圆锥曲线中的定值定点问题

1、2019届高二文科数学新课改试验学案（10）-圆锥曲线中的定值定点问题22p21.已知椭圆C:笃Z =1 a b 0 的离心率为,点2,迁在C上.ab2（I）求C的方程；（II） 直线l不经过原点 O,且不平行于坐标轴，1与C有两个交点 A,B,线段AB中点为M, 证明：直线 OM的斜率与直线I的斜率乘积为定值.2 2xV2.已知椭圆C :盲+勺=1过点A（ 2,0），B（ 0,1 ）两点.ab（I）求椭圆C的方程及离心率;(n )设P为第三象限内一点且在椭圆 C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N , 求证：四边形ABNM的面积为定值22i3.椭圆C :=1 a b 0的离心率

2、为一，其左焦点到点 P 2,1的距离为 "0a b2(I)求椭圆C的标准方程(n )若直线l : y =kx ' m与椭圆C相交于 代B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标<圆锥曲线中的定值定点问题 >答案2 2X y1.【答案】（I）22 =1 （II）见试题解析84【解析】试题分怩 （：）由如兰二'上+上-h求得/-&新=4由此可得C曲方翟C-）把亶线芳程 a - c"写tffi區1片程联立猖（2k" -T-11 .V*十4规工亠22>- S = 0.

3、 ;Hrl<Z试题解析:解：由题意有=f乍咏 W.所硼圆（rn的方程兀二+二三1S- 帚（II）设直銭 I y-fQ.b 工O' 貝（心 yj（心，”）JEy= fcv十 bftAJ-+r = l8 =得f 2F 】用+4站玄一 2b2-S = 0.故心二宁二吾小二十方二于是宜统。时的斜率J二竺二一*即二 丄杞-I2k -1沁 .Ar%ic=- 一所以直銭OV的斜率与直线陨斜率乘和为定值，【苇点定位】本题主要芳查椭圆方程、直线与椭矗及计算能打逻辑推理能力.【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于a2,b2的两个方程，通过解方程组求出a2,b2解决此类问题要重视方程思想的应

4、用；第二问是证明问题，解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题2.【解折】试題分析二< I）根据商顶点坐标可知弟的值，则亦知稱圜方程，根捱桶圆性厉及商心率公式求解卩CH > 四边形ABNM的面积等于对角线乘积的一半，分另|谅出对角线|AN| = 0Z|的匱求乘枳沟是厳冋.试題解析：（0由题意彳寻，a = 2 f b=.所以課S圆的方程为+ J2 =1 H4又J/罗=J5,a 2<II>< A, < o 临0 t 则垢 +4岛3A2,O), B(O.l),所決.直线A的方程为，(x-7)花2主乂 = 0,得旺一三,从而

5、得网=1巧1+丄氓& 7'旳 _2直线PB的方程九-空二1工+ 1 .%令严-O,得斗一兀 j从而|九*|亠：2耳=2+_y -1>d -i期以四边形AUN1M的曲枳疋 + 理H) 国耳 一£>0 +I 一2兀 +耳立耳小一上“ _4諛打十却孔珈 一 E 2> 4- 2=2 .从而四边形-'i X.'-1的面积为定值.【名师点睛】 解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、 定值、定线应注意到繁难的代数运算是

6、此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的 运用可有效地简化运算3.解：（1） e = =-= a:b:23:1，设左焦点 FJ.c,0 a 2PR = J（ -c _2 j 十（0 _1 丫 = V10，解得 c = 12 2 a = 2,b 3椭圆方程为-y 143(2)由(1 )可知椭圆右顶点D 2,0设A x1, y( ,B x2, y2 ,以AB为直径的圆过 D 2,0tT.DA _ DB 即 DA _ DB . DA忒0< DA = x<| '2, yi , DB = X2 DA DB = % 2x2-2y1y2x1x2-2X!x24y1y2 = 0 联立直线与椭圆方程:y 二 kx m3x2 4y2 =122 2 2=3 4k x 8mkx 4 m - 3 = 08mk24 m-3x1必一产"二寸刁2 2y-iy2 = kx- m kx2 m = k x1x2 mk 为 x2m2 24k m3 8mk mk 2+ m =4k2 34k2 33m2 -12k24k23，代入到I 2DA DB =4 m 3 2 8mk4 3m :12k = 04k +324k 324k 34m2 -12 16mk 16k212 3m2 -12k224k23=02 27m 16mk 4k =0= 7m 2k m 2k = 02m