高二数学培优讲义导数的概念与运算

1、第十讲导数的概念与运算教学目标： 1、了解导数概念的实际背景2、理解导数的几何意义3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.一、知识回顾课前热身知识点 1、导数的概念(1)函数 y f(x)在 xx0 处的导数：称函数 y f(x)在 x x0 处的瞬时变化率limf x0 x f x0 limy为函xxx 0x 0数 y f(x)在 xx0 处的导数，记作 f (x0)或 y |x x，即 f (x0) limyf x0 x f x0 limx.0x0xx 0(2)导数的几何意义： 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x0) 的几何意义是在曲线y f(x)上

2、点 P(x0，y0)处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间 t 的导数 )相应地，切线方程为y y0 f (x0)(x x0)(3)函数 f(x)的导函数：称函数f( x) limf x x f x 为 f(x)的导函数x 0x知识点 2、几种常见函数的导数 (C)0(C 为常数 )；nnxn1； (n Q) (x ) (sinx)cos_x； (cosx)sin_x； (ex)ex； (ax)axln_ a； (lnx)1.(log ax)1xxln a知识点 3、导数的运算法则(1) f(x) ±g(x) f (x) ±g (x) ；(2) f(x) &#

3、183;g(x) f (x)g(x) f( x)g (x)；f x f x g x f x g x(g(x)0) (3)g xg x 2复合函数知识点 4、复合函数的导数y f(g(x)的导数和函数y f(u)，u g(x)的导数间的关系为yx yu ·ux，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积二、例题辨析推陈出新例 1、求下列函数的导数(1) y (1 x) 1 1；(2) yln x；(3)y tan x；(4)y 3xex 2x e.xx1111111311解答 (1) y (1 x) 1 x x x x 2 x 2 ，y (x2 ) (x 2 ) 2

4、x22x2 .1(2) y ln x ln x x x ln xx·x ln x1ln x2x2x2 .xxsin xsin x cos x sin x cos x cos xcos x sin x sin x1(3) y cos x cos2xcos2x cos2 x.(4) y x xx (3xx 3x xxx(ln 3)x 3x x 2xln 2 (ln 3x 2xln 2.(3 e ) (2 ) e) e(e ) (2 ) 3e · e 1) ·(3e)x2 x若将本例 (3) 中“tanx ”改为“ sin212cos 4”如何求解？x2xxx11解：

5、y sin1 2cos 4 sin2cos 2 2sin xy 2cos x2变式练习 1求下列函数的导数(1) yx x5 sin x11； (4)ycos 2x.2； (2)y (x 1)( x 2)(x 3)； (3)y1 x1 xsin x cos xx153 sin x32x2x sin x33解： (1) yx2 x 2 x x2 ，y (x2) (x ) (x sin x)5 32x 2 3x2 2x3sin xx2cos x.(2) y (x2 3x 2)(x 3) x3 6x211x6，y 3x2 12x 11.1 1 2，y 22 1 x 2(3) y1 x 1x22.1

6、x 1 x 1x1 x(4) ycos 2xcos x sin x，y sin x cos x.sin x cos x例 2、求下列复合函数的导数：52(1)y (2x 3) ； (2)y3 x；(3) ysin2x； (4)yln(2 x 5)解答 (1)设 u 2x 3，则 y(2x 3)5 由 y u5 与 u 2x 3 复合而成， y f (u) ·u (x) (u5) (2x 3) 5u4·2 10u4 10(2x 3)4.1(2)设 u 3x，则 y3 x由 y u 2 与 u 3 x 复合而成1111113 x y f (u) ·u (x) (u 2

7、) (3 x)22u ( 1) u.222 3 x2x 6 2u·cos v·2(3)设 y u2， usin v， v 2x ，则 y x y u·u v·v x32 4sin 2x3·cos 2x3 2sin 4x 3 .(4)设 y ln u， u2x 5，则 y x y u·ux， y 1·(2x 5) 2.2x 52x 5变式练习 2求下列复合函数的导数：(1)y (1 sin x)2； (2)y ln x2 1； (3)y14； (4) yx1 x2.1 3x解： (1)y 2(1 sin x) ·(1

8、 sin x) 2(1 sin x) ·cos x.1111x(2)y (ln22 222 .x 1) ·(x 1)2·(x 1)·(x 1)221x 1x 1 2x(3)设 u 13x， y u4.则 yx yu ·ux 4u5·( 3)125.1 3x1 x2) x · 1 x2 x(1 x2) x21 2x21 x2(4)y (x.221 x1 x三、归纳总结方法在握归纳 1、求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量；归纳 2、复合函数求导必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，

9、分清其复合关系四、拓展延伸能力升华例 1、(1)(2012 ·辽宁高考 ) 已知 P，Q 为抛物线 x2 2y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点 A 的纵坐标为 _(2) 已知曲线 y1x34. 求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；求斜率为4 的曲线的切线方程33x2解答 (1) y 2 ，y x，y |x44， y |x 2 2.点 P 的坐标为 (4,8)，点 Q 的坐标为 ( 2,2)，在点 P 处的切线方程为y 8 4(x 4)，即 y 4x8.在点 Q 处的切线方程为y 2 2(x2)，y 4x 8，即 y 2

10、x 2.解得 A(1， 4)，则 A 点的纵坐标为4.y 2x 2，(2)P(2,4)在曲线 y 13x3 43上，且 y x2，在点 P(2,4) 处的切线的斜率k y |x2 4.曲线在点 P(2,4) 处的切线方程为y 4 4(x 2)，即 4xy 4 0.设切点为 (x0， y0)，则切线的斜率k x20 4， x0 ±2.切点为 (2,4)或 2， 43 ，4切线方程为 y4 4(x 2)或 y3 4(x 2)，即 4x y 4 0 或 12x 3y20 0.若将本例 (2) 中“在点 P(2,4)”改为“过点 P(2,4)”如何求解？1341 342解： 设曲线 y 3x

11、3与过点P(2,4)的切线相切于点A x0， 3x03，则切线的斜率k y|x x0 x0.切线方程为 y1 342022 34x03 x0003.点P 2， 4 在切线上，3(x x )，即 y x ·x3x223323222x0 1 4 x0 1x01 0.4 2x0 x0 f(4 ,3)，即 x03x04 0.x0 x0 4x04 0. x03x0 1x0 2 2 0.解得 x0 1 或 x0 2.故所求的切线方程为4x y 4 0 或 x y 2 0.变式练习3已知函数 f(x) 2x 1(x> 1)，曲线 y f(x)在点 P(x0， f( x0)处的切线 l 分别交

12、 x轴和 y 轴于 A， B 两点， O 为坐标原点(1)求 x0 1 时，切线 l 的方程； (2) 若 P 点为 2，23 ，求 AOB 的面积33解： (1)f (x)1，则 f (x0)1，则曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)的切线方程为x 10 1x010x0 20 1 时，切线 l 的方程为 x 2y 3 0.xy f(x)(x x ) ，即 y.所以当 xx0 1x01x0 1x0 21x0 2x0 2 2(2) 当 x0时， y；当 y 0 时， x x0 2.·x02，S AOB2x0 1x0 12x0 122 23S389 .AOB22 31例 2、已

13、知 a 为常数，若曲线y ax23x ln x 存在与直线x y1 0 垂直的切线，则实数a的取值范围是 ()A. 1，B. ，1C.1， )D.(， 12212 解答 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以 y 2ax 3 x 1 有正根，即2ax 2x1 0有正根当 a0 时，显然满足题意；当a<0 时，需满足 1 a<0.综上， a 10，解得 22.答案A归纳 : 导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x0) 求斜率 k，即求该点处的导数值： k f (x0) ；(2)已知斜率 k，求切点 A

14、(x1 ，f(x1)，即解方程f (x1) k； (3) 已知过某点 M(x1， f(x1)(不是切点 )的切线斜率为k 时，常需设出切点 A(x0， f(x0)，利用 kf x1 f x0 求解x1 x0变式练习 4若函数 f( x)sin<)，且 f(x) f (x)是奇函数，则 _.3x (0<6解析： f(x)sin3x 6 ，f (x) 3cos 3x 6 .于是 y f (x)f(x) sin3x 6 3cos3x 2sin3x 2cos(3x )，3x 2sin 2663由于 y f(x) f (x) 2cos(3x)是奇函数， k 2(kZ)又 0< <

15、，2.答案： 2练习sin x1在点1曲线 y sin xcos x211A2B.2M 4，0处的切线的斜率为 ()22C 2D. 2cos x sin x cos x cos x sin x sin x11解析： y sin x cos x2sin x cos x2，故 yx2 .41曲线在点 M4， 0 处的切线的斜率为2.选 B2已知函数 f(x) x3 f2 x2 x，则函数f(x)的图象在点2， f2处的切线方程是 _3333222222222解析： 由 f(x) x f 3x x，可得 f (x) 3x 2f 3x 1，f 3 3× 32f 3×3 1，2322

16、2 32 222222解得 f 3 1，即 f(x) x x x.则 f3 3 3 327，故函数 f(x)的图象在3， f3处的切222线方程是y27 x3，即 27x 27y 40.答案： 27x 27y 40五、课后作业巩固提高sin x1曲线 yx在点 M( ， 0)处的切线方程是_答案： x y 02如图，函数y f(x) 的图象在点P 处的切线方程是y x 8，则 f(5) f (5) _.解析： 由题意知f (5) 1， f(5) 5 83，f(5) f (5) 31 2.3 (2013 ·康模拟永 )函数 y f(x)的图象如图所示，则y f (x)的图象可能是 (答

17、案：)2解析：选D据函数的图象易知，x<0时恒有 f (x)>0 ，当 x>0 时，恒有 f (x)<0.4若函数 f(x) cos x 2xf 6 ，则 f 3与 f 3 的大小关系是 () A f 3 f 3B f 3 >f 3C f 3 <f 3D不确定解析：选C依题意得 f(x) sin x 2f 6，f 6 sin6 2f 6 ，1 f 6 2，f (x) sin x 1，当 x 2， 2时， f( x)>0，f(x)cos x x 是 f ，3<3，于是有3 <f3 .2 2 上的增函数，注意到5已知 t 为实数， f( x)

18、(x2 4)(x t)且 f (1) 0，则 t 等于 ()1A 0B 1C.2D 2解析： 选 Cf (x) 3x22tx4， f ( 1) 3 2t 40， t 12.6曲线 y xex 2x1 在点 (0， 1) 处的切线方程为()A y 3x 1B y 3x 1Cy 3x 1D y 2x 1解析：选A依题意得 y (x 1)ex 2，则曲线 y xex 2x 1在点 (0， 1)处的切线的斜率为y |x0，故曲线 y xex 2x 1 在点 (0， 1)处的切线方程为 y 13x，即 y3x 1.7设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f (x)，且 2f(x) xf(x)>x2

19、.下面的不等式在R 上恒成立的是 ()A f(x)>0B f( x)<0Cf(x)>xD f(x)<x解析：选A由已知，令 x 0 得 2f(0)>0 ，排除 B 、D 两项；令 f(x) x21，则 2x21xx21 4242122114x2>x ，但 x 4>x 对 x 2不成立，排除C 项8已知 f(x) x2 2xf (1) ，则 f (0) _.解析： f(x) 2x2f (1) ，f (1) 2 2f(1) ，即 f (1) 2.f (x) 2x 4.f (0) 4.答案： 49已知函数 y f( x)及其导函数 y f (x)的图象如图所

20、示，则曲线y f(x)在点 P 处的切线方程是 _解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线 y f(x)在点 P 处的切线的斜率 kf (2) 1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x y 2 0.答案： x y 2010若曲线 f(x) ax5 ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 _解析： 曲线 f(x) ax5ln x 存在垂直于 y 轴的切线，即f (x) 0 有正实数解又f (x) 5ax4 1x，方程 5ax41x 0 有正实数解 5ax5 1 有正实数解 a<0.故实数 a 的取值范围是 ( ， 0) 答案： (， 0)ax 611已知函数f(x) 2

21、 的图象在点 ( 1， f(1) 处的切线方程为 x 2y5 0，求 y f(x)的解析式 x b解： 由已知得， 1 2f( 1) 50，f(1) 2，即切点为 ( 1， 2)ax 6 x2 b ax 6x2 b ax2 12x ab又 f (x)，x2 b2x2 b2 a 6 2，1 ba 2，2x 6解得f(x). a 12 ab1b 3.x2 31 b22，212如右图所示，已知A( 1,2)为抛物线C： y 2x 上的点，直线l1 过抛物线 C 相切， 直线 l 2：x a(a< 1)交抛物线C 于点 B，交直线 l1 于点点 A，且与D.(1)求直线 l1 的方程；(2)求 ABD 的面