点，a b PAB = ： , PBA = 1 , BPA二,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab2|cos： |:22a2b2(1) |PA| 222.(2) tan - tan - =1e .(3) S pab 22 cot .a c cos fb a设A B是椭圆c、2 2x v过椭圆r 2=1 (a> b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦a b2 2X V13.已知椭圆飞 亍=1 ( a > b> 0)的右准线I与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点Fa b的直线与椭圆相交于 A B两点，点C在右准线I上，且BC _ X轴，则直线 AC经过

12、线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线1.2双曲线一22=1 (a>0,b > 0)的两个顶点为 Aa,0) , A2(a,0

13、),与y轴a b2 2平行的直线交双曲线于P1、P2时AP1与A2P2交点的轨迹方程是 冷+厶=1.a2b22.22x y过双曲线 2 =1 (a>0,b >o) 上任一点 A(x0,y°)任意作两条倾斜角互a b补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线BC有定向且kBC二-聖a y(常数).3.2 2x y右P为双曲线一22=1 (a > 0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F 1,a bF 2 是焦点，.PRF2 -， PF2F '：，则cat a l co 4 (或 c a 224.2 2设双曲线笃占=1 (a>0,b >0)

14、a2 b2的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记 F1PF2 二:咛2f 则有 一(sin -sin Jce. a、x2y25. 若双曲线 2 =1 (a>0,b > 0)的左、右焦点分别为 F1、艮，左准线为L,a b则当1< e<1时，可在双曲线上求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF的比例中项.、x2y26. P为双曲线 2=1 (a>0,b >0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线a b内一定点，贝V | AF2 | -2a <| PA | ' | PF1 |,当且仅当 代F2

15、, P三点共线且 P和代F2在y轴同侧时，等号成立x2 y27. 双曲线 2 =1 (a> 0,b > 0)与直线Ax By0有公共点的充要条a b件是 A2a2 B2b2 乞 C2.、x2 y28. 已知双曲线 2 =1 (b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，a b且 OP _ OQ .1 2 2;(2) |OP| +|0Q|的最小值为/八111(1 )2 2 2|OP |2 |OQ |2 a2 b2&2的最小值是b -a2 2过双曲线 笃-爲=1 (a > 0,b > 0)的右焦点a2 b29.M,N两点，弦MN的垂直平分线交

16、 x轴于P,则10.11.12.13.2 222 ; (3) S -opqb -aF作直线交该双曲线的右支于|PF | _ e| MN |22 2x y已知双曲线 一22=1 (a> 0,b > 0) ,A、B是双曲线上的两点，a b垂直平分线与2 ,2a bx轴相父于点 P(x0,0),则x0或x0 <a线段 AB的a2 b22 2设P点是双曲线 笃-每=1 (a>0,b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1、F2a b2 b2 为其焦点记 FfF2 7 ,贝U (1)|PF1 |PF2 | 一 .(2)1 - cos日2 丫S 卩证=b cot 3.x2 y2

17、设A B是双曲线 2 =1 (a> 0,b >0)的长轴两端点，P是双曲线上的a b一点， PAB = >,- PBA=：2,. BPA = F, c、e分别是双曲线的半焦距2|PA 匸 2ab |cosa 丨1PA. 222.|a -c cos，|2a2b2y22 cot .b2 a2离心率，则有(1)(2) tan ： tan :2=1 e .(3) S Pab2x已知双曲线二a2斜1 (a>0,b >0的右准线I与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线I上，轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作

18、双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、夕卜点）.17. 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB = +k2风_x2 = +占| y<i _ y22、直线的一般式方程：任何直线均可写成 二'' - （A,B不同时为0）的形式。3、 知直线横