圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结

1、A.卜"丨-B .码 |+ 阴 1 = 6C |昭| + |吧卜10D 苛 二'"(答: C);圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视 括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点匕丄的距离的和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于 I闢 当常数等于同耳|时，轨迹是线段国马，当 常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a 一定要小于|珂玛L定义中的绝对值”与？& 丙骂|不可忽视。若2金- 阳 则轨迹是以丄21为端点的两条射线，若-!-' ；|，则轨迹不存在。若去掉定义中

2、的绝对 值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：P的轨迹中是椭圆的是已知定点 耳逊醴0）,在满足下列条件的平面上动点方程 J（x- 6）2 + 於一 J（X 十硏 + y3 ='表示的曲线是 （答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且点点距为分子、点线距为分母”其商即是离心率 e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与 此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点2(272,0)及抛物线P (x,y ),则 y+|PQ|的最小值是（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标

3、准位置的方程）：2 2飞 + 与二 1（。A b A 0） O（1 ）椭圆：焦点在 x轴上时x = a cos（参数方程，其中为参数），焦点在示椭圆的充要条件是什么？（2 2冬+ 牛=1(a >b >0) y轴上时a b。方程肿+眇二C表ABO0 ，且A , B , C同号，AMB ）。比如：已知方程7T y -/ /一 二1耳二千沁上（2 ）双曲线：焦点在x轴上 * 护 ，焦点在y轴上：卅护如：双曲线的离心率等于 2，且与椭圆 94有公共焦点，则该双曲线的方程方程二厂亠二厂-表示双曲线的充要条件是什么？ （ABO0 ，且A, B异号）。比（3）抛物线：开口向右时丿=2戸心>

4、0）,开口向左时/ =-20 >0），口 向上时 / - 2pyp > 0）， 开口向下时采=-2期>>0|）。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：2 J1（1） 椭圆：由】分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。亠+亠"如已知方程 滋1-1 2 叨表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 _ （答:I3二）（2）双曲线：由"：项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1 ）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点、川:位置，焦点、的位置，是椭圆、

5、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个 参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问 题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，/二护+/，在双曲线中，c最大,4. 圆锥曲线的几何性质：（1 ）椭圆（以'为例）：范围： 匸工 ：；.Z'焦点：两个焦点：二二山；对称性：两条对称轴x=0,y=0 ，个对称中心（0,0 ），四“士Q个顶点一“："丄一，其中长轴长为2a，短轴长为2b ；准线：两条准线'；离心率:椭圆 '，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。比如：若椭圆 5的离心率25二

6、，则m的值是（答：3或3）；（2）双曲线（以/'-为例）：范围:焦点：两个焦点CA'i；对称性：两条对称轴x=O,y=O；，一个对称中心（0,0 ），两个顶点 如），其中实轴长为 2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线离心率:一乩双曲线O日A 1 ,等轴双曲线，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线:比如：双曲线的渐近线方程是"'-1.，则该双曲线的离心率等于(答:（3）抛物线（以/=&辱:;为例）：范围:焦点:，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴没有对称中心，只有

7、一个顶点（0,0 ）;准线：一条准线y=0 ，则抛物线' 的勺焦点坐标为(答:5、点兴*和椭圆；的关系:4+4>点在椭圆外'" -< -(2 )点(3 )点6 直线与圆锥曲线的位置关系：（1 ）相交、二二直线与椭圆相交；二I；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有-门，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故；'是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件，乩、'二直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相交不一定有至卫，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故-门也仅是直线与抛物线相交的充分

8、条件，但不是必要条件。IJ比如：若直线y=kx+2 与双曲线'1 _ '的右支有两个不同的交点，则k的取值范-1）围是 （答：3）；（2 ）相切：: 二直线与椭圆相切；二一二直线与双曲线相切；: 二直线与抛物线相切；（3）相离：h “ ；宀直线与椭圆相离；一直线与双曲线相离； : r 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的 轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；4-4=1（2） 过双曲线介 b外一点尸（死,的直线与双曲线只

9、有一个公共点的情况如下：p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线， 共四条；p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线， 共四条；p在两条渐近线 上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； p为原点时不存 在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行 于对称轴的直线。比如： 过点（2,4）作直线与抛物线一-只有一个公共点，这样的直线有 （答:2 ）；2 对于抛物线C :厂一讥，我们称满足.-1 "&#

10、39;订的点丄在抛物线的内部，若点M（坷，兀）在抛物线的内部，则直线E：皿 =2（x+坷）与抛物线c的位置关系是 （答：相离）；求椭圆pH/p鸥上的点到直线3x-2-16= 0的最短距离（答：一）；7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：禾U用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离， 即焦半径r=ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。 比如:已知椭圆 工、11 上一点P到椭圆左焦点的距离为 3，则点P到右准线的距离为55（答:埜；椭圆43 内有一点p（i,-i）,f为右焦点，在椭圆上有一点 m，使2阿同之值最小，则点 M的坐标为8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦

11、点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点A丄到两焦点的距离分别为A E1 D S'jMz,焦点u厂i厂尸2的面积为E，则在椭圆= arcccs(1)中,且当S =护 tan = c2卩P为短轴端点时，最大为x 22监=arccos二:曲，当氏1=&的最大值为be ;对于双曲线的焦点三角形有：arcc<?s:S = -rrr2 sm& = b2cot- 2 1 2 2。 =,离心率3的椭圆的两焦点为比如：短轴长为B两点，则月码的周长为（答：6）;作直线交椭圆于9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1 ）以过焦点的弦

12、为直径的圆和准线相切；（2 ）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则/ AMF =Z BMF ;（ 3 ）设AB为的中点，贝U PA丄PB ; （ 4 ）为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为-41,若P点平行于x轴的直线交准若AO的延长线交准线于 C,则BC平行于x轴，反之，若过 线于C点，贝U A, O, C三点共线。10、弦长公式：若直线y= hc+b与圆锥曲线相交于两点的横坐标，则嗣=J十X卜】一对，若卜：打分别为B的纵坐标，则AB（1+£以_形1|的| = J+F |乃-旳若弦AB所在直线方程设为'八-,则比如：过抛物线丫焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB

13、|=10, O为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为（答:3 ）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用x y .F二 1 2 12a b韦达定理”或点差法”求解。在椭圆中，以"用订为中点的弦所在直线的斜率h ;在双曲线U1厂 中，以E - *为中点的弦所在直线的斜率-;在抛物线中，以T 1 -为中点的弦所在直线的斜率。弦被点A（4,2 ）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答:12 .你了解下列结论吗?。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算, 般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。一 一(1 )双曲线护屮的渐近线方程为(2 )以”

14、三士夕”为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为二 1.，焦准距(焦点到相应准('为参数，工0 )。(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为(4 )椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为线的距离)为1，抛物线的通径为 2p，焦准距为p ； (5 )通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；(6 )若抛物线的焦点弦为AB，麗；鸡 J二:：八：，则阳帀二讣,丁1?2 =-戸(7 )若OA、OB是过抛物线- -? ? - 顶点0的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)13 .动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围

15、；(2) 求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=O ;如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程.(答:V".-上或y2 - - . - I)； 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点 M (m , 0) (m>0)，端点A、B到x轴距离之积 为2m，以x轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(答：y2 = 2)；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如

16、点M与点F(4,0)的距离比它到直线】：泊5=0的距离小于1，则点M的轨迹方程(答:);代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点的变化而变化，并且丸)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示q,再将y 宀代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线任一点，定点为A(0,-1),点M分匚：.所成的比为2，y= - );(答:0 1宀2"号;则M的轨迹方程为 (答：也没有相关动点可用时， 可参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到， 考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。如若点代逅I ”尹在圆= 1上运动，则点a心坯孔+ yJ的轨

17、迹方程是摘帽子或脱靴子”注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向 量的几何形式进行 摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行 转化。如已知椭圆J 的左、右焦点分别是 F1 ( c,0 )、F2 ( c, 0 ),Q是椭圆外的动点，满足点P是线段与该椭圆的交点,点T在线段上,并且满足匸亠.'二=一 |匚.卜( 1 )设x为点P的横坐标，证明(2 )求点T的轨迹C的方程；(3)试问：在点T的轨迹C 上,是否存在点 M，使 F1MF2的面积S=L2若存在，求/ F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.(答：(1)略；(2)轨迹上特殊点对轨迹的完备性

18、与纯粹性”的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式)、方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、分类讨论思想”化整为零分化处理、求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等 如果在一条直线上出现三个或三个以上的点 ”那么可选择应用 斜率或向量”为桥梁转化14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:(1)给出直线的方向向量疗=(1北)或盘=(临对;(2)(3)给出-i -,等于已知P是MN的中点；(4)给出j4P+AQ =+ BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线；(5)给出以下情形之一： 丄;存在实数:若存在给出-.与A

19、B相交,等于已知 OA+OB 过AB的中点；实数汀"卜勾丁汁丁丫.-二，等于已知a,b,c三点共线(6)给出，等于已知p是A3的定比分点，囲为定比，即AP - APB(7) 给出,等于已知 m _:二,即厶.空是直角,给出空是锐角。(8)给出,等于已知一二是钝角，给出MA MB=+MA,等于已知MP是的平分线；,等于已知(9)在平行四边形 ABCD中，给出|_ 一_ -.'，等于已知ABCD是菱形;(10)在平行四边形 ABCD中，给出亠辽；扎二-匸£ 辽丨，等于已知ABCD是矩(11 )在厶 ABC 中，给出二_ -'，等于已知 0是厶ABC的外心(三角形