圆锥曲线中地定点定值问题地四种模型

1、圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k和m的一次函数关系式， 代入直线方程即可。 技巧在于：设哪一条直线? 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点 模型：模型一：“手电筒”模型2 2例题、已知椭圆C: 1若直线l :43顶点），且以AB为直径的

2、圆过椭圆 C的右顶点。y kx m与椭圆C相交于A, B两点（A, B不是左右l过定点，并求出该定点的坐标。ykxm解:设 A(xi, yi), Bg y2)，由a242"得(33x24yi2 2 2 264m k i6(3 4k )(m3)0 , 324k m求证：直线24k2)x2 8mkx 4(m23)0,Xi8mk3 4k2，Xi X24(m2 3)3 4k2yi2y2 (kx-! m) (kx2 m) k XrX2 mk(x1 x2)Q以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且 kADkBD3(m2 4k2)3 4k2i ,yiy2x12 x22 1, yiy2 XiX

3、22(Xi X2) 43(m24k2)4(m23)34k23 4k2整理得:7m2i6mk4k2当m2k时,i：yk(x当m2k亠 时,i：yk(x2），直线过定点），直线过定点70,解得：mi16mk3 4k2空，且满足3 4k27（2,0）,与已知矛盾；2（7,o）2k, m2综上可知，直线方法总结：本题为线交圆锥曲线于 AB，则2 l过定点，定点坐标为 （丁,。）.“弦对定点张直角” 的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点b2 ）2 詁。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦a bXo(a2 b2)AB必过定点（22a2 b2yo(a2对定点张直角的一组性质”模型拓展：本题还可以拓展为 “手电

4、筒”模型：值，kAP kBP 定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒,只要任意一个限定此模型解题步骤：Stepi :设AB直线y kx m，联立曲线方程得根与系数关系,Step2 :由 AP 与 BP 关系（如 kAP ?kBPStep3 :将 k f （m）或者 mP做相互垂直的直AP与BP条件（如kAP?kBP 定固名曰手电筒模型）求出参数范围；1），得一次函数k f （m）或者m f （k）；f （k）代入 y kx m，得 y k（x x定） y定。类型题训练2练习1:过抛物线 M: y 2px上一点P (1,2 )作倾斜角互补的直线 PA与PB，交M于A、B两点, 求证

5、：直线 AB 过定点。(注：本题结论也适用于抛物线与双曲线)练习 2: 过抛物线 M: y24x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、 OB ，求证:直线 AB 过定点。2练习:4 :设A、B是轨迹C : y分别为和，当，变化且；时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。2 2练习3 :过2x y1上的点作动弦 AB、AC且kAB?kAc 3，证明BC恒过定点。2 px( P 0)上异于原点0的两个不同点，直线 OA和0B的倾斜角练习5:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(I )求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n )已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线I与轨迹C

6、交于不同的两点 P, Q,若x轴是 PBQ的角平 分线,证明直线I过定点.uuu uuu uuu uuu练习6:已知点B 1,0 ,C 1,0 ,P是平面上一动点，且满足 |PC| |BC| PB CB(1) 求点P的轨迹C对应的方程；(2) 已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦 AD和AE，且AD AE ,判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.【解】(1 )设 P(x,y)代入 |PC| |BC| PB CB得 (x 1)2 y2 1 x,化简得 y2 4x.(5 分)(2)将A(m,2)代入y2 4x得m 1,点A的坐标为(1,2).设直线DE的方程为xmy t代入y2

7、4x,得y24mt4t0,设D(xp yj, E(x2, y2)则y1 y2 4m, y1 y2 4t,( 4m)2 16t 0(*)AD AE X 1)(X21) (Y1 2)(y2 2)(为x?)1y y?2(%y?)42 2 2 2yiy2丫2、()yi y2 2( yiy2)54444(y1 y2)'(y1y2) 2y1y2y1 y2 2( y1y2)5164(4t)2(4m)22( 4t)(4t)2(4m) 50化简得t226t 5 4m 8m164即 t2 6t9 4m2 8m 4 即(t3)24(m 1)2 t 32( m 1)t 2m5或 t2m 1,代入（*）式检验均

8、满足0直线DE的方程为x m（y 2） 5或x m（y 2） 1 直线DE过定点（5, 2）.（定点（1,2）不满足题意）4x , O为坐标原点，过点 A的动直线2练习7:已知点A (- 1 , 0), B (1 , - 1 )和抛物线.C : yI交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图. uuun uuu（I）证明：OM OP为定值;5 （II）若厶POM的面积为一，求向量OM与OP的夹角； 2（川）证明直线 PQ恒过一个定点.22仏y9解：（I）设点M （竺，yd P（丄, y2）, P、M、A三点共44kAMkDM，即-y1y1y2222y11y14y244即y121y“

9、244Jy1y1y222OMOPyy2y1 y25.44S ROM(II)设/POM =52,第22题线,a,则 I OM I I OP I COS5.| OM | | OP | sin 5.由此可得 tan a=1.又（0,),2y345 ,故向量0M与0P的夹角为45 .(川)设点Q(竺4即一y1 y3即4442(y3 1)(y1y3)*44,即y1,y3）, M、B、Q三点共线,y3112Y34%y3ym即 4( y2y2y3)河3 44,即 yy4y3y20.(*)Y3y2y3kBQkQM4 0.L L LL 11分40,kPQy2y 42 2y2y3y2y3直线PQ的方程是y y2即

10、(y Ely y3) 4x 由(*)式， 何3 4( y2 由此可知直线PQ过定点E-(x y2 yy；,即 y(y2y3) 4,代入上式，得(y 4)( y2y3)4(x(1, - 4).Y3)河34x.1).模型二：切点弦恒过定点结论:例题：有如下结论：“圆x22音 1(a bby2 r2上一点P(xo,yo)处的切线方程为x°yyoy2r ”，类比也有2 x “椭圆 a0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为x°xayoy”,过椭圆 C:1的右准线I上任意一点M弓|椭圆C的两条切线，切点为 A、B.求证：直线 AB恒过一定点；当点M在的纵坐标为1时，求 ABM的面积。

11、【解】(1 )设 M (斗3,t)(t R), A(X1,yJ B(X2,y2),则MA的方程为点 M 在 MA 上 x1 ty113J3由知AB的方程为 x ty3易知右焦点F ( . 3,0)满足式，(1)(2)yiy(2)把AB的方程x . 3(1 |AB| .13 亠871,即x同理可得仝x2 ty213.3(1 ty)恒过椭圆C的右焦点F(3,0)故 AB2y)代入y21,化简得7y 6y41674 3|又M到AB的距离d 3J1 32331ZABM 的面积 S | AB |2方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用16 321>&

12、#171;I P qtws：讯耶 PHUr !本题的书写步骤替换之，大家注意过程。方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些?拖点P"-X TM参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3下”优酷视频拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理，资料练习1 :（ 2013年广东省数学（理）卷） 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F 0,C C 0到直线2 0的距离为土2 设P为直线I上的点，过点P作抛物线2C的两条切线PA, PB,其中A,B为切点求抛物线C的方程；当点P X），y0为直线I上的定点时，求直线AB的方程;（川）当点P在直线I上移动时，求 AF BF的最

13、小值2【答案】（I ）依题意，设抛物线C的方程为x物线C的方程为x2 4y 0 c 24cy，由0,解得c 1所以抛2（n ）抛物线C的方程为x 4y，即y2 Xi 设 A Xi，%，B X2，y2 （其中 yi4x2,求导得y4y22X24），1 1则切线PA，PB的斜率分别为x1， x2，2 222y 2y10所以切线PA: y y1' x为，即y 凶x '%，即/x2 2 2同理可得切线PB的方程为X2X 2y 2y20因为切线 PA，PB 均过点 Px0, y0，所以X1X02y02y10，X2X02y°2y?00的两组解.所以 X1, y1 , X2, y2

14、 为方程 x°x 2y° 2y所以直线AB的方程为X0X 2y 2y00.(川)由抛物线定义可知 AF y, 1, BF y2 1,所以 AF BFy1 1 y2 1 y1y2 y1 y2 1X0X 2y 2y00222联立方程 2，消去x整理得y2 2y° X02 y y。2 0x 4y2 2由一元二次方程根与系数的关系可得y y2 X) 2y°,y1y2 y2 2所以 AF BF yy 5 y 1 y° X 2y° 1又点P X0, y0在直线I上，所以X0y02,所以 y。2 X02 2y0 1 2y。2 2y°52

15、y°所以当y。12时,AF BF取得最小值，且最小值为练习2 : (2013年辽宁数学(理)如图抛物线G：x2 4y,C2：x2 2py p 0 ，点M Xo，yo在 抛物线C2上，过M作Ci的切线，切点为A, B (M为原点O时,A, B重合于O) Xo 1 2 ，切线MA.的斜率 为-2(I)求p的值;(11)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方.A,B重合于O时,中点为O .【答案】 1解 心宀切山恿一点的切戟料甲为八孑 找的斜率沟-丄*所I'L X心甲尿为(-1$ * M训线伽的方卅为- £ +tTy - _宁1 丘 + 0 +24用为去M( L -

16、 J2.yti , h瞬£ MA出帼刊哉G忙.壯n丨设热匕、¥、.越斗+冷).Jtj ,山艸为线段冲E中点拗y e切红 AM MBIt!：(那MAM3的瓷点W丸.y0)的*杯为x- -Yr = «ft|3 1 T.!s 40 - y» r * 0.J14蚩巧札 n 'itfrT-iAcjAT 勺。.咿标再址厂=了时JUi中点H的5 K吨h fV Ar4r5 = y.i“l2 分模型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季 _3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大

17、，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。2 2例题：如图，已知直线L： x my 1过椭圆C:笃 每 1(a b 0)的右焦点F,且交椭圆C于 a b2A、B两点，点A、B在直线G : x a上的射影依次为点 D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点 N ?若交于定点 N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。Q法一：解：2F(1,0),k (a2,0)先探索，当m=0时，直线L丄ox轴，贝U ABED为矩形，由对称性a ia 1知，AE与BD相交于FK中点N,且N(,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(,0)2 。 22 2证明：设

18、A%, yj B(X2, y2), E(a , y?), D(a ,yj 当m变化时首先AE过定点Nx my 1卄 2222222八Q 2 22222 即(a b m )y 2mb y b (1 a )0.8分b x a y a b 04a2b2(a2 m2b2 1) 0 (Q a 1)又Kany1KENa 1""2myiy21 a22而KanK ENa2 1( 丁(2 21 a (a12 ( 2y2) myym%)(这是Qy2) myy昭(a2 1) (mb2 mb2)2mb2 )2)a m bb2(1m 2以a m b0)2 2.2a m bKan=Ken/-A、N、E

19、 三点共线AE与BD相交于定点N (?1,0)2法2 :本题也可以直接得出AE和BDa2)同理可得B、N、D三点共线方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答 题过程中要注意步骤。2例题、已知椭圆C：y2 1 ,若直线l : x t(t 2)与x轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任4一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。51P0T方法1 :点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点

20、是 A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l : x t(t 2)上，相当于知道了点 P的横坐标了，由直线 PA1、PA2的方程可以求出 P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的 关系，通过所求的 M、N点的坐标，求出直线 MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。解：设M(xi,yj , N(X2,y2)，直线 AM的斜率为ki ,则直线 AiM的方程为y ki(x 2),由y K (x 2)2 2222 消 y 整理得(1 4kjx 16k2X 16ki 4x 4y 4Q 2和Xi是方程的两个根，2为空24

21、则x11 4匕02 8K21 4匕2y14k11 4k12即点M的坐标为(2 8ki24ki )1 4k2 1 4K2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(8k； 24k2 )(1 4kj1 4kJQ ypK(t 2), ypk2(t 2)& k?k1 k2-,Q直线MN的方程为：yy1y2y1tX X1X2X1令y=0，得xX2%，将点M、N的坐标代入，化简后得：4X y1y2t又Qt2,042Q椭圆的焦点为(.3,0) - 、3，即 t4；3Ltt3故当t4,33时，MN过椭圆的焦点。2 2 2方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标2是方程(1 4k1 )x 16k

22、2X 16k1韦达定理，得到点 M的横纵坐标： X12 2(1 4k2)x216k2X 16k240,得到2 8k,21 4&2X2 曲f，即 X2y11 4k2果看到：将16k；4中的2X11 4k；k1用k2换下来,(8k2,如果在解题时,1 4k2 1 4k2能看到这一点,本题的关键是看到点 P的双重身份:点P即在直线直线MN的方程-一也X X14k(1 4k128k； 2厲，y240的一个根，结合k2(x 2)2 消y整理得4y244k2一葺很快。不过如1 4k2X1前的系数计算量将减少,2用一2换下来，就得点N的坐标这样真容易出错，但这样减少计算量。AM上也在直线A2N上，进

23、而得到& k27，由亘得直线与X轴的交点，即横截距XX2y1y1X2y2，将点M、N的坐标代入，化简易得X 4，由-t t4.3到此不要忘了考察心是否满足t3方法2 :先猜想过定点，设弦MN的方程，得出AM、A2N方程，进而得出与T交点Q、S,两坐标相减=0.如下:设 lMN : x my 3,联立椭圆方程，整理: (4 m2)寸2.3my 10;求出范围；设M (x-i, y-i), N (x2,y2),得直线方程：1 a,m ： y(X 2),1a2n : y汽(x 2);Q (t,上(t 2),S(t,y22(t2)X12x22yQysy1一 (t 2)y2-(t2)x-i2x2

24、2整理 -4my1 y22(t3)(力y2)(,3t4)( y1y?)yiX!2若分别于It相较于Q、S：易得(Xi2)(X2 2)韦达定理代入-丁竺(、4) (. 3t 4)(y- y2)(x12)(x22) 4 m显然，当t 4 3时，猜想成立。3方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。 x2 y2练习1: (10江苏)在平面直角坐标系 xoy中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为 a,b，右焦点为95F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于

25、点 M(x 1,y1), N(x2,y2),其中m>0,y 1>0,y 2<0.设动点P满足PF2 PB2=4,求点P的轨迹1设x1=2,x 2= 3，求点T的坐标3m无关)解析：问3与上题同。IH本小龜主要若査求简单曲线的方趕看直21线与椭圆的方程等基础域识，考査运算求解 能力甩囂期鎧力.講分価井.解：由飜删r(2t g(1)设点刃，则 P尸=(x-2):旳(一3尸rtl P尸十护“，得+yi-(jr-3)I-y3-4.化简側M故所求点P的轨迹为宜绘够由舸二2、； +?二！曲打誹港；斗，则点 确寧唸而直绒AM的方程为r=- + i；甫妊=y.+ y = I及Ti <0

26、t得了厂亠学则点肌£ -晋人从而直线站的方程为 卩右今TraQg u . i1 »"八s解得j10眦以点T的蚩你为(匚由题设鼠 直线AT的方輕为y = tx+3),百线 酊的方程为 尸址八儿 点W(xl( yj満足M =寻(的 *')*(玄L二彳鼻直才1：；+3 _ m 咼仪讲兽* = ，個为卅寺T,则 蚣声子 卅 J9 _22从而得“泸240 - 3mYA、-£円如、 24H - 尬梅蛙则由SO +m程为"1,过点巩匚0).f ： «£« , _3m? -60 牛J严壽>；20川 §砂Z哎

27、肿=2疽曽及刑讥得碑三2缥拠瞬线的对_ -20 m20 +» 祈内g JUXtt MD 的斜珮 J =°tTc7-240 jm 40 iTi8Q + m'-20m得 "心 所且宜线MN £t D点.3 m - WJ40 - /it2O + m2 因此.賁麹初V必过黑？ft上的点(1*0).3练习2:已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 2,0)、B(2,0)、C 1, 三点.过 椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线I与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点Q.(1) 求椭圆E的方程：(2) 是否存在这样直线 m ,使

28、得点Q恒在直线m上移动？若存在，求出直线m方程，若不存在，请说明 理由.4m 1,9 解得m m n 14(也可设标准方程，知3)0设直线I与椭圆E的交点由根系数的关系，得为直线AM的方程为：y由直线AM的方程为:M (为，), N(x2, y2),1"1X23 4k2 上(x 2),即yX!2y2X22(x2)，即24(k3)3 4k2k(x1 1)(x 2)2k(x2 1)二"X 2)2 2解析：(1)设椭圆方程为 mx my 1(m0, n 0),将A( 2,0)、B(2,0)、C(1,3)代入椭圆E的方程，得11x,n .椭圆E的方程一434a 2类似计分)(2)可

29、知：将直线l : y k(x 1)2 2代入椭圆E的方程 壬 1并整理得(3 4k2)x2 8k2x 4(k243由直线AM与直线BN的方程消去y，得2(x|X23论 x2)22捲乂2 3(捲x2)4x2X1 3x28(k2 3)24k(X1X2) 2x2 4,4k2 642 X23 4k24k2 63 4k2x 4上.4x2223 4k28k23 4k2直线AM与直线BN的交点在直线3 4k242 x故这样的直线存在模型四：动圆过定点问题动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。 文档£ 1(a b 0)的离心率为 f 并且直线y xb是抛物线y

30、22例题1已知椭圆C :冷a切线。(I)求椭圆的方程；1 一(H)过点S(0,)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点3以AB为直径的圆恒过点 T?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由。，2 x b消去 y得 : x2(2by 4xx b与抛物线'.2 2 ,2 ,a b2解：(I)由4)x b20因直线y4x的一条T,使得Qe -a4x相切2 .2a b2a(2b 4)2 4b20 b 1平行时，以AB为直径的圆的方程:x212'2, 故所求椭圆方程为y2 1.(II)(y1)22当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程:1，由(y1)2

31、1即两圆相切于点(0，1)因此，所求的点T如杲存在，只能是(0, 1)事实上，点T( 0，1)就是所求的点，证明如下。当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点若直线L不垂直于x轴，可设直线L:y kx(0, 1)y 由2x2kx13消去y得:(18k2129)x12kx 16X1X2记点 A(X1,y1)、B(x2,y2),则W212k18k2916218k9urrnr又因为TA (冷力1),TB区必1),uir uir所以TA TB x1x2 (y11)( y21)x1x2 (kx.(44)(kx2 )3316412k2 _k 218k9318k9164k(x139TA丄TB，即以AB为直

32、径的圆恒过点2(1 k )x2X2)1609T (0 , 1)，故在坐标平面上存在一个定点T (0 , 1 )满足条件.2(1 k )方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。2x 例题2 :如图，已知椭圆C : 2 ab21(a b 0)的离心率是A1, A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足1A,D1A2D2FD(1)求椭圆C的方程以及点D的坐标;(2)过点D作x轴的垂线n ,再作直线l : y kx m 与椭圆C有且仅有一个公共点 P，直线l交直线n于点 Q。求证：以线段 PQ为直径

33、的圆恒过定点，并求出定 文档解：(1)1A1dA2D又FDx c 1,(c1 a)(c 1ca)，又 Q a1 c 1 V22(c1、.2c)(c1,(2)方法1 :QQ(2,2km),x2 2(kx2由于 16km)22m2 4(2k2(2k21)(2m4km2 x 椭圆C: 2y kx m2x 2彳7 y 12m2 20，2 2、2,b1，且D(2,0)。P(xo, yo),21)x 4kmx2而由韦达定理：2xd2x02k2 1.2k21y° kx。 mm ，mm设以线段PQ为直径的圆上任意一点2k1(x )(x 2) (y -)(y (2kmm称性知定点在x轴上，令y 0,取

34、2)0 2k m 1km 由(*)2 km2k2 1 m22k 1P( ,)m mM(x, y)，由 MP由(*)02km，ujir2 2m) 0x2y2uuiuMQ2k(m2)xx 1时满足上式，故过定点(kx2 k2(2 kK(1,0)。m)211 (*),1m )ym(1仝)0由对m实用标准文案点的坐标。A( a,0), A(a,0), F(c,0)，设 D(x,0)， 2有x法2 :本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F (1,0 )。接下来用相似证明 PF丄FQ。设P (X0,y。),易得PQ切线方程为X 2y°y 2;易得D(0,0)y。设 PH FDPH y°；HF 1 x°DQ° DF 1;y0HL 也，固phf相似于 FDQ，易得 PFQ 900PH FD 问题得证。2 2x y2练习：(10广州二模文)已知椭圆G : 22 1(a b 0)的右焦点F2与抛物线C2 : y 4x的焦点重a b5合，椭圆G与抛物线C2在第一象限的交点为 P , | PF2 | 圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点，圆C3与3y轴交于M,N两点，且| MN | 4.(1)求椭圆G的方程；(2)证明：无论点T运动到何处，圆C3恒经过椭圆Ci上一定点.2