高二数学圆锥曲线练习题

1、名师精编欢迎下载数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线 )椭圆知识关系网1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、 F2 的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 ,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距 .第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆 ,定点叫做椭圆的焦点,定直线 l叫做椭圆的准线 ,常数 e叫做椭圆的离心率 .2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示 )标准方程x2y21(a b 0)x2y21(a b 0)a2b2b2a2图形椭圆注 :1. 焦半径 ( 椭圆上

2、一点到焦点的连线段 )公式不要求记忆 ,但要会运用椭圆的第二定义 .椭xa cos2.椭圆参数方程圆y：b sin如图点 N (a cos, b sin ) 的轨迹为椭圆 .例 1.F1，F2 是定点，且 |F1 F2|=6，动点 M 满足 |MF1 |+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是()(A) 椭圆(B) 直线(C)圆(D) 线段例 2.已知ABC 的周长是 16， A(3,0) ，B (3,0) ,则动点的轨迹方程是 ()(A) x 2y 21 (B) x2y 21( y0) (C) x2y 21(D) x 2y21( y0)2516251616251625例 3.若 F( c，0

3、) 是椭圆 x2y21的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为a2b2M，最小值为 m，则椭圆上与 F 点的距离等于 Mm 的点的坐标是 ( )2(A)( c，b2)( B)( c,b2)(C)(0，± b)(D)不存在椭aa圆如果椭圆 x2y2上有一点，它到左准线的距离为，那么点到例 4.1P259P2.5右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 ( ) 。(A)3 : 1(B)4:1(C)15:2(D)5:1顶点对称轴焦点焦距离心率准线方程点 P(x0,y0)的焦半径公式(a,0), (0, b)(0,a) , (b,0)x 轴， y 轴，长轴长为2a ，短轴长为 2bF1 (c,0)

4、 、 F2 (c,0)F1 (0,c) 、 F2 (0, c)焦距为 FF122c(c0), c2a2b2ec(0<e<1)axa 2a 2cyc|PF 右 |=a-ex0 ,|PF 左 |=a+ex0|PF 上 |=a-ey0 ,|PF 下 |=a+ey0( “左加右减 ”)例 5. 设 F1(- c，0) 、F2( c，0) 是椭圆 x2+ y2=1( a>b>0)的两个焦点，P是以1F2a2b2F为直径的圆与椭圆的一个交点 , 若 PF1F2=5 PF2F1, 则椭圆的离心率为 ( )(A)3(B)6(C)2(D)22323例 6. 设 A(2,3 )，椭圆 3x

5、24y2=48 的右焦点是 F，点 P 在椭圆上移动，当|AP|2|PF|取最小值时 P 点的坐标是 () 。(A)(0, 23 )(B)(0, 2 3) (C)(23, 3)(D)(2 3,3 )名师精编欢迎下载2y 21 上， F1、F2 是两个焦点，若 PF1PF2 ，则 P 点的例 7. P 点在椭圆 x2045坐标是.例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：( 1) 长轴与短轴的和为18，焦距为 6;.( 2) 焦点坐标为 ( 3,0),( 3,0),并且经过点 ( 2，1) ;.椭( 3) 椭圆的两个顶点坐标分别为( 3,0) ,(3,0),且短轴是长轴的1_.;圆33 ，经过点

6、 ( 2，0) ;( 4) 离心率为.2例 9. F1、 F2是椭圆 x2y21的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则 | PF1 | | PF2 |4的最大值是例 10. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在 x 轴上， e=3 ，过椭圆左焦点 F 的直220线交椭圆于 P、Q两点， |PQ|=，且 OPOQ，求此椭圆的方程 .双曲线知识关系网双 1.双曲线的定义：曲第一定义 ：平面内到两个定点F 1、 F2 的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点线的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距 .第二定义 : 平面内到定点F 与到定

7、直线 l 的距离之比是常数 e(e>1) 的点的轨迹是双曲线 ,定点叫做双曲线的焦点 ,定直线 l叫做双曲线的准线,常数 e 叫做双曲线的离心率 .2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示 )标准方程x2y 21(a0,b0)y2x2a2b2a2b21(a 0,b0)图形顶点( a,0)(0,a)对称轴x 轴， y 轴，实轴长为2a，虚轴长为2b焦点F1 ( c,0), F2 (c,0)F1 (0, c), F2 (0, c)焦距焦距为 FF22c( c0),c2a2b21离心率ce (e>1)a准线方程xa2ya 2cc如 需 要 用 到 焦 半 径 就 自 己 推 导 一

8、下 : 如 设 P( x0 , y0 ) 是 双 曲 线x2y21(a 0,b0)上一点,F右 (c,o) 为 右 焦 点 , 点 P 到 相 应 准 线a2b2点 P(x0,y0)l : xa2的距离为 d , 则 PF右ed .c2的焦半径2当 P 在右支上时 da )公式x0a ,PF右e( x0ex0a ;a2ce( a2c当 P 在左支上时 dx,PF右x0)aexc0c0x0 (ex0x0即|MF右|a) ,类似可推导 | MF左 |(ex0a)| x0 | x0 |例 11.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0)；命题乙： 点 P 的轨迹

9、是双曲线。则命题甲是命题乙的()(A) 充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D) 不充分也不必要条件双例 12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log2的点的轨迹是（）曲3线(A) 圆(B)椭圆(C)双曲线(D) 抛物线名师精编欢迎下载例 13.过点 (2 ， -2) 且与双曲线 x2y21 有相同渐近线的双曲线的方程是( )2(A) x 2y 21(B) y 2x 21(C) x 2y 21(D) y2x2142422424例 14. 如果双曲线的焦距为 6，两条准线间的距离为 4，那么双曲线的离心率为（ ）（A） 3（B） 3（C）6（D）2222例 15.如果双曲线 x

10、2y2上一点P到它的左焦点的距离是，那么点P到641836它的右准线的距离是 ()(A) 32(B) 64(C) 96( D) 1285双曲 线 x2555例 16.y21(n1) 的两焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足n双PF1PF22 n2 ,则PF1 F2 的面积为 ()曲(B) 1线 (A)1(C)2(D )421 sin C ，则第三个顶例 17.设 ABC 的顶点 A( 4,0)， B(4,0)，且 sin A sin B2点 C 的轨迹方程是 _.例 18. 连结双曲线x2y21与y2x2( a0，b 0) 的四个顶点的四边形a2b2b2a 21面积为 S1 ，连结四个焦

11、点的四边形的面积为S2，则 S1的最大值是 _S2例 19.根据下列条件，求双曲线方程 :与双曲线 x2y21 有共同渐近线，且过点 (- 3， 23 ) ；916与双曲线 x2y21 有公共焦点，且过点 ( 32 ，2).1642y例 20. 设双曲线 x21上两点 A 、 B， AB 中点 M （1，2）求直线 AB 方程；如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、 D 两点，那么 A 、B、 C、 D 是否共圆，为什么？抛物线知识关系网1.抛物线的定义 :平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 l上).定点 F 叫做抛物线的焦点 , 定直线 l

12、叫做抛物线的准线 . 2.抛物线的标准方程及其几何性质 (如下表所示 )标准方程2px(p 0)x2 2py( p 0)x22pyp( 0)y2 2px(p 0)y2图形抛物线对称轴x 轴x 轴y轴y轴焦点F ( p ,0)F (p ,0)F (0, p)F (0,p )2222顶点原点 (0,0)准线pxppypx2y222离心率e1点用到焦半径自己推导一下即可P(x0,y0)如 :开口向右的抛物线上的点P(x00 的焦半径等于 0p的焦半径,y )x + .2公式注:1.通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦 .y 22 px ( 或 x 2x2 pt2x2 pt2.2 py

13、) 的参数方程为)( t 为参数 ) .( 或2 pt 2y2 pty名师精编欢迎下载例 21.顶点在原点，焦点是(0, 2) 的抛物线方程是 ( )(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2= 8x例 22.抛物线 y 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ()(A) 17(B) 15(C) 7(D)016168例 23.过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有 ()(A)4 条(B)3 条(C)2 条(D)1 条例 24.过抛物线 yax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ

14、的长分别为 p、 q，则 11 等于()pq(A)2a(B) 1(C)4a(D) 4抛2aa物例 25.若点 A 的坐标为 (3， 2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移线动，为使 |PA|+|PF|取最小值， P 点的坐标为 ()(A)(3，3)(B)(2， 2)(C)( 1 ，1)(D)(0 ，0)例 26.动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=- 22M 的轨迹方程相切，则圆心是.例 27. 过抛物线 y2 2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点， 设这两点的纵坐标为 y1、 y2 ，则 y1y2 _.例28. 以 抛物 线 x23y 的焦点为圆心 ，通 径长

15、为 半径的圆的方 程是_.例 29. 过点 (- 1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范围是.例 30 设 p0 是一常数，过点 Q(2 p,0) 的直线与抛物线y22 px 交于相异两点A、B，以线段 AB 为直经作圆 H（ H 为圆心）。( )试证 :抛物线顶点在圆H 的圆周上；( )求圆 H 的面积最小时直线AB 的方程 .轨上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：迹如何求曲线 ( 点的轨迹 ) 方程 ,它一般分为两类基本题型： 一是已知轨迹类问型求其方程 ，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未题知轨迹类型 ，此时除了用代入法、交轨

16、法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程( 等量关系 ) ，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤 : 建、设、现（限）、代、化 .例 31.已知两点 M （ 2，0），N（2，0），点 P 满足 PMPN =12，则点 P 的轨迹方程为（）( A) x2y21 ( B)x2y216(C ) y2x28( D )x2y2816例 32. O1 与 O2 的半径分别为 1 和 2，|O1O2|=4，动圆与 O1 内切而与 O2

17、 外切，则动圆圆心轨迹是 ( )(A) 椭圆(B) 抛物线(C)双曲线(D)双曲线的一支例 33.动点 P 在抛物线 y2=-6 x 上运动 ,定点 A (0,1) ,线段 PA 中点的轨迹方程是 ()轨（A ） (2 y+1) 2=-12x（B ） (2 y+1) 2 =12x （C）(2 y-1)2 =-12x（D）(2 y-1)2=12x迹过点 A （2，0）与圆 x 2y2方例 34.16 相内切的圆的圆心 P 的轨迹是（）程（A）椭圆（B）双曲线（ C）抛物线（D）圆例 35.已知ABC 的周长是 16， A( 3,0) ，B (3,0)则动点的轨迹方程是 ()(A) x 2y 21

18、 (B) x 2y 21( y 0)(C) x2y 21(D) x2y 21( y0)2516251616251625例 36.椭圆 x 2y21 中斜率为 4 的平行弦中点的轨迹方程为.433例 37.已知动圆 P 与定圆 C: （x2） 2 y 2相外切，又与定直线l ：x相切 ,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是 _.例 38.uuur(3 5cos, 23sin )(R),则B点的在直角坐标系中 , A( 3,2), AB轨迹方程是 _.名师精编欢迎下载直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程 ,圆

19、锥曲线方程是二元二次方程 ,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程 ,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分圆必要条件分别是0 、0 、0 .锥直线与圆锥曲线相交所得的弦长曲直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2 ) ,线综1则它的弦长 AB2x1 x22) (x1x2 )24x1x2合1 k(1 k12 y1y2问k题注 :实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已 (因为 y1y2k ( x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行计算 .当直线斜率不存在是 ,则 ABy1 y2 .注: 1. 圆锥曲线，一要重

20、视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法 .3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考 :一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。22例 39.AB 为过椭圆 x 2y2=1 中心的弦， F(c，0)为椭圆的右焦点，则 AFBab的面积最大值是 ()圆(A) b2(B)ab(C)ac(D)bc锥例 40.若直线 ykx 2与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则k 的曲线取值范围是（）综15 ,15 )15 )1

21、5 ,0)15 ,合(A) (B) (0 ,(C) (D) (1)问33333题例 41.若双曲线 x2y2右支上一点P( a, b)到直线y=x的距离为2，则 =1a b的值是( ).( A)1(B) 1(C )1 或 1(D)2或22222例 42.抛物线 y=x2 上的点到直线 2x-y =4 的距离最近的点的坐标是 ()(A)(1,1) )(B)(1,1)(C)( 3,9)(D) (2,4)2424例 43.抛物线 y2=4x 截直线 y 2x k 所得弦长为 35 ，则 k 的值是 ()(A)2(B)- 2(C)4(D)- 4例 44.x2y 2(1,2) 平移后得曲线 C2 ，曲线

22、 C2 有一条把曲线 C1 :1 按向量 a4k准线方程为 x5 ，则 k 的值为（）圆(A)3(B) 2(C )3(D) 3锥例 45.如果直线 yk( x 1) 与双曲线x2y 24 没有交点，则k 的取值范围曲线是.综合问例 46.已知抛物线 y2x2 上两点 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直线 yx m 对称，题且 x1 x21 ，那么 m 的值为.22例 47. 以双曲线 x y2=1 左焦点 F，左准线 l 为相应焦点、准线的椭圆截直 3线 y=kx+3 所得弦恰被 x 轴平分，则 k 的取值范围是 _.例 48. 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于

23、直线 y=2x 对称的两点 A 、B?若存在，试求出 A、 B 两点的坐标；若不存在，说明理由 .名师精编欢迎下载数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线 )答案例 1.D例 2.B例 3.C先考虑 M+m =2a，然后用验证法 .例 4.B 提示： e= 4,P 点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2， 2a=10, P 点到右焦5点的距离是 8， P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4:1;例 5. B |PF1| PF2 | 2c | PF1 | | PF2 |sin152a， 2c e16 .sin15sin751sin15sin75cos152a2sin603例 6. C

24、 提示：椭圆3x2 4y2=48 中， a=4, c=2, e=1, 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为d，则2|PF|1 |AP| 2|PF|=|AP |d,当 AP 平行于 x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时，|AP|d= ,2 d 为一直线段，距离最小，此时P 点纵坐标等于3，P点坐标是 (2 3,3 )例 7. (3,4)或(- 3,4)例 8. (1) x 2y21或 x2y 21;(2)x2y 21;2516162563(3)x2y 21或 x2y 21 ;(4)x 2y 21或 x 2y21.99814416例 9.|PF | PF|PF1|PF2 | 22()a4122例

25、 10. 解 :设椭圆方程为x2y2a2 + b2 =1,(a>b>0) PQ x 轴时， F(- c,0)， |FP|=b2b22 2，又 |FQ|=|FP|且 OPOQ， |OF|=|FP|,即 c= ac=a - c ,aa e2+e- 1=0, e=51 与题设 e=3 不符 ,所以 PQ不垂直 x 轴 .22 PQ y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2), e=3242212, a =3c ,b =3c ,2所以椭圆方程可化为:3x2+12y2- 4c2=0, 将 PQ方程代入，2222 2224k 2 c12k 2 c24c 2得 (3+12k )x +2

26、4k cx+12k c- 4c=0, x1+x2=2,x1x2=2312k312k由 |PQ|= 20得 1k 2·(24k 2 c)24(12k 2 c24c 2 ) =20 9312k 2312k 29 OP OQ, y1 · y2 = - 1 即 x1x2+y1y2=0, (1+ k2)x1x2 +k2c(x1+x2)+ c2k2=0 x1x2把 x1x2 ， x1 x2 代入，解得 k2= 4，把 k 24代入解得 c2=3111122，则所求椭圆方程为x 22 a =4,b =1+y =1.4例 11.B例 12.C例 13.D例 14.C例 15.C例 16.A

27、 假设 PF1PF2 ,由双曲线定义 PF1PF22 n 且 PF1 PF2 2 n 2 ,解得 PFn 2n , PFn 2n 而 F F2 n 1由勾股定理得12SPFPF 111 2 点评 考查双曲线定义和方程思想 .PFF12212x 2y21(x2)例 18.1例 17.1224例 19.设双曲线方程为x2y2( 0) , (3)2(2 3)21,9169164 双曲线方程为x2y2x2y216 k 091;设双曲线方程为16 k414k4k04(32) 2221 ,解之得 k=4, 双曲线方程为x2y2116k4k128评注：与双曲线x2y21 共渐近线的双曲线方程为x2y2( 0

28、) ，当 >0时，焦a2b2a2b2点在x 轴上；当 <0时，焦点在y轴上。与双曲线x2y21 共焦点的双曲线为a2b2x2y2k1( a2+k>0 ，b2- k>0) 。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解a2k b2.题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想例 20. 解题思路分析：y kx2k222法一：显然 AB斜率存在设 AB ：y- 2=k(x- 1) 由y2得：(2- k)x - 2k(2- k)x- k +4k- 6=0x212当 >0 时，设 A（ x1,y1），B（ x2,y2） 则x1x2k(2k) k=1，满足 >0 直线 AB ：y=x+122k22y121x121法二：设 A （x1,y1），B（ x2,y2）则2两式相减得： (x1 - x2)(x1+x2)= (y1- y2)(y1+y2)2x22y212 x1 x2 y1y22(x1x2) kAB211 AB ：y=x+1 代入 x2y21得： >0x1x2y1y222评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径